姜詠梅王志俊

（1.江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共基礎(chǔ)學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

0 引言

眾所周知，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，進(jìn)而用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型并解決問題的過程。數(shù)學(xué)建模是發(fā)展現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要突破口，它搭建了一個數(shù)學(xué)與外部世界緊密聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路。

對于大學(xué)生來說，各個領(lǐng)域的許多實際問題即使在了解了相關(guān)背景的情況下也很難借助于所學(xué)高等數(shù)學(xué)知識加以解決。究其原因，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教學(xué)內(nèi)容理論推導(dǎo)和計算居多，應(yīng)用性（特別是開放應(yīng)用性）的教學(xué)內(nèi)容偏少，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和專業(yè)知識之間的銜接存在一定的問題。

對于此問題，葉其孝在將數(shù)學(xué)建模思想和方法融入高等數(shù)學(xué)課的教學(xué)方面做了深入的討論并提出了值得借鑒的建議。受此啟發(fā)，本文結(jié)合在國內(nèi)具有一定影響力的五一數(shù)學(xué)建模競賽中一些典型題目，探討數(shù)學(xué)建模教育在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容方面的有機融合。

五一數(shù)學(xué)建模競賽是由中國礦業(yè)大學(xué)、江蘇省工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會和徐州市工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會聯(lián)合主辦的在國內(nèi)具有一定影響力的數(shù)學(xué)建模賽事。該項賽事規(guī)模不斷擴大，2021年第十八屆五一數(shù)學(xué)建模競賽共吸引了近6 000支隊伍、17 000多名學(xué)生參賽；賽事質(zhì)量也不斷提高，往屆賽題中許多問題的解決為相關(guān)單位帶來了良好的經(jīng)濟和社會效益。五一數(shù)學(xué)建模競賽于每年的“五一”期間（連續(xù)72小時）以參賽隊為單位進(jìn)行比賽，參賽隊從三道競賽題目中選擇一題進(jìn)行解答并提交參賽作品。

1 課程內(nèi)容及相關(guān)數(shù)學(xué)模型

在多數(shù)高等院校中，高等數(shù)學(xué)課程群主要包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計三大課程。通過對這三大課程結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)建模專題的內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求進(jìn)行分析比對，結(jié)合五一數(shù)學(xué)建模競賽歷年來的賽題，選取了以下幾種常見的數(shù)學(xué)建模類型：基于指數(shù)函數(shù)的經(jīng)濟數(shù)學(xué)和社會數(shù)學(xué)模型；基于線性方程組的線性規(guī)劃模型；基于統(tǒng)計學(xué)的聚類分析方法和線性回歸模型，以及相應(yīng)的題目素材作為課程內(nèi)容供參考使用。

1.1 基于指數(shù)函數(shù)的經(jīng)濟數(shù)學(xué)和社會數(shù)學(xué)模型

指數(shù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中所要研究的一類基本函數(shù)，是一種描述客觀世界變量之間指數(shù)增長或衰減關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)工具，與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型在許多領(lǐng)域有實際背景和具體應(yīng)用。經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型和社會數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模專題所要研究的內(nèi)容之一，而像存款貸款規(guī)模控制、經(jīng)濟增長預(yù)測和人口增長預(yù)測等一些經(jīng)濟社會實際問題均可通過指數(shù)函數(shù)模型來提供理論依據(jù)或解決方案。同時，在理解指數(shù)函數(shù)的概念以及其中所蘊含的運算規(guī)律的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)基于指數(shù)函數(shù)的經(jīng)濟數(shù)學(xué)和社會數(shù)學(xué)模型將有助于理解指數(shù)函數(shù)的實際意義，感受指數(shù)函數(shù)在刻畫增長率問題中的作用。

五一數(shù)學(xué)建模競賽2018年B題“商業(yè)銀行人民幣貸款規(guī)模分配及盈利問題”、2016年C題“二孩政策問題”、2015年C題“生態(tài)文明建設(shè)評價問題”和2014年“延遲退休問題”等分別由經(jīng)濟和社會領(lǐng)域的實際問題加工而成。這些題目中的部分問題均可在簡單了解相關(guān)背景知識的基礎(chǔ)上，建立指數(shù)函數(shù)模型，進(jìn)而尋得合理的解決方案。以2015年C題“生態(tài)文明建設(shè)評價問題”第四問為例，該題是基于某省生態(tài)文明建設(shè)改進(jìn)措施效果的研究。對于如單位地區(qū)生產(chǎn)總值能耗、單位地區(qū)生產(chǎn)總值廢水排放量、綠化覆蓋率、人均公共圖書藏書量等指標(biāo)，可以采用指數(shù)函數(shù)模型來研究其未來的變化趨勢。

1.2 基于線性方程組的線性規(guī)劃模型

作為線性代數(shù)的主要研究對象之一，線性方程組是一類簡單且重要的代數(shù)方程組。借助于矩陣和行列式，線性方程組的理論解法（如高斯消元法、克拉默法則等）已非常成熟；在計算數(shù)學(xué)中，其數(shù)值解法也日益完善。線性方程組有著廣泛的應(yīng)用，科學(xué)技術(shù)中的許多問題均可歸結(jié)為解線性方程組。作為運籌學(xué)的一個重要分支，線性規(guī)劃研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題。通俗來說，在實際問題（如生產(chǎn)安排、貨物運輸?shù)龋┲?，線性規(guī)劃是要找到一種最優(yōu)的“方案”，使用或分配有限的資源（如原材料、車輛等）使得費用最省或者利潤最大，以達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)。

五一數(shù)學(xué)建模競賽2019年B題“木板最優(yōu)切割方案”、2018年A題“徐州潘安湖風(fēng)景區(qū)游覽路線設(shè)計”、2017年A題“公交車排班問題”和2013年C題“整車物流調(diào)動系統(tǒng)”等均以數(shù)學(xué)中的優(yōu)化理論為基礎(chǔ)，根據(jù)題目要求建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而借助于計算機給出在特定約束條件下的最優(yōu)解。而上述四道題目中對部分問題所建立的目標(biāo)函數(shù)均是線性目標(biāo)函數(shù)，均可以用線性規(guī)劃模型得到解決方案。

1.3 基于統(tǒng)計學(xué)的聚類分析方法和線性回歸模型

統(tǒng)計的教學(xué)活動應(yīng)通過典型案例進(jìn)行。應(yīng)用統(tǒng)計是在概率與統(tǒng)計專題的基礎(chǔ)上展開的，而聚類分析和線性回歸模型是應(yīng)用統(tǒng)計中的兩個主要內(nèi)容。聚類分析是一種對數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析和處理，從中尋找相似元素，以達(dá)到分類目的的方法。對數(shù)據(jù)集進(jìn)行分類的目的不同，聚類分析的方法也各異。在此過程中，筆者將結(jié)合具體實例介紹K-均值聚類和分層聚類這兩種易于接受的聚類方法。線性回歸是一種用來確定兩個或兩個以上變量間互相依賴的線性關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法。在許多領(lǐng)域，特別是在經(jīng)濟學(xué)中，線性回歸常用來作為一種實證工具來預(yù)測各種指標(biāo)。將介紹一元線性回歸和簡單的二元線性回歸模型以及利用最小二乘法原理對模型中的參數(shù)進(jìn)行估計。

五一數(shù)學(xué)建模競賽2019年C題“科創(chuàng)板擬上市企業(yè)估值”、2018年B題“商業(yè)銀行人民幣貸款規(guī)模分配及盈利問題”和2008年“股指期貨套利問題”等題目都有來自不同領(lǐng)域的真實數(shù)據(jù)，都不同程度地涉及應(yīng)用統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)分析處理，進(jìn)而確定不同要素之間的依賴關(guān)系或預(yù)測某一指標(biāo)的走勢。以2019年C題《科創(chuàng)板擬上市企業(yè)估值》為例，通過對中國A股市場和美國NASDAQ市場相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類，然后利用多元線性回歸模型就可以定量分析估值水平與基本面指標(biāo)、流動性指標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而給出差異性分析。這些方法和模型所得的相關(guān)結(jié)果對于研究我國科創(chuàng)板企業(yè)上市后的估值水平，都具有很好的參考價值。

2 數(shù)學(xué)模型應(yīng)用與實踐

以2019年B題基于線性方程組的線性規(guī)劃模型“木板最優(yōu)切割方案”為例。本題在切割大塊木板的過程中，需要設(shè)計合理的切割方案，從而降低生產(chǎn)成本，減少材料浪費，提高材料利用率，使家具廠經(jīng)濟生產(chǎn)效益最大化。問題1～5均可歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。比如在問題1中，為了使木板的利用率最大，只需產(chǎn)品P1的總面積最大，即一塊木板能切割產(chǎn)品P1的數(shù)量最多，可分別按長度和寬度進(jìn)行優(yōu)化組合，取兩者利用率更大者作為最終方案。以按木板長度優(yōu)化組合為例，可以建立如下的數(shù)學(xué)模型：

式中，x表示產(chǎn)品P1橫向排列的數(shù)目，y表示縱向排列的數(shù)目。顯然，該模型的目標(biāo)函數(shù)f（x，y）為線性函數(shù)，約束條件為線性不等式，它是線性規(guī)劃模型。（注：x，y取自然數(shù)表明它還是一個整數(shù)規(guī)劃模型。）

注意到，當(dāng)線性方程ax+ay=b變成線性不等式ax+ay≤b時，它在二維平面上就由一條直線變成該直線一側(cè)的半平面了。如上述模型中的線性不等式373x+201y≤3 000就表示直線373x+201y=3 000左側(cè)的半平面，373x+201y≥2 799就表示直線373x+201y=2799右側(cè)的半平面。因此，模型中的前兩個約束條件表示的是兩條平行直線中間的區(qū)域（如圖1所示）。

圖1

模型是要求和使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值，從直觀上看，越靠近直線的點取得的函數(shù)值越大。在不考慮是否為自然數(shù)的情況下，取得最大值的位于右側(cè)的直線上；當(dāng)考慮和均為自然數(shù)時，取得最大值的應(yīng)在中間區(qū)域且接近右側(cè)直線。而滿足這一條件的點只有。通過簡單的代入計算即得：目標(biāo)函數(shù)取得最大值的整數(shù)解為且取得最大值59。該問題詳細(xì)討論了線性規(guī)劃模型與線性方程組之間的關(guān)系。

3 結(jié)語

結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容開展數(shù)學(xué)建模教育的目的是希望學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上領(lǐng)略數(shù)學(xué)建模的思想和方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，進(jìn)而體會到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。在這一過程中，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模素材和數(shù)學(xué)知識之間的有機融合往往能夠在教學(xué)上起到事半功倍的效果。從數(shù)學(xué)建模競賽賽題的建模方法中挖掘素材、凝練數(shù)學(xué)原理，進(jìn)而在數(shù)學(xué)教學(xué)中有針對性地進(jìn)行剖解分析；從數(shù)學(xué)建模競賽賽題的模型求解中發(fā)現(xiàn)方法、再現(xiàn)科學(xué)計算，進(jìn)而在數(shù)學(xué)教學(xué)中有針對性地強化訓(xùn)練。這樣就達(dá)到了將數(shù)學(xué)建模思想滲透到整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的目的，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。