山東省鄒平雙語學(xué)校(256200) 姜坤崇

山東省鄒平市教學(xué)研究室(256200)莫靜波

將所證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化是證明不等式的基本策略和方法.對(duì)于一個(gè)不等式的證明,按其不等號(hào)的方向來說,一種是按原來所給的不等號(hào)方向來證明,再一種就是將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為相反方向的不等式來證明.對(duì)于某些不等式,若按原來的不等號(hào)方向證明較為困難,而改為證明與之等價(jià)的反向不等式,則比較容易,下面舉出若干例子說明這一策略和方法的具體應(yīng)用.

一、證明條件不等式

所謂條件不等式,是指含有某種約束條件的不等式,如三個(gè)正數(shù)a,b,c滿足條件式a+b+c=1,abc=1,等等.

(1)式即為與原不等式等價(jià)的反向不等式.由條件式a+b+c=1 及三元均值不等式得

即(1)式成立,故原不等式得證.

例2(自編題)已知a,b,c是滿足a2+b2+c2=3 的正數(shù),求證:

證明

證法1轉(zhuǎn)化為證明原不等式的反向等價(jià)不等式

令a=x2,b=y2,c=z2(x,y,z ＞0),則(xyz)2=abc=1,于是由柯西不等式的變形

即(3)成立,從而待證不等式成立.

證法2先證明原不等式的反向等價(jià)不等式(3)成立.

說明將欲證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為反向不等式,為使用柯西不等式創(chuàng)造了條件.以下例5、例10-14 等的證題思路亦如此.

例5(自編題)設(shè)a,b,c ＞0, 且abc=1, 求 證:

證法1轉(zhuǎn)化為證明原不等式的反向等價(jià)不等式

原文提供的證明較繁,下面證其反向等價(jià)不等式則較易.

因?yàn)閍2+1=a2+ab+bc+ca=(a+b)(c+a),同理b2+1=(b+c)(a+b),c2+1=(c+a)(b+c),于是以上不等式等價(jià)于

由于最后一個(gè)不等式顯然成立,故原不等式成立.

證法2同證法1,問題轉(zhuǎn)化為: 已知ab+bc+ca=1,證明

由于(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2,故由柯西不等式的變形式得

證法2

以上不等式即為不等式①,下證從略.

證法3

這正是例6 中的不等式,即知所證不等式成立.

即(7)式成立.所以原不等式成立.

例9(IMO2005)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足xyz≥1,證明:

由柯西不等式及題設(shè)條件xyz≥1,得

故原不等式成立.

二、證明無約束條件不等式

這類不等式除了所給變元是正數(shù)的條件之外沒有其它等式的約束條件.

而由柯西不等式的變形式得

所以原不等式得證.

由柯西不等式的變形式得

故原不等式得證.

例12(自編題)設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),求證:

證明

例13(自編題)設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),k為常數(shù),k≥2,求證:

證明(I)轉(zhuǎn)化為證不等式④的反向等價(jià)不等式

由柯西不等式的變形式得不等式(11)的左邊等于

又因?yàn)?/p>

(II)先證不等式(10)的反向等價(jià)不等式:

不等式(12)的證明仿不等式(11)的證明可證,從略.

又因?yàn)?/p>

(II)仿(I)的證明先證明不等式:

然后由此不等式可證得不等式(14)成立,限于篇幅,證明從略.