徐寶昌,吳 楠,孟卓然

(中國石油大學(xué)(北京)信息科學(xué)與工程學(xué)院,北京 102249)

1 引言

在深部復(fù)雜地層鉆井過程中,井下存在異常高壓、易垮塌、漏失等復(fù)雜作業(yè)條件,井底壓力的安全窗口窄,安全作業(yè)風(fēng)險高[1-2].同時,近年來我國發(fā)現(xiàn)的特大型油氣田均處于超過4500 m的深部復(fù)雜地層,井下變量的測量受限于儀器性能,可測信息少且傳輸速率低,傳統(tǒng)隨鉆測量所獲取的井底壓力需要數(shù)十秒才能傳至地面,并且當(dāng)工況遷移或存在未知干擾時,井下部分重要參數(shù)丟失[3-4].由于井下可測信息少且實時性差,往往導(dǎo)致控制滯后,進(jìn)而影響鉆井過程安全.例如在塔里木庫車山前高壓鹽水層、高壓裂縫性地層等復(fù)雜地層鉆井實踐中,因井底壓力波動導(dǎo)致發(fā)生溢流、漏失的井?dāng)?shù)占總井?dāng)?shù)的25%以上,年均損失數(shù)億元[5-6].

在控壓鉆井(managed pressure drilling,MPD)系統(tǒng)中,控制系統(tǒng)通常包括兩部分:1)用于實時估計井下不確定參數(shù)及未知狀態(tài)的水力學(xué)模型;2)通過節(jié)流閥調(diào)節(jié)井口回壓的反饋控制算法.其中水力學(xué)模型是決定MPD系統(tǒng)控制精度的主要因素,然而由于井下工況復(fù)雜,水力學(xué)模型中存在無法測量的參數(shù)與狀態(tài).因此,研究可靠的參數(shù)估計方法對MPD井下不確定信息進(jìn)行實時估計,對保證安全高效鉆井具有重大意義.

動態(tài)系統(tǒng)參數(shù)不確定性和外部擾動可以看作系統(tǒng)的未知輸入[7-11],學(xué)者們最初僅考慮抑制未知輸入進(jìn)而對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確估計[12-15],在此基礎(chǔ)上,研究了未知狀態(tài)和不確定參數(shù)同時估計的自適應(yīng)觀測器設(shè)計問題,并針對非線性系統(tǒng)將自適應(yīng)觀測器大致分為聯(lián)合狀態(tài)參數(shù)觀測器和自適應(yīng)狀態(tài)觀測器兩大類[16-17].目前,國內(nèi)外學(xué)者對井下不確定參數(shù)和未知狀態(tài)估計的觀測器設(shè)計方法已經(jīng)進(jìn)行了一定的研究工作.Zhou等[18-20]基于簡化的水力學(xué)模型,通過設(shè)計狀態(tài)觀測器,估計鉆頭處流量和井底壓力,設(shè)計了井底壓力非線性控制律.該方法可以在線估計未知狀態(tài).徐寶昌等[21]以提前預(yù)判氣侵工況為目標(biāo),應(yīng)用自適應(yīng)觀測器理論,以實際立壓、回壓數(shù)據(jù)作為觀測器輸入,對未知井底壓力與井底流量進(jìn)行估計.Habib等[22-23]提出了一種基于無跡卡爾曼濾波和未知輸入估計理論的觀測器,同時估計井底鉆頭流量和氣侵,并以此為依據(jù)檢測與評估異常工況.Stamnes等[24]利用Lyapunov分析和非線性坐標(biāo)變換,給出了一類非線性系統(tǒng)降階自適應(yīng)狀態(tài)觀測器的構(gòu)造方法.該方法允許未知狀態(tài)中同時存在不確定參數(shù)以及非線性項,但構(gòu)造這種自適應(yīng)狀態(tài)觀測器的條件十分嚴(yán)格,需要求解一個特定的偏微分方程組才能得到其更新率.

與基于觀測器匹配條件構(gòu)造觀測器的方法不同,現(xiàn)有研究成果大多是根據(jù)特殊的坐標(biāo)變換方法構(gòu)造自適應(yīng)觀測器,其構(gòu)造條件十分嚴(yán)格,且難以應(yīng)用于其他非線性系統(tǒng).因此,本文針對MPD這類非線性系統(tǒng),提出一種從觀測器匹配條件出發(fā)的觀測器設(shè)計新方法.觀測器匹配條件于文獻(xiàn)[25]中首次提到,該條件對觀測器設(shè)計中的不確定參數(shù)解耦具有重要意義,基于此條件已出現(xiàn)了多種觀測器設(shè)計方法[17,26-28].其中,文獻(xiàn)[26]針對存在不確定參數(shù)的線性和非線性Lipschitz系統(tǒng),討論了當(dāng)觀測器增益和系統(tǒng)輸入存在干擾時參數(shù)和狀態(tài)的估計問題,設(shè)計了非線性非脆弱比例積分濾波誤差自適應(yīng)觀測器.文獻(xiàn)[27]針對常微分方程組中狀態(tài)和參數(shù)值的漸近重構(gòu)問題,提出了一種參數(shù)化解決方案,即將不確定參數(shù)作為狀態(tài)和時間的非線性參數(shù)化函數(shù).文獻(xiàn)[28]設(shè)計的自適應(yīng)觀測器可從穩(wěn)定性證明中消除限制性耗散條件,并將觀測器增益求解問題轉(zhuǎn)化為一個線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)的可行性問題.

文獻(xiàn)[26-28]方法的共同之處在于其非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)都可以滿足觀測器匹配條件,然而對MPD系統(tǒng)這類未知狀態(tài)中含有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng),傳統(tǒng)的觀測器匹配條件并不能對其不確定參數(shù)進(jìn)行解耦.因此,本文在學(xué)者Stamnes等人的研究成果[24,28]基礎(chǔ)上,針對鉆井系統(tǒng)這類未知狀態(tài)中含有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng),提出了一種新的自適應(yīng)觀測器設(shè)計方法.該方法對傳統(tǒng)觀測器匹配條件進(jìn)行改進(jìn),使其能夠?qū)PD系統(tǒng)中的不確定參數(shù)進(jìn)行解耦.并在此基礎(chǔ)上,用構(gòu)造性方法設(shè)計了一種聯(lián)合估計不確定參數(shù)和未知狀態(tài)的自適應(yīng)觀測器,證明了持續(xù)激勵(persistent excitation,PE)條件下未知狀態(tài)及不確定參數(shù)的全局漸近穩(wěn)定.最后,基于LMI方法求解觀測器增益,優(yōu)化了觀測器設(shè)計過程,并提高了系統(tǒng)魯棒性.仿真實驗結(jié)果表明,本文所提方法能夠在MPD系統(tǒng)同時存在不確定參數(shù)與未知狀態(tài)的情況下,準(zhǔn)確地估計井下不確定參數(shù)與未知狀態(tài),且對井下環(huán)空摩擦積分和井底流量的估計具有更快的收斂速度以及較好的魯棒性.

2 系統(tǒng)描述

本文采用的簡化水力學(xué)模型,井筒本身以及一系列鉆井設(shè)備都包含在該模型中,如鉆井泵、鉆桿、鉆頭、環(huán)空以及節(jié)流閥等,如圖1所示[21].

圖1 控壓鉆井系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Managed pressure drilling system simplified model

該模型將井筒分為鉆桿和環(huán)空2個獨立的單元,并通過鉆頭將這兩個獨立單元連接起來.由質(zhì)量守恒以及動量守恒定律,鉆井系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可表示為[18]:

其中:βa,βd分別為環(huán)空和鉆桿的體積模量;Va,Vd分別表示環(huán)空和鉆桿體積;hbit為井深;ρa(bǔ),ρd分別代表環(huán)空和鉆桿中的流體密度;M為環(huán)空和鉆桿內(nèi)流動方向上單位截面密度的積分;Fa,Fd分別是環(huán)空和鉆桿中摩擦積分;pp表示泥漿泵出口壓力;pc為井口回壓;qbit代表井底流量;qpump,qback,qchoke分別為泥漿泵出口流量、回壓泵流量和節(jié)流閥出口流量;qres表示地層侵入流體流量.注意式(1)中的Fa,Fd,ρa(bǔ),ρd為難以獲取準(zhǔn)確數(shù)值的井下參數(shù),qbit為未知的井下變量.針對式(1)模型,考慮如下形式的非線性系統(tǒng):

假設(shè)1函數(shù)Ω(y,u)在其定義域上是連續(xù)的,Φ(x)和Ψ(x)關(guān)于x滿足Lipschitz條件,存在正實數(shù)γ1和γ2使下式成立:

假設(shè)2不確定參數(shù)θ為有界常數(shù),存在已知正實數(shù)γ3使下式成立:

注1需要指出的是,假設(shè)1的應(yīng)用取決于式(4)的Lipschitz條件是局部還是全局地滿足.文獻(xiàn)[29]中指出任何=f(x,u)形式的系統(tǒng),如果對x連續(xù)可微,其結(jié)構(gòu)都可以表示為線性部分加上非線性部分,且至少在局部滿足Lipschitz條件.

引理1[30]存在矩陣P=PT＞0及F使得等式ETP=FC成立,當(dāng)且僅當(dāng)

式(6)即觀測器匹配條件,表示rank(E)＜rank(C),即q ＜p.對于大多數(shù)情況下的非線性系統(tǒng)(2),滿足觀測器匹配條件意味著向量Ψ(x)θ的所有項,包括不確定參數(shù),至少在q個可測狀態(tài)中顯式出現(xiàn).該條件可通過對系統(tǒng)(2)中的輸出y的一階導(dǎo)數(shù)來理解:

由式(7)可知,如果滿足觀測器匹配條件,系統(tǒng)(2)和式(7)中Ψ(x)θ的系數(shù)矩陣具有相同的秩,即系統(tǒng)(2)中出現(xiàn)的Ψ(x)θ的所有項也會出現(xiàn)在式(7)中.

然而對于一些類似本文MPD系統(tǒng)的非線性系統(tǒng),容易驗證其結(jié)構(gòu)不能滿足觀測器匹配條件.因此,傳統(tǒng)的自適應(yīng)狀態(tài)觀測器在這些系統(tǒng)中是不可實現(xiàn)的.本文的目的在于,提出一種新的觀測器構(gòu)造方法,即對原有觀測器匹配條件進(jìn)行改造,使其被一些不滿足觀測器匹配條件的系統(tǒng)所滿足.

3 自適應(yīng)觀測器設(shè)計及收斂性分析

本節(jié)針對不確定參數(shù)存在于未知狀態(tài)的系統(tǒng)(2),提出了一種新的自適應(yīng)觀測器設(shè)計方法.與傳統(tǒng)的自適應(yīng)觀測器設(shè)計一樣,該方法將不確定參數(shù)與測量輸出的關(guān)系表述為矩陣等式,并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造自適應(yīng)觀測器.

3.1 自適應(yīng)觀測器設(shè)計

為了更好的表述系統(tǒng)(2)的結(jié)構(gòu)以及構(gòu)造自適應(yīng)觀測器,提出如下假設(shè).

假設(shè)3矩陣A,B,C和E滿足

從相對階的角度來看,式(8)意味著從輸出到Φ(x)和Ψ(x)θ的相對階至少為2,即不確定項不直接存在可測輸出中,需要對輸出求兩次導(dǎo)數(shù)才能得到關(guān)于Φ(x)和Ψ(x)θ的表達(dá)式.式(9)則是在常規(guī)觀測器匹配條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改造,其表示rank(E)≤rank(C),即q≤p.

注2文獻(xiàn)[24]以一種特殊的標(biāo)準(zhǔn)形式考慮了一類非線性系統(tǒng),其不確定參數(shù)和未知非線性項存在于未知狀態(tài)中.不同于假設(shè)3中通過相對階來確定不確定參數(shù)位置的方式,文獻(xiàn)[24]中的標(biāo)準(zhǔn)形式并沒有將不確定項相對于輸出的精確位置表示出來.然而,對于文獻(xiàn)[24,28]中的系統(tǒng),可以很容易的驗證其結(jié)構(gòu)滿足假設(shè)3.

當(dāng)系統(tǒng)滿足假設(shè)3時,可提出如下引理.

對滿足引理1的非線性系統(tǒng)(2),一種經(jīng)典的自適應(yīng)觀測器設(shè)計形式如下[28,31-32]:

其中:L ∈Rn×p為觀測器增益,ρ是正常數(shù),F ∈Rq×p為待定的常數(shù)增益矩陣.然而,當(dāng)非線性系統(tǒng)不滿足引理1時,無法使用增益矩陣F來構(gòu)造觀測器.

基于上述考慮,對于滿足假設(shè)1-3的系統(tǒng)(2),利用引理2中的矩陣H來替代引理1中的增益矩陣F,并引入一個中間變量W用于表示不確定參數(shù)θ的估計值.設(shè)計如下形式的類Luenberger觀測器來進(jìn)行狀態(tài)和參數(shù)估計:

3.2 收斂性分析

觀測器(15)的收斂性證明需要基于如下引理及推論.

其中:η為一個正的標(biāo)量,求解式(28)需使η最小化.同時求解線性矩陣不等式(27)和式(28)即可得到矩陣H,G和P.

將提出的自適應(yīng)觀測器設(shè)計方法總結(jié)為如下步驟:

步驟1假設(shè)系統(tǒng)中未知函數(shù)Φ(x)和Ψ(x)在其定義域上滿足局部Lipschitz條件,并根據(jù)其定義域取Lipschitz常數(shù)γ1,γ2;

步驟2根據(jù)不確定參數(shù)θ的取值范圍設(shè)定Lipschitz常數(shù)γ3;

步驟3利用引理2中矩陣H,G的性質(zhì),設(shè)計觀測器(15)中的參數(shù)估計方程=W+ΓΨT()Hy;

步驟4通過LMI求解矩陣H,G,M和P,并根據(jù)L=P-1M計算出觀測器增益矩陣L;

步驟5設(shè)定仿真模型初始條件,利用步驟4計算出的矩陣參數(shù),使用觀測器(15)估計x和θ.

4 仿真分析

為驗證本文所提出自適應(yīng)觀測器的有效性,本節(jié)給出了基于MPD模型(1)的仿真結(jié)果.仿真中的模型參數(shù)與初始條件設(shè)置均與文獻(xiàn)[18]中實驗平臺的參數(shù)相同,模型參數(shù)如表1所示.

表1 鉆井?dāng)?shù)據(jù)Table 1 Drilling data

由于實際控壓鉆井過程中控制輸入Ω(y,u)決定輸出中的井口回壓,考慮當(dāng)輸入Ω(y,u)存在均值為0方差為1的噪聲時進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果如圖2-5所示.圖2為泥漿泵出口壓力、井口回壓和井底流量3個狀態(tài)的估計值和真實值,圖3為井底流量的估計誤差,圖4為不確定參數(shù)的估計值和真實值,圖5為不確定參數(shù)的估計誤差.從圖2和圖3可以看出,本文所提的自適應(yīng)觀測器可以保證井底流量的估計值在5 s內(nèi)收斂到真實值,并在整個仿真過程中表現(xiàn)出了良好跟蹤性能.從圖4及圖5可看出,本文方法能夠在5 s內(nèi)實現(xiàn)對系統(tǒng)中不確定參數(shù)的準(zhǔn)確估計.

圖2 狀態(tài)估計值和真實值Fig.2 State estimates and true values

圖3 井底流量估計誤差Fig.3 Bottom-hole flow estimation error

圖4 不確定參數(shù)估計值和真實值Fig.4 Uncertain parameter estimates and true values

圖5 不確定參數(shù)估計誤差Fig.5 Uncertain parameter estimation errors

文獻(xiàn)[21]中,自適應(yīng)觀測器的增益矩陣需要人為給出,繁瑣的調(diào)節(jié)過程限制了該方法在實際鉆井過程的應(yīng)用.本文所提出觀測器的增益矩陣則依賴于LMI求解,因此當(dāng)MPD系統(tǒng)建模存在誤差而增益矩陣不變時,分析觀測器的魯棒性可檢驗本文方法是否具有實際意義.

實際控壓過程中,由于雷諾系數(shù)Re的取值變化影響Fd,從而造成建模誤差[21].本文模型中Re取值為2×105,而實際控壓鉆井過程中Re的變化范圍為5×104～6×105,假設(shè)由于Re取值不準(zhǔn)導(dǎo)致建模參數(shù)Fd存在20%誤差,取同樣的觀測器增益矩陣進(jìn)行仿真,觀測效果如圖6-7所示.可以看到,當(dāng)Fd存在20%誤差時,本文設(shè)計的自適應(yīng)觀測器對θ1的估計有一定誤差,但仍能準(zhǔn)確的估計井底流量以及θ2.其原因是參數(shù)θ1和Fd在MPD系統(tǒng)中都是作為井底流量的系數(shù),具有相同的作用.因此,當(dāng)Fd存在誤差時,觀測器可以通過調(diào)整θ1的估計值來保證井底流量及θ2估計的準(zhǔn)確性,即具有較好的魯棒性.

圖6 不確定參數(shù)估計值和真實值Fig.6 Uncertain parameter estimates and true values

圖7 井底流量估計誤差Fig.7 Bottom-hole flow estimation error

此外,為了證明本文方法的優(yōu)越性,與文獻(xiàn)[21]中構(gòu)造坐標(biāo)變換設(shè)計自適應(yīng)觀測器的方法進(jìn)行了比較分析.在同樣的模型參數(shù)及初始條件下,文獻(xiàn)[21]的仿真結(jié)果如圖8-9所示.與圖2-5對比可知,本文方法在10 s內(nèi)即可令不確定參數(shù)和未知狀態(tài)迅速收斂至真實值,而文獻(xiàn)[21]方法中不確定參數(shù)和未知狀態(tài)收斂至真實值的時間均超過100 s.可見,本文在觀測器增益矩陣上的設(shè)計優(yōu)于文獻(xiàn)[21]中人為給定觀測器增益的方法,在收斂速度上具有明顯的優(yōu)勢.

圖8 已有方法對井底流量的估計效果Fig.8 Estimation effect of existing methods on bottomhole flow

圖9 已有方法對不確定參數(shù)的估計效果Fig.9 Estimation effects of existing methods on unknown parameters

5 結(jié)論

本文針對控壓鉆井系統(tǒng)這類未知狀態(tài)中含有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng),提出了一種基于新的觀測器匹配條件的自適應(yīng)觀測器設(shè)計方法,用于處理傳統(tǒng)觀測器匹配條件不滿足時的不確定參數(shù)和未知狀態(tài)同時估計的問題.文中通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)狀態(tài)和參數(shù)的漸近穩(wěn)定性,并將觀測器增益計算問題轉(zhuǎn)化為LMI優(yōu)化問題.仿真實驗表明,本文方法能夠快速且精確地跟蹤系統(tǒng)不確定參數(shù)以及未知狀態(tài).