□呂立峰

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中最基本的研究對象。數(shù)形結(jié)合思想就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，用統(tǒng)一的觀點(diǎn)來研究解決某一數(shù)學(xué)問題，即運(yùn)用“數(shù)”與“式”來精確地刻畫、研究“形”，借助“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”，直觀與抽象相互配合，達(dá)到優(yōu)勢互補(bǔ)、取長補(bǔ)短的效用，從而有效地解決問題。這里的“數(shù)”是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等，文中統(tǒng)稱為“數(shù)式”。這里的“形”主要是指幾何圖形和函數(shù)圖像等，文中統(tǒng)稱為“圖像”。數(shù)形結(jié)合思想有兩個維度的內(nèi)涵，分別是“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。

什么是以形助數(shù)？以形助數(shù)一般是指借助圖像的直觀性來表達(dá)數(shù)式的數(shù)量關(guān)系。如圖1中，從右往左看，“5×4＝20（平方厘米）”的數(shù)式所表示的意義可以用“每行有5個1平方厘米的面積單位，有這樣的4行”所構(gòu)成的長方形的面積來表征，這就是以形助數(shù)。

什么是以數(shù)解形？以數(shù)解形是指借助數(shù)式的精確化來刻畫圖像的某些屬性。如圖1中，從左往右看，“每行有5個1平方厘米的面積單位，有這樣的4行面積單位”所構(gòu)成的長方形的面積可以用“5×4＝20（平方厘米）”這個數(shù)式來表征，這就是以數(shù)解形。

圖1

在數(shù)式和圖像的相互表征過程中，教師可以幫助學(xué)生建立“數(shù)與形”的對應(yīng)關(guān)系。

一、“兩維內(nèi)涵”產(chǎn)生偏頗的歸因分析

“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”是有關(guān)聯(lián)、可互逆、相輔相成的教學(xué)方式。但在實(shí)際教學(xué)中，情況并非如此，教師注重“以形助數(shù)”的教學(xué)實(shí)踐，忽視“以數(shù)解形”的教學(xué)價值，已然成為當(dāng)下“數(shù)形結(jié)合”思想真正落實(shí)的障礙。那么“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩維內(nèi)涵產(chǎn)生偏頗的原因是什么呢？

（一）理念層面：幾何直觀內(nèi)涵指向“以形助數(shù)”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的“課程目標(biāo)”部分，提出小學(xué)階段11個核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，“幾何直觀”便是其中之一。幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。在其內(nèi)涵描述中，特別強(qiáng)調(diào)“根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路”。幾何直觀的這些內(nèi)涵無一不指向“以形助數(shù)”的教學(xué)方式。教師對幾何直觀的理解、把握和應(yīng)用都是不折不扣的。因此，教師在日常中便養(yǎng)成了“先出數(shù)式，后畫圖像”的教學(xué)習(xí)慣。

（二）內(nèi)容層面：“以形助數(shù)”教學(xué)內(nèi)容極為豐富

從對國內(nèi)現(xiàn)行各個版本的數(shù)學(xué)教材中與“數(shù)形結(jié)合”有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容分析來看，“以形助數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容都是極為豐富的。以人教版數(shù)學(xué)教材“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?yàn)槔?，從?shù)的認(rèn)識到數(shù)的運(yùn)算，從探索規(guī)律到解決問題，幾乎都在踐行“以形助數(shù)”的教學(xué)思路（如表1）。對豐富的“以形助數(shù)”教學(xué)內(nèi)容的長期教學(xué)，很容易讓教師形成“先出數(shù)式，后畫圖像”的教學(xué)習(xí)慣。

表1

二、“兩維內(nèi)涵”產(chǎn)生偏頗的課堂尷尬

課程理念的指引和教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式都讓教師在教學(xué)時一味注重“以形助數(shù)”的教學(xué)設(shè)計與思考，對“以數(shù)解形”的教學(xué)價值相對忽視。殊不知，數(shù)形結(jié)合兩維內(nèi)涵偏頗的課堂很容易產(chǎn)生尷尬，暴露問題。筆者以人教版教材六年級上冊《數(shù)與形》例1為例來作一些說明。

筆者在近兩年一共聽過18節(jié)同課異構(gòu)的《數(shù)與形》，其中有12位教師選擇用“以形助數(shù)”的方式展開教學(xué)。具體來說，教師在課的起始階段，都是先呈現(xiàn)類似于“1+3+5+7”這樣的“從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和”的數(shù)式，再讓學(xué)生借助圖像來直觀表征算式的意義。學(xué)生面對“從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和”的數(shù)式是怎樣表征的呢？從學(xué)生表征的圖像樣式來看，形式非常單一，學(xué)生畫出來的圖像基本上只有橫向擺放的“線型”和縱向擺放的“三角形型”兩種（如圖2）。很顯然，用這些圖像進(jìn)行表征并不能有效推進(jìn)課堂教學(xué)。在對教師的訪談中得知，執(zhí)教者試圖用“以形助數(shù)”的方式展開教學(xué)，希望學(xué)生能夠呈現(xiàn)“正方形型”的圖像，有了這份素材，其他學(xué)生就能用直觀的方式發(fā)現(xiàn)類似于“1+3+5+7”這樣的數(shù)式就是一個正方形數(shù)。然而，筆者曾對42名學(xué)生的前測情況進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)只有4名學(xué)生能擺出符合這一數(shù)列本質(zhì)的圖像。在對學(xué)生的訪談中發(fā)現(xiàn)，其中1名學(xué)生是在課外輔導(dǎo)班中提前習(xí)得這個知識點(diǎn)的，另有3名學(xué)生則是在翻閱教科書的時候無意中看到過這個圖像。在這樣的現(xiàn)實(shí)面前，教師只能尷尬地把“正方形型”圖像直接“給予”學(xué)生，并告訴他們“這樣的數(shù)式還可以用正方形擺放出來”。

圖2

上述“數(shù)與形”的案例，很清楚地展示了一味采用“以形助數(shù)”的方式展開教學(xué)容易產(chǎn)生的問題，即用圖像表征數(shù)式的結(jié)果單一趨同，無法反映出數(shù)式的本質(zhì)屬性。

三、“兩維內(nèi)涵”保持平衡的教學(xué)策略

在實(shí)際教學(xué)中，如何保持?jǐn)?shù)形結(jié)合兩維內(nèi)涵的平衡呢？首先看“以形助數(shù)”這個維度，因?yàn)橛辛藥缀沃庇^內(nèi)涵的不斷滲透以及豐富教學(xué)內(nèi)容的反復(fù)出現(xiàn)，所以“以形助數(shù)”教學(xué)行為的落地是完全可以得到保證的。然后看“以數(shù)解形”這個維度，如何讓教師在關(guān)聯(lián)“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)內(nèi)容中強(qiáng)化“以數(shù)解形”的設(shè)計理念和課堂行為呢？在具體的課例中探尋實(shí)施路徑和教學(xué)策略是最為重要的。以《數(shù)與形》例1為例，在課堂教學(xué)中采用“三環(huán)六步”的教學(xué)路徑和策略（如圖3），把“以數(shù)解形”的設(shè)計理念和行為落到實(shí)處。

圖3

（一）第一環(huán)：多維視角，構(gòu)造豐富數(shù)式

1.第1步，改造教材原圖

教材“序”是“先出圖像，再寫數(shù)式”，但是很多教師會主動改變教材“序”，選擇“以形助數(shù)”的教學(xué)“序”展開。教師的這種主動改變，除了上述分析的原因外，還有一個非常關(guān)鍵的因素，那就是教材中呈現(xiàn)的圖像。教材中的圖像是用若干個小正方形密鋪成大正方形來表征“平方數(shù)”的，實(shí)踐證明采用教材原圖，大多數(shù)學(xué)生只會從橫向和縱向兩個角度進(jìn)行觀察，只會用“同數(shù)連加”的數(shù)式來表征小正方形的總個數(shù)。如果想要讓學(xué)生從“7字形”的角度進(jìn)行觀察，得出符合正方形數(shù)特征的加法數(shù)式，那么就要對教材原圖進(jìn)行改造。筆者嘗試把教材原圖改造成了一個用若干小圓形拼成的方陣圖（如圖4），收到了很好的效果。

圖4

2.第2步，構(gòu)造豐富數(shù)式

改造之后的方陣圖構(gòu)圖簡單、取材容易、操作方便（師生可以直接用小磁扣在黑板上擺放和演示），更為重要的是改造之后的方陣圖比原圖更加便于學(xué)生從多角度進(jìn)行觀察。課堂上，學(xué)生圍繞改造之后的方陣圖，從不同的角度觀察，構(gòu)造出了不同的加法數(shù)式。學(xué)生的作品如表2。

表2

（二）第二環(huán)：數(shù)形互表，解釋數(shù)式本質(zhì)

1.第3步，聚焦重點(diǎn)數(shù)式

教師通過方陣圖呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生自主構(gòu)造數(shù)式。學(xué)生從六個角度進(jìn)行了觀察，一共構(gòu)造出五個加法數(shù)式（如表2）。這五個數(shù)式中，全部學(xué)生都能構(gòu)造出“5+5+5+5+5”，事實(shí)上這屬于低年級學(xué)生也應(yīng)具備的能力，本節(jié)課無須過多回應(yīng)。而“1+8+16”或“16+8+1”只有48.1%的學(xué)生能夠構(gòu)造出來，且“回字形”視角構(gòu)造的數(shù)式模型是不穩(wěn)定的，因?yàn)樗鼤S著方陣圖邊長（每條邊上的圓片數(shù)）的奇偶性不同而變化，這個數(shù)式模型更適合在初中階段進(jìn)行研究。在剩余的三個數(shù)式，即作品③、作品④和作品⑥中，教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦作品④的“1+3+5+7+9”這個重點(diǎn)數(shù)式，因?yàn)橹挥兴耪嬲w現(xiàn)出正方形數(shù)的本質(zhì)特征。

2.第4步，表征數(shù)式本質(zhì)

正方形數(shù)的數(shù)式本質(zhì)主要是數(shù)列的首項(xiàng)是1，公差為2，概括起來就是“從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和就是正方形數(shù)”。筆者通過兩個問題的驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生自主探究，表征數(shù)式特征。

【片段1】研究“正方形數(shù)”的特征

師：如果繼續(xù)在“7字形”方陣圖外圍擺放小圓片，至少需要擺幾個才能拼成一個更大的方陣？

生：每次擺放的比前一次多2個就可以了。

師：你能通過擺一擺或畫一畫的方法具體說明嗎？

生：（邊比畫圖5，邊說明）“1+3+5+7+9”這個式子后面加11，我們剛才用9個小圓片去圍，結(jié)果發(fā)現(xiàn)要圍成更大的方陣一定還缺2個（學(xué)生邊說邊指著兩個黑色小圓片）。所以增加的小圓片數(shù)量至少應(yīng)該是“前一個加數(shù)多2”。

圖5

師：繼續(xù)往下擺呢？

生：按照同樣的方法繼續(xù)往下擺，需要增加的小圓片數(shù)都是“前一個加數(shù)多2”。

師：一個正方形數(shù)如果去掉第一個加數(shù)1，剩余的小圓片還能擺成一個方陣圖嗎？

（學(xué)生不停地擺放圓片，嘗試擺方陣圖，部分學(xué)生作品如圖6。）

圖6

師：你們的努力成功了嗎？

生：沒有，只要拿走1個，剩下的小圓片永遠(yuǎn)都擺不成一個方陣。

師：這說明什么問題呢？

生：任何兩個正方形數(shù)的差都不可能是1。

師：通過剛才的兩次操作活動，你認(rèn)為怎樣的加法數(shù)式才是正方形數(shù)呢？

生：從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和才是一個正方形數(shù)。

通過上述兩次操作活動，學(xué)生利用圖像的直觀表征，順利地掌握了正方形數(shù)的本質(zhì)特征，即正方形數(shù)就是首項(xiàng)為1，公差為2的一組數(shù)列。

（三）類比關(guān)聯(lián)，拓展數(shù)式模型

1.第5步，由此及彼，關(guān)聯(lián)新數(shù)式

類比是一種推理思想，以“從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和”為基點(diǎn)，學(xué)生能想到什么呢？學(xué)生通常會提出這樣兩個問題：第一個問題是從2開始連續(xù)若干個偶數(shù)的和是“什么數(shù)”？第二個問題是從1開始連續(xù)若干個自然數(shù)的和是“什么數(shù)”？通過類比推理，學(xué)生會從正方形數(shù)出發(fā)，主動關(guān)聯(lián)“2+4+6+8+10+……”和“1+2+3+4+5+……”這樣兩個新數(shù)式。

2.第6步，圖像變形，表征新數(shù)式

學(xué)生的兩個問題引出了兩個新的數(shù)式，對新數(shù)式的表征過程也讓圖像變形成為了可能。師生對“作品③”和“作品⑥”（如表2）兩份課堂生成資源的充分利用，便讓這種可能性成為了現(xiàn)實(shí)。

【片段2】研究“長方形數(shù)”的特征

師：“從2開始連續(xù)若干個偶數(shù)的和”會是怎樣的呢？請大家觀察剛才的作品③和作品⑥，思考該如何解決這個問題。請把你的想法畫出來。

（在學(xué)生思考和交流之后，教師選擇了三幅有代表性的作品，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了解決問題的過程。圖7中，圖像下面的數(shù)式是教師根據(jù)學(xué)生的表述相機(jī)寫的，這可以使研究過程更加清晰。）

圖7

師：通過剛才的研究，你知道了什么？

生：我們小組發(fā)現(xiàn)，從2開始連續(xù)若干個偶數(shù)的和是一個“長方形數(shù)”，而且“長方形圖”中的“長”和“寬”相差1。它們的和＝項(xiàng)數(shù)×（項(xiàng)數(shù)+1）。

師：“項(xiàng)數(shù)”和“項(xiàng)數(shù)+1”分別表示什么？

生：“項(xiàng)數(shù)”在數(shù)式中表示偶數(shù)的個數(shù)，“項(xiàng)數(shù)+1”表示比偶數(shù)個數(shù)多1?！绊?xiàng)數(shù)”在圖形中表示長方形的寬所包含的小圓片個數(shù)，“項(xiàng)數(shù)+1”則表示長方形的長所包含的小圓片個數(shù)。

【片段3】研究“三角形數(shù)”的特征

師：“從1開始連續(xù)若干個自然數(shù)的和”又會是怎樣的呢？請大家用剛才的方法，想一想該如何解決這個問題？請把你的想法畫出來。

（在學(xué)生思考和交流之后，教師選擇了兩幅有代表性的作品，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了解決問題的過程。圖8中，圖像下面的數(shù)式是教師根據(jù)學(xué)生的表述相機(jī)寫的，這可以使研究過程更加清晰。）

圖8

師：通過剛才的研究，你知道了什么？

生：我們發(fā)現(xiàn)，從1開始連續(xù)若干個自然數(shù)的和是一個“三角形數(shù)”。它們的和＝項(xiàng)數(shù)×（項(xiàng)數(shù)+1）÷2。

師：“項(xiàng)數(shù)”和“項(xiàng)數(shù)+1”分別表示什么？

生：“項(xiàng)數(shù)”在數(shù)式中表示自然數(shù)的個數(shù)，“項(xiàng)數(shù)+1”表示比自然數(shù)的個數(shù)多1。“項(xiàng)數(shù)”在圖形中表示三角形的底所包含的小圓片的個數(shù)，“項(xiàng)數(shù)+1”表示比三角形的高所包含的小圓片的個數(shù)多1。

【片段4】研究“正方形數(shù)、長方形數(shù)和三角形數(shù)”的關(guān)系

師：我們一起來觀察正方形數(shù)、長方形數(shù)和三角形數(shù)，你們又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：兩個完全一樣的三角形數(shù)可以組成一個長方形數(shù)。

生：兩個相鄰的三角形數(shù)可以組成一個正方形數(shù)。

生：正方形數(shù)加上它的末項(xiàng)就是一個長方形數(shù)。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答，用課件呈現(xiàn)三者之間相互關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)圖，如圖9。）

圖9

通過上述的思考與實(shí)踐，不難看出，重視“以數(shù)解形”，可以創(chuàng)生出豐富多元的數(shù)式表征，可以為學(xué)生提供更多合作學(xué)習(xí)的機(jī)會，可以讓知識間的關(guān)聯(lián)更加自然和豐富。當(dāng)然，我們也要清醒地認(rèn)識到，數(shù)形結(jié)合思想中，基礎(chǔ)是數(shù)形對應(yīng)，關(guān)鍵是數(shù)形轉(zhuǎn)化，“數(shù)”與“形”相輔相成，不能偏頗。故有“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”的說法。