基于培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)

謝飛 李肖霞

1 引言

由教育部制定的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[1]明確指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本持征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析．這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，既相對獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體，

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)主要體現(xiàn)為對教材的解讀，關(guān)注如何“漂亮地”完成數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，大多數(shù)數(shù)學(xué)教師從輸入端開始思考教學(xué)，即從固定的教材、擅長的教法，以及常見的活動開始思考教學(xué)，而不是從輸出端開始思考教學(xué)，即從預(yù)期結(jié)果開始思考教學(xué)．換而言之，太多的一線教師都只關(guān)注自己的“教”，而忽略了學(xué)生的“學(xué)”，因此，傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)正面臨變革的需要，

為了有效培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師需要花大量時(shí)間思考：本單元學(xué)生需要理解什么？知道什么？學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，如何證明獲得了這些素養(yǎng)和能力？為了達(dá)到這樣的預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果，應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)課堂活動？在這些問題的驅(qū)動下，筆者結(jié)合美國教育學(xué)者威金斯和麥克泰格撰寫的《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)（第二版）》[2]一書，探索培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)，該設(shè)計(jì)適用于單元教學(xué)，下面，筆者先簡單介紹下逆向教學(xué)設(shè)計(jì)相關(guān)理論，然后以“函數(shù)的基本性質(zhì)”小單元為例進(jìn)行逆向教學(xué)設(shè)計(jì)，最后談一些感悟和反思．

2 逆向教學(xué)設(shè)計(jì)

美國課程與教學(xué)領(lǐng)域的專家威金斯和麥克泰格在《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)（第二版）》一書中提出了一種新的教學(xué)設(shè)計(jì)模式——逆向教學(xué)設(shè)計(jì)，以避開學(xué)校教學(xué)設(shè)計(jì)中的兩大誤區(qū)——聚焦活動的教學(xué)和聚焦灌輸?shù)慕虒W(xué)．作者認(rèn)為教師在考慮如何開展教與學(xué)活動之前，先要努力思考學(xué)習(xí)要達(dá)到的目的到底是什么，以及哪些證據(jù)表明學(xué)習(xí)達(dá)到了目的；必須首先關(guān)注學(xué)習(xí)期望，然后才有可能產(chǎn)生適合的教學(xué)行為；認(rèn)為最好的設(shè)計(jì)應(yīng)該是“以終為始”，從學(xué)習(xí)結(jié)果開始的逆向思考，只有深入思考了這些問題，才能在邏輯上導(dǎo)出合適的教學(xué)和學(xué)習(xí)體驗(yàn)，從而使學(xué)生成功地完成學(xué)習(xí)任務(wù)，達(dá)到內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的要求，逆向教學(xué)設(shè)計(jì)包含三個(gè)階段，設(shè)計(jì)流程大致如圖1所示：

3 基于逆向教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)案例

威金斯和麥克泰格倡導(dǎo)的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)，主張以目標(biāo)為起點(diǎn)和歸宿，視教學(xué)為學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成的手段，這與基于課程標(biāo)準(zhǔn)和核心素養(yǎng)的教學(xué)理念相符，受到學(xué)術(shù)界越來越多的關(guān)注和重視，那么，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中究竟該如何進(jìn)行逆向教學(xué)設(shè)計(jì)呢？如何在確定合適的評估證據(jù)之后進(jìn)行教學(xué)體驗(yàn)活動設(shè)計(jì)呢？在這里，筆者以高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期第三章中的“3.4函數(shù)的基本性質(zhì)”單元為例，嘗試使用基于逆向教學(xué)設(shè)計(jì)的流程進(jìn)行實(shí)踐探索，旨在培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)成預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)，具體從下面三個(gè)階段展開設(shè)計(jì)．

1 階段1確定預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果

階段1的內(nèi)容包括單元教學(xué)目標(biāo)，目標(biāo)轉(zhuǎn)換后的基本問題，預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果又包括預(yù)期的理解和學(xué)生將獲得的知識和技能．

（1）確定的單元教學(xué)目標(biāo)

“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元目標(biāo)由數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)和數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)整而成，統(tǒng)整后的單元教學(xué)目標(biāo)是：

①學(xué)生將理解有關(guān)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的基本概念，掌握證明函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的基本方法；依據(jù)的核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理；依據(jù)的課程目標(biāo)：結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的概念與幾何意義．

②學(xué)生將理解函數(shù)的最大（小）值的概念，會求簡單函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等）的最大（?。┲?；依據(jù)的核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理；依據(jù)的課程目標(biāo)：借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義，

③學(xué)生將理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，會運(yùn)用二分法求方程近似解；依據(jù)的核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析；依據(jù)的課程目標(biāo)：了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解，了解二分法求方程近似解具有一般性，

④學(xué)生將掌握研究函數(shù)的基本方法，會對函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最大（?。┲岛土泓c(diǎn)等基本性質(zhì)進(jìn)行研究，能利用函數(shù)建構(gòu)模型，解決現(xiàn)實(shí)和實(shí)際問題；依據(jù)的核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象；依據(jù)的課程目標(biāo)：理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義．

（2）列出學(xué)生需要思考的基本問題

①函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的概念是什么？如何用符號語言表達(dá)？

②如何判斷并證明函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性？

③函數(shù)的最大值和最小值的概念是什么？如何借助函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求函數(shù)的最值？

④函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系是什么？

⑤怎樣利用函數(shù)構(gòu)建生活中的實(shí)際模型，解決現(xiàn)實(shí)問題？

（3）預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果

預(yù)期的理解是什么？

學(xué)生將會理解：

①函數(shù)的奇偶性從圖象上看，反映了函數(shù)的一種對稱性；

②函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢即是函數(shù)單調(diào)性的反映，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

③函數(shù)的最大（?。┲悼坍嬃撕瘮?shù)的有界性，不同函數(shù)的最值有不同的求法；

④二分法求方程f（x）=0的解，即為求函數(shù)f （x）的零點(diǎn)，且為近似解；

⑤函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具，如出租車車費(fèi)、公民繳納個(gè)人所得稅、商品利潤問題等．

要獲得哪些重要的知識和技能？

學(xué)生將會知道：

①函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的概念；

②函數(shù)最大（?。┲档囊饬x；

③函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系；

④函數(shù)是研究實(shí)際問題的重要工具，

學(xué)生將能夠：

①判斷并證明具體函數(shù)的奇偶性；

②分析并證明具體函數(shù)的單調(diào)性，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

③求解具體函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的最大（?。┲?；

④畫出二分法的流程圖，用二分法求函數(shù)f （x）的零點(diǎn)并滿足精度要求；

⑤在實(shí)際問題中，靈活建立函數(shù)模型，并利用函數(shù)的基本性質(zhì)解決相關(guān)問題．

2階段2確定合適的評估證據(jù)

我們?nèi)绾沃缹W(xué)生是否已經(jīng)達(dá)到了預(yù)期結(jié)果？哪些證據(jù)能夠表明學(xué)生的理解及其核心素養(yǎng)的提升？要根據(jù)收集的評估證據(jù)來思考單元或課程，而不是簡單地根據(jù)要講的內(nèi)容或是一系列學(xué)習(xí)活動來思考單元或課程．

（1）表現(xiàn)性任務(wù) “函數(shù)與數(shù)學(xué)史”一學(xué)生們通過查閱書籍、上網(wǎng)搜索等，解釋歷史上為什么把在定義域上具有性質(zhì)f（一x）=f（x）的函數(shù)叫做偶函數(shù)，具有性質(zhì)f（-x）=一f（x）的函數(shù)叫做奇函數(shù)；

“數(shù)學(xué)小能手”一學(xué)生們通過函數(shù)圖象特征及問題引導(dǎo)，概括出函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的定義，并總結(jié)證明函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的過程與步驟； “小小程序員”一學(xué)生們畫出二分法求方程f（x）=0的近似解的程序框圖，并借助計(jì)算工具用二分法求方程f（x）=0的近似解．

（2）其他證據(jù)

小測驗(yàn)——判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由；

簡答題——根據(jù)函數(shù)圖象答出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

小報(bào)告——結(jié)合圖象，研究具體函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最大（?。┲岛土泓c(diǎn)，形成小報(bào)告；

（3）學(xué)生的自我評價(jià)和反饋

①互評歷史上函數(shù)奇偶性的來龍去脈；

②自評函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的掌握程度；

③互評具體函數(shù)研究小報(bào)告的科學(xué)性、準(zhǔn)確度．

3階段3設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)體驗(yàn)和教學(xué)

教與學(xué)的體驗(yàn)順序該怎么安排才有助于學(xué)生參與、發(fā)展和展示預(yù)期理解？我們依照順序逐次列出了關(guān)鍵的教學(xué)和學(xué)習(xí)活動，同時(shí)以WHERETO元素中的相應(yīng)首字母為每個(gè)活動編碼．

W——幫助學(xué)生知道此單元的方向（Where）和預(yù)期結(jié)果（What），幫助教師知道學(xué)生從哪開始（先前知識、興趣）；

H——把握（Hook）學(xué)生情況和保持（Hold）學(xué)生興趣；

E1——武裝（Equip）學(xué)生，幫助他們體驗(yàn)（Experience）主要觀點(diǎn)和探索（Explore）問題；

R——提供機(jī)會去反思（Rethink）和修改（Revise）他們的理解及學(xué)習(xí)表現(xiàn)；

E2——允許學(xué)生評價(jià)（Evaluate）他們的學(xué)習(xí)表現(xiàn)及其含義；

T——對于學(xué)生不同需要、興趣和能力做到量體裁衣（ Tailor）（個(gè)性化）；

O——組織（Organize）教學(xué)使其最大程度地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)與持續(xù)參與的熱情，提升學(xué)習(xí)效果，

本單元的活動順序如下：

（1）（H）創(chuàng)設(shè)具體情境：請同學(xué)們觀看葡萄酒杯、蘇州之門和折紙風(fēng)車，感受它們的對稱美（軸對稱和中心對稱，初中學(xué)過），并提問：我們學(xué)過哪些函數(shù)具有類似的對稱性？吸引學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為引入函數(shù)的奇偶性作鋪墊．

（2）（W）介紹本單元的基本問題，討論單元的最終表現(xiàn)性任務(wù)（函數(shù)與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)小能手、小小程序員）．

（3）（E1）通過具體函數(shù)圖象，設(shè)置問題串，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生歸納偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，并用符號表示，培育直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，以支持表現(xiàn)性任務(wù)2．

（4）（R．E2）討論問題：歷史上為什么把在定義域上具有性質(zhì)f（一x）=f（x）的函數(shù)叫做偶函數(shù)，具有性質(zhì)，f（一x）=f（x）的函數(shù)叫做奇函數(shù)？學(xué)生互評，以支持表現(xiàn)性任務(wù)1.

（5）（E1）小測驗(yàn)——判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由．

（6）（R，T）提問：為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性？

（7）（H，E1）觀察某地24小時(shí)氣溫變化圖，類比函數(shù)的奇偶性，通過問題引導(dǎo)，幫助學(xué)生建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的概念，并用符號表示，培育數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，以支持表現(xiàn)性任務(wù)2．

（8）（R，E2）簡答題——根據(jù)函數(shù)圖象答出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（9）（E2，T）大顯身手：證明具體函數(shù)f（x）=x+ 1/x在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，培育學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，了解學(xué)生掌握程度．

（10）（E1）播放熊貓活動視頻，展示熊貓居室尺寸，讓學(xué)生求解熊貓居室面積，培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，通過求解面積最大值引入函數(shù)最大（小）值概念．

（11）（E2，T）小組合作學(xué)習(xí)：探究二次函數(shù)在不同區(qū)間上的最大（?。┲登闆r并分享方法，滲透分類討論思想．

（12）（E1）介紹函數(shù)零點(diǎn)的概念以及零點(diǎn)存在定理，通過猜價(jià)格游戲，提示學(xué)生用二分法來求方程f（x）=0的近似解．

（13）（R，T）小組合作探究：畫出二分法求方程f（x）=0近似解的程序框圖，并借助計(jì)算工具用二分法求方程f（x）=0的近似解，以支持表現(xiàn)性任務(wù)3．

（14）（E2，R，T）結(jié)合生活中實(shí)際問題，建立函數(shù)模型，通過數(shù)據(jù)分析，畫出函數(shù)圖象，研究函數(shù)的基本性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，解決實(shí)際問題，并自評與互評．

3基于逆向教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)反思

通過對“函數(shù)的基本性質(zhì)”小單元逆向教學(xué)設(shè)計(jì)的研究與探索，筆者感悟最深刻的有以下三點(diǎn)：

（1）教學(xué)設(shè)計(jì)從關(guān)注教材轉(zhuǎn)向關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)科核心素養(yǎng)

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)往往從教材出發(fā)，根據(jù)對教材的解讀而設(shè)計(jì)教案，進(jìn)而開展教學(xué)活動，但是，教材只是達(dá)成目標(biāo)的教學(xué)素材，并非目標(biāo)或標(biāo)準(zhǔn)．本次設(shè)計(jì)通過統(tǒng)整數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)科核心素養(yǎng)得到教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)制定學(xué)習(xí)目標(biāo)、設(shè)計(jì)確定合適的評估證據(jù)再根據(jù)證據(jù)設(shè)計(jì)教學(xué)體驗(yàn)和活動，通過整合，“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元學(xué)習(xí)目標(biāo)明確，學(xué)生在函數(shù)奇偶性、單調(diào)性等的學(xué)習(xí)過程中，逐步感悟數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師可以根據(jù)評估證據(jù)相應(yīng)調(diào)整教學(xué)安排，實(shí)現(xiàn)高效的教學(xué)效果．

（2）教學(xué)設(shè)計(jì)要站在單元設(shè)計(jì)視角下進(jìn)行整體規(guī)劃

“函數(shù)的基本性質(zhì)”單元討論的函數(shù)的性質(zhì)包括：奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，要理解這些性質(zhì)的研究順序（奇偶性．單調(diào)性·最值·零點(diǎn)），需要認(rèn)識這些性質(zhì)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)．函數(shù)的奇偶性可以讓研究的工作量減半，需要事先研究；函數(shù)的單調(diào)性是研究最值的重要工具，需要在最值之前研究；而函數(shù)的零點(diǎn)則作為函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，故放在最后研究．在這些性質(zhì)中，單調(diào)性是重點(diǎn)也是難點(diǎn)．

事實(shí)上，學(xué)生在初中已經(jīng)結(jié)合具體函數(shù)定性地研究過函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值等性質(zhì)；到高中研究函數(shù)的性質(zhì)，主要是讓學(xué)生經(jīng)歷從“定性到定量”的過渡，用數(shù)學(xué)符號語言表示，培育數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，并解決生活中的函數(shù)模型問題．

（3）目標(biāo)、評價(jià)與教學(xué)的一致，是目標(biāo)達(dá)成的根本保障

逆向教學(xué)設(shè)計(jì)的主要不同之處在于為改變忽視評估證據(jù)完整性的思維提供工具和方法，從而達(dá)到目標(biāo)、評估、教學(xué)的一致性．本單元設(shè)計(jì)關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)科核心素養(yǎng)的整合，評估設(shè)計(jì)優(yōu)先于教學(xué)設(shè)計(jì)，評價(jià)任務(wù)嵌入教學(xué)活動和體驗(yàn)環(huán)節(jié)中，形成“教學(xué)一評價(jià)一教學(xué)”的螺旋式上升環(huán)．這樣一來，評價(jià)與教學(xué)的一致性就得以體現(xiàn)，也為“函數(shù)的基本性質(zhì)”學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成提供了根本保障，

參考文獻(xiàn)

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