四川省名山中學(xué)(625100)高繼浩

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)點(diǎn)M的直線l:y=kx+1 與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,P為線段MN的中點(diǎn),射線OP與橢圓交于點(diǎn)D.點(diǎn)Q為直線OP上一動(dòng)點(diǎn),且,求證: 點(diǎn)Q在定直線上.

將試題第(2)問(wèn)進(jìn)行拓展得到:

命題1如圖1,已知過(guò)點(diǎn)(0,n)(n≠0)的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn),P為線段MN的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OP與橢圓交于點(diǎn)D,點(diǎn)Q為直線OP上一動(dòng)點(diǎn),則的充要條件是點(diǎn)Q在直線上.

圖1

圖2

圖3

在命題3 的證明過(guò)程中令t=1 即可證得命題2,故只證命題3.

證明當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí), 設(shè)其方程為y=k(x-m)+n,與橢圓方程聯(lián)立,消去y得

將命題3 引申到雙曲線中,得到:

命題4如圖4, 已知過(guò)點(diǎn) (m,n)(m2+n2≠0)的直線與雙曲線1(a ＞0,b ＞0)交 于M,N兩點(diǎn),P為線段MN的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OP與雙曲線交于點(diǎn)D, 點(diǎn)Q為直線OP上一動(dòng)點(diǎn),則的充要條件是點(diǎn)Q在直線上.

圖4

將命題3 的證明過(guò)程(k=0 的情況舍去)中的b2用-b2替換即可證得命題4,不再贅述.