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      課本題:開展數(shù)學(xué)探究活動的切入點
      ——以蘇教版教材《數(shù)列》一道習(xí)題為例*

      2022-11-14 19:02:07徐愛勇江蘇省江浦高級中學(xué)211800
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年6期
      關(guān)鍵詞:板演裂項數(shù)列

      徐愛勇 (江蘇省江浦高級中學(xué) 211800)

      數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是讓學(xué)生進行“再創(chuàng)造”.即數(shù)學(xué)知識應(yīng)由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造,教師的任務(wù)是幫助和引導(dǎo)學(xué)生進行“再創(chuàng)造”工作,而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生,這與新課程所倡導(dǎo)的探究活動的理念是一致的.課本是學(xué)生學(xué)習(xí)的最重要的課程資源,其中的閱讀、思考、探究、例習(xí)題等都是編者從學(xué)科整體的角度出發(fā),經(jīng)過精心挑選編寫出來的,符合學(xué)生的認知特征,是開展數(shù)學(xué)探究活動的極好素材.

      如《普通高中教科書·數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》(蘇教版)第四章《數(shù)列》第3節(jié)習(xí)題4.3第13題,筆者以此作為開展數(shù)學(xué)探究活動的切入點,嘗試從“由已知到已知”“由已知到未知”“由未知到已知”“由未知到未知”等四個方面開展探究,從而達到對“數(shù)列求和”的深度學(xué)習(xí),努力構(gòu)建“課堂上如何開展數(shù)學(xué)探究活動”的操作范式,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.現(xiàn)將筆者的教學(xué)實踐過程整理出來,以期拋磚引玉.

      問題

      (蘇教版選擇性必修第一冊第156頁習(xí)題4.3第13題)求和:

      S

      =1+2

      x

      +3

      x

      +…+

      nx

      -1.

      1 由已知到已知

      數(shù)學(xué)探究活動最原始的形式是“由已知到已知”.所謂“由已知到已知”,是指探究的結(jié)果或方法可以直接從已有的結(jié)果或方法中得到,最常見的手段就是模仿或類比.

      師:我們曾著重研究過等比數(shù)列相關(guān)問題,同學(xué)們還記得等比數(shù)列的求和公式是如何推導(dǎo)出來的嗎?

      生1(學(xué)生回答,教師板演):利用“錯位相減法”求和!

      設(shè)

      S

      =

      a

      +

      a

      q

      +

      a

      q

      +…+

      a

      q

      -1①,則

      qS

      =

      a

      q

      +

      a

      q

      +

      a

      q

      +…+

      a

      q

      ②,由①-②,得(1-

      q

      )

      S

      =

      a

      -

      a

      q

      ,則當(dāng)

      q

      ≠1時,當(dāng)

      q

      =1時,

      S

      =

      na

      .

      師:很好!再想一想,如何解這道題呢?

      生2(板演):當(dāng)

      x

      =0時,

      S

      =1;當(dāng)

      x

      =1時,當(dāng)

      x

      ≠1時,

      S

      =1+2

      x

      +3

      x

      +…+

      nx

      -1①,

      xS

      =

      x

      +2

      x

      +3

      x

      +…+

      nx

      ②,由①-②,得(1-

      x

      )

      S

      =1+

      x

      +

      x

      +…+

      x

      -1-

      nx

      ,即

      師:能談?wù)勀闶窃趺聪氲降膯幔?/p>

      生2(在教師的引導(dǎo)下):當(dāng)一個數(shù)列的每一項都是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的積時,可以用“錯位相減法”求和.

      師:很好!這是一種“由已知到已知”的數(shù)學(xué)探究活動,它是在我們能夠識別數(shù)列通項結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上的解題模仿活動.

      2 由已知到未知

      通常情況下,在利用“錯位相減法”求解完這道題以后,解題探究活動也隨之結(jié)束了.雖然學(xué)生知道數(shù)列求和還有“分組求和”“裂項相消”等方法,但覺得這些方法在這里壓根就用不上,因此也就不會去思考這一問題.此時就進入了數(shù)學(xué)探究活動的第二層級,即“由已知到未知”.所謂“由已知到未知”是指學(xué)生以往掌握的知識或方法在新的條件下不再有效,或者說探究從原有條件下的“已知”變成了新條件下的“未知”問題.這種情況是數(shù)學(xué)探究活動中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象,面對這種現(xiàn)象往往需要對原有的條件或結(jié)論進行變形、推廣、引申,從而產(chǎn)生新結(jié)論或新方法.從心理學(xué)角度來看,就是通過順應(yīng)將舊知識適當(dāng)改變以后再納入新知識的體系當(dāng)中.

      師:我們知道數(shù)列求和有很多方法,例如課本第167頁第11題:求數(shù)列的前

      n

      項的和,應(yīng)采用什么方法?

      生3:用“裂項相消法”求和!

      師:“裂項相消法”本質(zhì)是把數(shù)列的通項分解為另一個數(shù)列的相鄰兩項的差,即表示成

      a

      =

      b

      -

      b

      -1(

      n

      ≥2,

      n

      N

      ).那么,能否用這種方法來解決這道題呢?

      師:不妨先研究這里的特殊情況(課本第156頁第12題):

      求和:

      生4(分組討論,學(xué)生板演):令比較系數(shù),得

      k

      =

      b

      =-2,則生5(分組討論,學(xué)生板演):令

      nx

      -1=(

      kn

      +

      b

      )

      x

      -[

      k

      (

      n

      -1)+

      b

      ]

      x

      -1=[

      k

      (

      x

      -1)

      n

      +

      k

      +(

      x

      -1)

      b

      ]

      x

      -1,比較系數(shù),得因此

      師:這是一種典型的從“已知”到“未知”的探究性學(xué)習(xí)活動.我們從運算規(guī)則的層面考察“錯位相減法”與“裂項相消法”之間的關(guān)聯(lián),其實質(zhì)都是將不規(guī)則的運算轉(zhuǎn)化為規(guī)則的運算.

      3 由未知到已知

      相比“由已知到已知”和“由已知到未知”,數(shù)學(xué)探究活動中更難的是“由未知到已知”.所謂“由未知到已知”,就是在探究的結(jié)論或方法是學(xué)生先前未知的情況下探究新的知識.由于學(xué)生先前沒有任何這方面的經(jīng)驗或知識積累,這種探究就更困難,同時也更具有挑戰(zhàn)性.遇到這種情況,往往需要通過對知識內(nèi)核進行挖掘探究.本節(jié)課中,學(xué)生通過“錯位相減法”和“裂項相消法”解決本題以后,一般都認為已經(jīng)很完美了,沒有什么內(nèi)容再需要探究了.但如果從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì)再去挖掘,我們或許還會有新的發(fā)現(xiàn).這種發(fā)現(xiàn)對于學(xué)生來說是先前未知的,因此是一種“由未知到已知”的探究活動.

      師:我們對數(shù)列求和的一些方法進行化歸,將不規(guī)則的運算轉(zhuǎn)化為規(guī)則的運算.如果我們能跳出數(shù)列的框架束縛,在所學(xué)的其他知識板塊中,能否聯(lián)想到一些“結(jié)構(gòu)相似點”?

      生6(分組討論,學(xué)生板演):因為所以1+2

      x

      +3

      x

      +…+

      nx

      -1=師:這是一次“由未知到已知”的精彩演繹,通過構(gòu)造函數(shù)

      f

      (

      x

      )=

      x

      ,利用導(dǎo)數(shù)來解決數(shù)列求和問題.這樣的解法太富有創(chuàng)造性了!

      4 由未知到未知

      “由未知到未知”是數(shù)學(xué)探究活動的最高境界.所謂“由未知到未知”,是指學(xué)生在掌握了類比這一探究方法以后,能自覺地尋找探究課題,或?qū)㈩惐确椒☉?yīng)用到自己碰到的新問題、新情境當(dāng)中.比如,本節(jié)課學(xué)習(xí)后,若學(xué)生主動探究以下問題,就達到了“由未知到未知”這一最高境界.

      問題1

      (蘇教版選擇性必修第一冊第168頁第14題)利用等比數(shù)列的前

      n

      項和公式證明:

      問題2

      (蘇教版選擇性必修第一冊第188頁求導(dǎo)公式8)求函數(shù)

      f

      (

      x

      )=

      x

      的導(dǎo)數(shù).

      解析

      因為

      =,

      所以

      f

      ′(

      x

      )=

      nx

      -1(

      n

      N

      ).

      問題3

      (2007年江蘇高考卷第20題)已知{

      a

      }是等差數(shù)列,{

      b

      }是公比為

      q

      的等比數(shù)列,

      a

      =

      b

      ,

      a

      =

      b

      a

      ,記

      S

      為數(shù)列{

      b

      }的前

      n

      項和.(1)若

      b

      =

      a

      (

      m

      ,

      k

      是大于2的正整數(shù),求證:

      S

      -1=(

      m

      -1)

      a

      .(2)

      b

      =

      a

      (

      i

      是某一正整數(shù)),求證:

      q

      是整數(shù),且數(shù)列{

      b

      }中每一項都是數(shù)列{

      a

      }中的項.(3)是否存在這樣的正數(shù)

      q

      ,使等比數(shù)列{

      b

      }中有三項成等差數(shù)列?若存在,寫出一個

      q

      的值,并加以說明;若不存在,請說明理由.

      解析

      僅探究第(2)問

      .b

      =

      a

      q

      ,

      a

      =

      a

      +(

      i

      -1)

      a

      (

      q

      -1),由

      b

      =

      a

      ,得

      q

      =1+(

      i

      -1)(

      q

      -1),即

      q

      -(

      i

      -1)

      q

      +(

      i

      -2)=0,得

      q

      =1(舍)或

      q

      =

      i

      -2,則

      q

      =

      i

      -2∈

      N

      .設(shè)數(shù)列{

      b

      }中任意一項為

      b

      =

      a

      q

      -1(

      n

      N

      ),{

      a

      }中的某一項

      a

      =

      a

      +(

      m

      -1)

      a

      (

      q

      -1),即證

      b

      =

      a

      ,即

      a

      q

      -1=

      a

      +

      q

      -2,則

      m

      =2+

      q

      +

      q

      +…+

      q

      -2

      N

      ,獲證.

      在開展數(shù)學(xué)探究活動時,設(shè)置的問題應(yīng)來源于課本且高于課本,應(yīng)整體設(shè)計、分步實施探究活動,以實現(xiàn)“已知與未知”之間的轉(zhuǎn)換,引導(dǎo)學(xué)生從類比模仿到自主創(chuàng)新、從局部實施到整體構(gòu)想,積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗,養(yǎng)成獨立思考與合作交流的習(xí)慣.

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