張成 黃偉國(guó) 馬玉強(qiáng) 闕紅波 江星星 朱忠奎

摘要：信號(hào)稀疏表示的過(guò)完備字典根據(jù)構(gòu)造方式分為解析字典和學(xué)習(xí)字典兩大類。解析字典結(jié)構(gòu)固定，自適應(yīng)性差。構(gòu)建解析字典需要充分分析振動(dòng)信號(hào)的振蕩特性，獲取充足的先驗(yàn)知識(shí)。學(xué)習(xí)字典擺脫了先驗(yàn)知識(shí)的桎梏，可以直接從信號(hào)中自適應(yīng)地訓(xùn)練學(xué)習(xí)出來(lái)，自適應(yīng)性強(qiáng)。結(jié)合信號(hào)保真能力較好的廣義極小極大凹罰函數(shù)，提出了基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的信號(hào)稀疏表示方法，改進(jìn)了 K?SVD 算法中樣本訓(xùn)練矩陣的構(gòu)造方式，減少了運(yùn)算時(shí)間，并且利用軟閾值算法彌補(bǔ)了學(xué)習(xí)字典對(duì)噪聲抵抗性較差的缺點(diǎn)。最后在缺乏先驗(yàn)知識(shí)的條件下，分別在軸承的仿真信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)的分析過(guò)程中，運(yùn)用所提出方法實(shí)現(xiàn)故障診斷。

關(guān)鍵詞：故障診斷；軸承；稀疏表示；K ?SVD 算法；字典學(xué)習(xí)；GMC 罰函數(shù)

中圖分類號(hào)： TH165+.3；TH133.3??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)：1004-4523（2022）05-1278-11

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.026

引言

軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的關(guān)鍵零部件，被廣泛應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)、電動(dòng)機(jī)、高鐵齒輪箱等部位。實(shí)踐表明，軸承是最容易發(fā)生故障的部件之一。因此，對(duì)軸承狀態(tài)進(jìn)行檢測(cè)意義重大[1]。

當(dāng)軸承表面發(fā)生局部故障時(shí)，表面缺陷會(huì)與其他接觸面直接產(chǎn)生瞬態(tài)沖擊[2]。一方面由于軸承早期故障的特征不明顯，另一方面受限于實(shí)驗(yàn)設(shè)備如傳感器靈敏度等因素，故障成分往往夾雜在背景噪聲中，不能及時(shí)準(zhǔn)確地識(shí)別出來(lái)。

軸承故障在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的瞬態(tài)沖擊成分具有稀疏性，而背景噪聲往往是隨機(jī)分布的，不具有稀疏屬性，因此稀疏表示方法近些年被廣泛應(yīng)用于軸承故障診斷。Wang 等[3]提出了一種新的稀疏優(yōu)化求解方法——平均隨機(jī)正交匹配追蹤（AROMP）算法。Li 等[4]將稀疏表示和階數(shù)跟蹤技術(shù)結(jié)合，成功地從非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)中提取出故障特征。Zhao 等[5]在稀疏表示框架下定義了廣義結(jié)構(gòu)收縮算子并構(gòu)造了廣義結(jié)構(gòu)收縮算法（GSSA）。 Huang 等[6]針對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)在組內(nèi)和組間的稀疏性，提出了一種新的群稀疏信號(hào)分解方法。Lin 等[7]提出了一種融合的多增強(qiáng)型全變差去噪（FMTVD）懲罰算法，以避免字典構(gòu)造問(wèn)題和誘導(dǎo)稀疏性。

信號(hào)的稀疏表示在故障特征提取方面的效果很大程度上依賴于過(guò)完備字典的優(yōu)劣?，F(xiàn)有的解析字典[8?10]雖然都取得一定的效果，但是構(gòu)造過(guò)程中需要開(kāi)展大量工作來(lái)獲取先驗(yàn)知識(shí)作為理論支撐。其次，特定基函數(shù)的解析字典往往只針對(duì)固定的故障類型，與故障類型不匹配的字典的稀疏表示效果較差，自適應(yīng)性也較差。學(xué)習(xí)字典能夠彌補(bǔ)這些缺陷。它不需要通過(guò)前期工作獲得先驗(yàn)知識(shí)，而是直接從信號(hào)中訓(xùn)練學(xué)習(xí)出自適應(yīng)信號(hào)內(nèi)部特征的過(guò)完備字典。常見(jiàn)的字典學(xué)習(xí)方法有 MOD（Method of Optimal Direc?tions，最優(yōu)方向法）算法[11]、K ? SVD（K ?Singular Value Decomposition，K 奇異值分解）算法?[12?13]等。

針對(duì)稀疏表示解析字典自適應(yīng)性較差的問(wèn)題，本文提出基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的信號(hào)稀疏表示方法。該方法首先基于用廣義極小極大凹（General? ized Minimax Concave，GMC）罰函數(shù)來(lái)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，GMC 罰函數(shù)不僅具有良好的信號(hào)保真能力，而且在加強(qiáng)信號(hào)稀疏性和特征提取能力方面有著突出的表現(xiàn)。其次改進(jìn)了 K?SVD 算法的樣本訓(xùn)練矩陣的構(gòu)造結(jié)構(gòu)來(lái)減少運(yùn)算時(shí)間，接著通過(guò)軟閾值算法優(yōu)化學(xué)習(xí)字典提高對(duì)噪聲的抵抗能力，最后通過(guò)凸優(yōu)化算法求解稀疏優(yōu)化模型，將軸承故障特征在學(xué)習(xí)字典上稀疏表示，從而實(shí)現(xiàn)故障特征頻率提取和故障診斷。仿真分析和工程試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性和優(yōu)越性。

1 信號(hào)的稀疏表示

稀疏表示的基本思路[14]為：通過(guò)對(duì)稀疏表示模型的最小化優(yōu)化求解，得到信號(hào)在過(guò)完備字典上的稀疏表示系數(shù)，結(jié)合字典和稀疏表示系數(shù)，重構(gòu)出目標(biāo)分量。

針對(duì)高斯背景噪聲的軸承振動(dòng)信號(hào) y ∈N，稀疏表示模型可以表示為：

式中? x ∈N 為目標(biāo)特征分量，n 表示噪聲干擾分量。稀疏表示的目標(biāo)就是從軸承振動(dòng)信號(hào) y 中有效地分離出目標(biāo)特征分量 x 。假設(shè)目標(biāo)特征分量 x 可以在某個(gè)過(guò)完備字典 A∈N × M 上稀疏表示，即：

式中? c 為稀疏表示系數(shù)。此時(shí)，稀疏表示模型可以數(shù)學(xué)描述為：

式中? R （c ）為罰函數(shù)，來(lái)控制 c 的稀疏度，δ為稀疏表示誤差。上述約束最小化問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)無(wú)約束稀疏正則化線性反問(wèn)題：

式中λ≥0為正則化參數(shù)，控制保真項(xiàng)（第一項(xiàng)）和懲罰項(xiàng)（第二項(xiàng)）間的平衡，在保證較準(zhǔn)確估計(jì)出目標(biāo)分量的同時(shí)盡可能去除噪聲（防止欠擬合和過(guò)擬合）[14]。通過(guò)式（4）最小化求解得到估計(jì)系數(shù)c*，目標(biāo)特征分量 x 可以被估計(jì)為x *= Ac*。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 稀疏罰函數(shù)設(shè)計(jì)

信號(hào)稀疏表示方法的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題在于稀疏罰函數(shù)的設(shè)計(jì)。稀疏罰函數(shù)作為稀疏表示模型中目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵部分，直接影響著稀疏表示稀疏的稀疏性和軸承故障特征提取的準(zhǔn)確性。

表1列出了常見(jiàn)的罰函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，圖1進(jìn)一步對(duì)這些罰函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的閾值函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)律統(tǒng)計(jì)分析（λ=1，a =0.5），其中軟閾值（soft）為 L1范數(shù)對(duì)應(yīng)的閾值。從圖1（b）中，可以看出當(dāng)幅值較大時(shí)，除 MC 罰函數(shù)所對(duì)應(yīng)的閾值函數(shù)外，各閾值函數(shù)都與 y=x 存在一定的距離。因此相較于 L1范數(shù)，參數(shù)化非凸罰函數(shù)都有一定的幅值保真能力，而 MC 罰函數(shù)的幅值保真效果更為優(yōu)異。

Selesnick [15]基于 MC 非凸罰函數(shù)提出的廣義極小極大凹（Generalized Minimax Concave，GMC）罰函數(shù)。GMC 罰函數(shù)具有良好的信號(hào)保真能力，可以在保持目標(biāo)函數(shù)凸性的同時(shí)有效地誘導(dǎo)稀疏性，提高信號(hào)特征提取的效率[16]。

GMC 罰函數(shù)ψB 定義為：

式中? SB 為廣義 Huber 函數(shù)，定義為：

式中? v 為 x 定義域內(nèi)的一點(diǎn)，B 為壓縮尺度參數(shù)矩陣。

2.2? 自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)

信號(hào)稀疏表示方法的另一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題在于稀疏表示字典的構(gòu)造。稀疏表示字典的構(gòu)造很大程度上影響著信號(hào)稀疏表示的結(jié)果和故障診斷的效果。解析字典由于基函數(shù)固定，自適應(yīng)性差，不能隨著信號(hào)數(shù)據(jù)的改變而自適應(yīng)地調(diào)整。而字典學(xué)習(xí)自適應(yīng)性強(qiáng)，可以通過(guò)直接對(duì)信號(hào)數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)，更精準(zhǔn)地構(gòu)造出匹配信號(hào)內(nèi)部本質(zhì)特征的過(guò)完備字典。

2.2.1 構(gòu)建樣本訓(xùn)練矩陣

字典學(xué)習(xí)需要二維的樣本訓(xùn)練矩陣，并且必須滿足列數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于行數(shù)的訓(xùn)練要求。構(gòu)造樣本訓(xùn)練矩陣的傳統(tǒng)方法是依據(jù) Hankel 矩陣結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造[17]，但是構(gòu)造的矩陣較大，很大程度上降低了字典學(xué)習(xí)算法的精確度和運(yùn)算速度。為了提高運(yùn)算精確度與運(yùn)算速度，本文根據(jù)不同重疊率分割構(gòu)造樣本訓(xùn)練矩陣。

故障產(chǎn)生的瞬態(tài)沖擊在時(shí)域上表現(xiàn)為周期性的脈沖成分，如圖2所示。為了不破壞信號(hào)故障脈沖成分的周期性，設(shè)置片段分割長(zhǎng)度 L 必須大于故障周期 T，其中實(shí)際信號(hào)的故障周期 T 可以利用 Fan 等[18]提出的抗噪聲相關(guān)性（NRC）估計(jì)出。

式中? T 表示故障周期；k = n × N × i，k 表示信號(hào)重疊長(zhǎng)度；n 表示重疊率；N 表示信號(hào)長(zhǎng)度；i =0，1，…，m 表示整數(shù)；h 表示重疊取樣次數(shù)。yj表示矩陣每一列選取的重疊數(shù)據(jù)。

為了避免式（7）中最后一列中零值破壞信號(hào)稀疏系數(shù)的稀疏性，將式（7）改寫(xiě)為：

最終構(gòu)建樣本訓(xùn)練矩陣：

只要設(shè)置合適的重疊率，就能根據(jù)式（10）靈活地構(gòu)建出滿足行數(shù)與列數(shù)要求的樣本訓(xùn)練矩陣。

2.2.2? K?SVD 算法

K?奇異值分解（ K?Singular Value Decomposi? tion，K?SVD）算法是由Aharon等[19]提出的一種應(yīng)用廣泛的字典學(xué)習(xí)算法。K?SVD 算法旨在解決以下優(yōu)化問(wèn)題[20]：

式中? Y 表示信號(hào)的樣本訓(xùn)練矩陣；A 表示過(guò)完備字典；D ={di }，i =1，…，N 表示信號(hào)稀疏系數(shù)矩陣；ε表示稀疏編碼逼近誤差。其中，Y ∈n × N， di ∈K，D ∈K × N，A ∈n × K。

K?SVD 算法包括稀疏編碼和字典更新兩個(gè)階段。

1.將信號(hào)樣本矩陣在過(guò)完備字典上稀疏表示，得到稀疏系數(shù)矩陣的過(guò)程，稱為稀疏編碼。稀疏編碼可以數(shù)學(xué)描述為優(yōu)化問(wèn)題：

將軸承振動(dòng)信號(hào) y =[y1?? y2? …yN ]分割構(gòu)建成如下矩陣：

式中yi∈n。

2.不斷迭代更新暫態(tài)字典中的原子使其更加匹配信號(hào)內(nèi)部特征，這個(gè)過(guò)程被稱為字典更新。區(qū)別于 MOD 算法的整體更新，K?SVD 算法的字典更新是逐列進(jìn)行的，這樣不僅運(yùn)行和收斂速度更快，而且訓(xùn)練結(jié)果的稀疏性更好。

當(dāng)更新過(guò)完備字典 A 的第 k 列原子ak時(shí)，需要固定住其余 k -1項(xiàng)，于是將式（11）的目標(biāo)項(xiàng)分解為：

式中? d T（k）表示稀疏系數(shù)矩陣 D 中相對(duì)應(yīng)的第 k 行；矩陣 Ek 表示除去ak d T（k）其余 k -1項(xiàng)的誤差值。

為了避免稀疏系數(shù)中零值導(dǎo)致“發(fā)散”現(xiàn)象，收縮式（13）：

式中 Ω k ∈N ×|ω k|表示僅在（ω（i ），i ）處有值，且等于1，ω k ={i |1≤i≤N，d T（k）（i ）≠0}是稀疏系數(shù)的檢索集合。dR（k）= d T（k）Ω k ∈|ω k |是 dT（k）對(duì)應(yīng)Ωk的收縮結(jié)果。

對(duì) ER（k）進(jìn)行奇異值分解（Singular Value Decom ? position，SVD），得到 ER（k）= UΔV T，用 U 的第一列更新ak，同時(shí)用 V 的第一列和Δ（1，1）的乘積更新dR（k），逐列更新，最終得到學(xué)習(xí)字典。

2.2.3 閾值去噪

噪聲強(qiáng)度較大的信號(hào)在學(xué)習(xí)過(guò)程中不容易識(shí)別出故障特征，噪聲成分會(huì)被當(dāng)成目標(biāo)特征一直保留，為了去除學(xué)習(xí)字典中的噪聲成分，提高重構(gòu)精度，需要通過(guò)軟閾值算法[21]對(duì)學(xué)習(xí)字典 AL 進(jìn)行優(yōu)化，得到優(yōu)化學(xué)習(xí)字典 A'：

利用硬閾值算法對(duì)式（16）進(jìn)行求解：

式中? sign 為符號(hào)函數(shù)：

2.3 重構(gòu)稀疏信號(hào)

式（10）中 Y0′包含了軸承振動(dòng)信號(hào)的完整數(shù)據(jù)，因此對(duì) Y0′單獨(dú)進(jìn)行處理，既能保證重構(gòu)信號(hào)的完整性，又極大地減少了運(yùn)算量。

基于 GMC 罰函數(shù)定義稀疏目標(biāo)函數(shù)：

其中，目標(biāo)函數(shù)的保凸條件[14]：B = A 。

式中? 0≤γ≤1為保凸常數(shù)，本文取γ=0.5。式 （20）是一個(gè)鞍點(diǎn)問(wèn)題[22]，可以通過(guò)凸優(yōu)化算法求解。本文選用的凸優(yōu)化求解算法是前向后向分裂（Forward?Backward Splitting，F(xiàn)BS）算法[23]。

利用 FBS 算法求解式（20），將樣本矩陣 Y0′在優(yōu)化學(xué)習(xí)字典 A'上稀疏表示出來(lái)，得到稀疏系數(shù)矩陣 C '。

重構(gòu)信號(hào)矩陣 Y '表示為：Y '= A'× C '。最終將 Y '恢復(fù)為一維振動(dòng)信號(hào) y '，即式（1）中的目標(biāo)特征分量：

綜上所述，基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的稀疏表示方法的步驟如表2所示。圖3是基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的信號(hào)稀疏表示方法的軸承故障識(shí)別和診斷流程圖。

3 仿真分析

3.1 仿真重構(gòu)

為了驗(yàn)證本文方法在故障特征提取方面的可靠性與優(yōu)越性，對(duì)軸承故障信號(hào)進(jìn)行仿真信號(hào)分析。結(jié)合滾動(dòng)軸承的局部故障振動(dòng)特性，構(gòu)建由瞬態(tài)成分和噪聲成分組成的軸承故障仿真信號(hào)：

式中? x （t ）表示軸承故障脈沖信號(hào)，如圖4（ a ）所示。x （t ）的具體參數(shù)設(shè)置為：共振頻率f=3500 Hz，阻尼比ζ=0.080，時(shí)延參數(shù)μ=0.010 s，故障周期 T=0.01 s，幅值調(diào)整參數(shù) BF =2。 n （ t ）表示高斯白噪聲，設(shè)置噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.85。計(jì)算得到仿真信號(hào)y （t ）的信噪比 SNR 為-11.7 dB 。仿真信號(hào)的采樣頻率設(shè)置為25600 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為5120。軸承故障仿真信號(hào)如圖4（b）所示，仿真信號(hào)的平方包絡(luò)譜如圖4（ c ）所示。

從圖4（b）觀察到，故障診斷需要的軸承脈沖信號(hào)已經(jīng)完全被噪聲成分淹沒(méi)，無(wú)法識(shí)別出來(lái)。從圖4（ c ）的平方包絡(luò)譜中也不能直接提取出軸承的故障特征頻率。

為了研究本文所提出的信號(hào)稀疏表示方法處理信號(hào)的效果，引進(jìn)相關(guān)系數(shù) CC：

式中 x 表示原始信號(hào)，x?表示重構(gòu)信號(hào)。相關(guān)系數(shù) CC 可以準(zhǔn)確刻畫(huà)重構(gòu)信號(hào)與原始無(wú)噪信號(hào)的相關(guān)程度。

為了滿足 K?SVD 算法對(duì)于樣本訓(xùn)練矩陣的要求，對(duì)于采樣點(diǎn)數(shù)為5120的仿真信號(hào) y（t ），預(yù)先設(shè)置分割點(diǎn)數(shù)為512，重疊率為2.7%，重疊點(diǎn)數(shù)為14，最后構(gòu)建出的樣本訓(xùn)練矩陣大小為512×1750。

為了獲得更好的軸承故障診斷效果，需要對(duì)所有參數(shù)進(jìn)行選取。本文均采取遍歷選取的方法來(lái)確定最優(yōu)參數(shù)。以仿真信號(hào)y（t ）為例，在選取 K?SVD 算法的稀疏編碼逼近誤差ε時(shí)，在相同軟閾值算法的閾值τ和正則化參數(shù)λ下，選取不同ε值時(shí)，計(jì)算重構(gòu)信號(hào)和故障脈沖信號(hào)的相關(guān)系數(shù) CC，得到結(jié)果如圖5所示。

從圖中發(fā)現(xiàn)，稀疏編碼逼近誤差ε對(duì)于信號(hào)的處理結(jié)果影響不大，故本文選取ε=0.2。計(jì)算在不同閾值τ和正則化參數(shù)λ的情況下的相關(guān)系數(shù) CC，得到結(jié)果如圖6所示。圖 6中在 a 點(diǎn)取到最大相關(guān)系數(shù) CC =0.7273，a 點(diǎn)處其余參數(shù)τ=0.11和λ=0.30。

選取參數(shù)ε=0.2，τ=0.11和λ=0.30，用本文提出的基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的稀疏表示方法處理仿

真信號(hào) y（t ），最終得出結(jié)果如圖7所示。圖 7（ a ）是重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形圖；圖7（b）是重構(gòu)信號(hào)的平方包絡(luò)譜。從圖7（ a ）觀察到重構(gòu)信號(hào)中周期性的脈沖成分，并且已經(jīng)將噪聲成分完全去除。從圖7（b）的平方包絡(luò)譜中發(fā)現(xiàn)故障特征頻率為100 Hz，與式（22）中預(yù)設(shè)的故障周期 T =0.01 s 一致。

圖7中的重構(gòu)效果驗(yàn)證了本文所提方法的可行性。基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的信號(hào)稀疏表示不僅可以去除噪聲成分，重構(gòu)出周期性的脈沖成分，而且可以在頻域的平方包絡(luò)譜上準(zhǔn)確提取出故障特征頻率。

3.2 與解析字典對(duì)比

結(jié)合軸承的振動(dòng)特性和二階系統(tǒng)的振動(dòng)模型，發(fā)現(xiàn)軸承的局部故障在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的瞬態(tài)成分可以用單邊衰減的有阻尼二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)Laplace 小波來(lái)表示。Laplace 小波解析式為：

式中γ=（f，ζ1，τ1）決定 Laplace 小波的波形性質(zhì)，f表示系統(tǒng)的固有頻率，BL 表示幅值歸一化參數(shù)，ζ1表示黏滯阻尼比，τ1表示時(shí)延，Ws表示小波支撐長(zhǎng)度。 Laplace 小波的時(shí)域波形圖如圖8所示。

以 Laplace 小波作為基函數(shù)構(gòu)造解析字典，并將仿真信號(hào)在字典上稀疏表示出來(lái)，首先需要通過(guò)遍歷法選取合適的正則化參數(shù)λ。在不同正則化參數(shù)λ下，計(jì)算相關(guān)系數(shù) CC，得到結(jié)果如圖9所示。

在圖9的 b 點(diǎn)處得到最大相關(guān)系數(shù) CC =0.64。選取 b 點(diǎn)處的正則化數(shù)λ=3.3，得到基于解析字典的信號(hào)稀疏表示方法下的處理結(jié)果，如圖10所示。

圖10（ a ）和（b）分別為基于解析字典的信號(hào)稀疏表示方法得到的重構(gòu)信號(hào)時(shí)域波形圖和頻域平方包絡(luò)譜。從圖10（ a ）中發(fā)現(xiàn)，重構(gòu)信號(hào)中包含著周期性脈沖成分，但是仍然殘留著部分噪聲干擾成分。對(duì)比圖7，可以發(fā)現(xiàn)圖10中的重構(gòu)信號(hào)在時(shí)域和頻域中均存在著幅值被明顯低估的現(xiàn)象。

為了更加明顯地比較自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典與解析字典區(qū)別，設(shè)置本文方法參數(shù)為ε=0.2，τ=0.1，λ=0.5；設(shè)置基于解析字典的稀疏表示方法的參數(shù)為λ=2.7，處理不同信噪比下的信號(hào)，計(jì)算得到不同信噪比下的重構(gòu)信號(hào)的相關(guān)系數(shù) CC，得到結(jié)果如圖11所示。

觀察圖11，可以發(fā)現(xiàn)在處理信噪比 SNR <-8 dB 的信號(hào)時(shí)，自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的重構(gòu)效果比解析字典好，說(shuō)明在噪聲較強(qiáng)的情況下本文方法的處理效果更好。當(dāng)信號(hào)的信噪比 SNR ∈[-3 dB ，-8 dB]時(shí)，兩種字典的處理效果接近。在處理信噪比 SNR >-3 dB 的信號(hào)時(shí)，解析字典的重構(gòu)效果明顯更好，這是由于學(xué)習(xí)字典為了去除噪聲成分的干擾，將脈沖信號(hào)的衰減部分忽略，導(dǎo)致相關(guān)系數(shù)CC 有所降低。

3.3? 與傳統(tǒng)樣本矩陣構(gòu)造方法對(duì)比

仿真分析使用的計(jì)算機(jī)的處理器型號(hào)是 Inter（ R ）Core（TM）i7?7700@3.60 GHz 。設(shè)置仿真信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)為2560和5120，分別采用本文方法與 Hankel 矩陣來(lái)構(gòu)造兩組信號(hào)數(shù)據(jù)的樣本訓(xùn)練矩陣，運(yùn)行時(shí)間如圖12所示。本文方法由于構(gòu)造靈活，構(gòu)造出來(lái)的矩陣遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 Hankel 矩陣結(jié)構(gòu)的樣本訓(xùn)練矩陣。由圖12可以發(fā)現(xiàn)，本文方法不僅運(yùn)行時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于基于 Hankel 矩陣結(jié)構(gòu)的樣本訓(xùn)練矩陣的信號(hào)稀疏表示方法，而且當(dāng)信號(hào)數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)增加一倍時(shí)，運(yùn)行時(shí)間基本不受影響。但是采樣點(diǎn)數(shù)同樣地增加一倍之后，基于 Hankel 矩陣結(jié)構(gòu)的樣本訓(xùn)練矩陣的稀疏表示方法的運(yùn)行時(shí)間增加為原先的3.25倍。

為了對(duì)比兩種構(gòu)造方式對(duì)于信號(hào)稀疏表示效果的影響，選取相同參數(shù)，計(jì)算不同信噪比 SNR 下的重構(gòu)信號(hào)的相關(guān)系數(shù) CC，得到結(jié)果如圖13所示。從圖13中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)信噪比 SNR 較高即噪聲強(qiáng)度較小的情況下，兩種構(gòu)造方式的相關(guān)系數(shù) CC 接近，但是隨著信噪比 SNR 的不斷降低，Hankel 矩陣結(jié)構(gòu)的信號(hào)稀疏表示方法的相關(guān)系數(shù) CC 下降速度更快，這也說(shuō)明基于 Hankel 矩陣結(jié)構(gòu)的信號(hào)稀疏表示方法對(duì)于噪聲干擾的抵抗性較差。

3.4? 有無(wú)閾值算法處理對(duì)比

軟閾值算法處理是一個(gè)十分關(guān)鍵的步驟。為了研究軟閾值算法處理對(duì)于重構(gòu)效果的影響，將本文方法與無(wú)閾值算法處理的信號(hào)稀疏表示方法進(jìn)行對(duì)比。

首先通過(guò)遍歷法選取正則化參數(shù)λ，計(jì)算出在不同信噪比 SNR 和不同正則化參數(shù)λ情況下重構(gòu)信號(hào)的相關(guān)系數(shù) CC，得到結(jié)果如圖14所示。

最終發(fā)現(xiàn)在正則化參數(shù)λ=1.9時(shí)，可以同時(shí)在不同信號(hào)強(qiáng)度下獲得較高的相關(guān)系數(shù) CC 。設(shè)置正則化參數(shù)λ=1.9，將不同信噪比 SNR 下重構(gòu)信號(hào)的相關(guān)系數(shù) CC 與本文方法得到的重構(gòu)信號(hào)的相關(guān)系數(shù) CC 進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖15所示。

從圖15中可以發(fā)現(xiàn)，信號(hào)噪聲強(qiáng)度較高的情況下，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)軟閾值算法處理后的重構(gòu)效果比沒(méi)有閾值算法處理的要好。當(dāng)信號(hào)噪聲強(qiáng)度較低的時(shí)候，軟閾值算法將脈沖信號(hào)衰減部分當(dāng)成噪聲一起去除，導(dǎo)致相關(guān)系數(shù) CC 偏低。

3.5? 仿真分析結(jié)論

綜合上述幾點(diǎn)，通過(guò)對(duì)軸承信號(hào)的仿真分析，對(duì)于基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的信號(hào)稀疏表示方法得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：1）本文所提的基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的信號(hào)稀疏表示方法在軸承故障診斷領(lǐng)域具有有效性，能夠?qū)⑤S承信號(hào)中的噪聲等干擾分量去除，并準(zhǔn)確提取出軸承的故障特征頻率；2）相較于基函數(shù)為 Laplace 小波的解析字典，自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典不僅克服了幅值低估的問(wèn)題，而且抗噪聲干擾的能力得到了提高；3）本文構(gòu)造的字典學(xué)習(xí)過(guò)程中樣本訓(xùn)練矩陣靈活可控，相較于 Hankel 矩陣結(jié)構(gòu)的樣本訓(xùn)練矩陣，不僅對(duì)數(shù)據(jù)要求較低，運(yùn)行速度快，而且對(duì)于噪聲的抵抗能力更強(qiáng)；4）軟閾值算法的處理極大地提高學(xué)習(xí)字典對(duì)于噪聲的抵抗能力。

但是在對(duì)軸承仿真信號(hào)進(jìn)行分析處理的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，本文方法也存在一定的不足，脈沖成分的衰減部分會(huì)在字典學(xué)習(xí)過(guò)程中被當(dāng)成噪聲忽略掉，從而降低了本文方法的保真性。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)軸承信號(hào)的仿真分析驗(yàn)證了本文提出的基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的信號(hào)稀疏表示方法的有效性，但是仍需要驗(yàn)證其在實(shí)際應(yīng)用中的可行性。利用本文方法分別對(duì)通過(guò)自制軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)采集到的非健康狀態(tài)下的軸承數(shù)據(jù)和美國(guó)辛辛那提大學(xué)智能維護(hù)系統(tǒng)（IMS）中心數(shù)據(jù)庫(kù)提供的軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析，提取出軸承的故障特征頻率，最終實(shí)現(xiàn)軸承的故障診斷。

4.1? 自制軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)軸承數(shù)據(jù)

自制軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)如圖16所示，其中包括電機(jī)、螺栓?螺母加載系統(tǒng)、正常軸承、測(cè)試軸承、加速度傳感器。電機(jī)型號(hào)為 ABB? QA ? BP ?90S?4A 。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中將加速度傳感器放置在測(cè)試軸承座上，利用 NI PXle?1082數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)的采集。測(cè)試所采用的軸承型號(hào)為6205?2RS SKF，相關(guān)參數(shù)如表3所示，并通過(guò)線切割的方式分別在內(nèi)圈和外圈上人為設(shè)置寬度為0.2 mm 、深度也為0.2 mm 的貫穿裂紋故障。設(shè)定電機(jī)轉(zhuǎn)速為800r/min，無(wú)負(fù)載，采樣頻率為10 kHz 。軸承的內(nèi)圈和外圈故障特征頻率的理論值為72.2和47.8 Hz。

從自制試驗(yàn)臺(tái)上采集到軸承內(nèi)圈和外圈的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)，采樣點(diǎn)數(shù)設(shè)為5120，預(yù)先設(shè)置分割點(diǎn)數(shù)為512，重疊率為2.7%，重疊點(diǎn)數(shù)為14，構(gòu)建出大小為512×1750的樣本訓(xùn)練矩陣。首先利用本文方法處理軸承內(nèi)圈和外圈信號(hào)，設(shè)置內(nèi)圈處理參數(shù)為ε=0.2，τ=0.10，λ=0.25；設(shè)置外圈處理參數(shù)為ε=0.2，τ=0.095，λ=0.12。其次利用基于 Laplace 小波解析字典的信號(hào)稀疏表示方法分別對(duì)軸承外圈和內(nèi)圈進(jìn)行處理分析，設(shè)置內(nèi)圈處理參數(shù)為λ=0.7；設(shè)置外圈處理參數(shù)為λ=1.1。最終得到結(jié)果如圖17和18所示。

圖17（ a ）是軸承內(nèi)圈信號(hào)的時(shí)域波形圖，噪聲干擾較多，從圖中不能清晰準(zhǔn)確地觀察到具有周期性的故障脈沖成分；圖17（b）是軸承內(nèi)圈重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形圖，從圖中可以清晰準(zhǔn)確地觀察到周期性脈沖成分，噪聲成分較少。在圖17（ c ）平方包絡(luò)譜中故障特征頻率清晰、倍頻清晰，可以直接提取出故障特征頻率fi =72.2 Hz，與軸承內(nèi)圈故障特征頻率理論值一致。從圖17（d）中可以清晰準(zhǔn)確地觀察到明顯的周期性脈沖成分，并且在圖17（ e ）可以直接提取出軸承內(nèi)圈故障特征頻率fli =72.2 Hz 。但是從圖17（d）和（ e ）中，可以觀察到信號(hào)的幅值明顯被低估。

圖18（ a ）是軸承外圈信號(hào)的時(shí)域波形圖，噪聲干擾較多，從圖中不能清晰準(zhǔn)確地看到周期性的故障脈沖；圖18（b）是軸承外圈重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形圖，從圖中可以清晰準(zhǔn)確地觀察到周期性脈沖成分，噪聲成分較少。從圖18（ c ）的平方包絡(luò)譜中故障特征頻率清晰，倍頻清晰，可以直接提取出故障特征頻率fo =47.8 Hz，與軸承外圈故障特征頻率理論值一致。從圖18（d）中可以觀察到明顯的周期性脈沖成分，并且在圖18（ e ）可以直接提取出軸承外圈故障特征頻率flo =47.8 Hz 。與軸承內(nèi)圈信號(hào)一樣，圖18（d）和（ e ）中信號(hào)的幅值明顯被低估。

在自制實(shí)驗(yàn)臺(tái)的軸承信號(hào)處理分析過(guò)程中，對(duì)比自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典與利用先驗(yàn)知識(shí)構(gòu)造的解析字典，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)字典對(duì)于噪聲的抵抗能力比解析字典強(qiáng)，并且不會(huì)出現(xiàn)解析字典低估幅值的現(xiàn)象。

4.2? IMS 軸承數(shù)據(jù)

軸承故障振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)來(lái)自美國(guó)辛辛那提大學(xué)智能維護(hù)系統(tǒng)（Intelligent? Maintenance? Systems， IMS）中心。軸承故障數(shù)據(jù)是在正常載荷下軸承從正常運(yùn)行到發(fā)生故障的全壽命實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)臺(tái)及其結(jié)構(gòu)圖如圖19所示，四個(gè)測(cè)試軸承被安裝在轉(zhuǎn)速保持在2000 r/min 的主軸上。徑向載荷為6000 lb （1 lb=0.4536 kg），采樣頻率為20 kHz 。在這個(gè)軸承全壽命實(shí)驗(yàn)中，最終觀察到軸承1（Bearing 1）出現(xiàn)了外圈故障，并且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集自該軸承。軸承外圈故障特征頻率為236.4 Hz。

本文選取 IMS 軸承數(shù)據(jù)中連續(xù)的5120個(gè)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)，由于 IMS 軸承數(shù)據(jù)是全壽命數(shù)據(jù)，軸承故障不是預(yù)先設(shè)置，故障類型無(wú)法確定，不適合直接使用解析字典進(jìn)行處理，于是利用本文所提的基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的信號(hào)稀疏表示方法處理是非常合適的。預(yù)先設(shè)置分割點(diǎn)數(shù)為512，重疊率為2.7%，重疊點(diǎn)數(shù)為14，構(gòu)建出大小為512×1750的樣本訓(xùn)練矩陣。其余參數(shù)分別設(shè)置為ε=0.2，τ=0.075和λ=0.04，得到處理結(jié)果如圖20所示。圖 20（ a ）是軸承信號(hào)的時(shí)域波形圖，從圖中不能明顯發(fā)現(xiàn)周期性的故障脈沖成分；圖20（b）是經(jīng)過(guò)本文方法處理之后得到的重構(gòu)信號(hào)，重構(gòu)信號(hào)中脈沖成分周期性明顯，并且噪聲基本被剔除；在圖20（ c ）中提取出故障特征頻率f =236.46 Hz，與軸承外圈故障頻率理論值接近，說(shuō)明故障發(fā)生在外圈。

本文在處理 IMS 軸承數(shù)據(jù)的過(guò)程中，在對(duì)實(shí)驗(yàn)軸承缺乏任何先驗(yàn)知識(shí)的前提下直接自適應(yīng)學(xué)習(xí)出匹配軸承故障特征信息的過(guò)完備字典，并成功提取出故障特征頻率，實(shí)現(xiàn)了軸承故障診斷。IMS 軸承數(shù)據(jù)故障特征頻率的成功提取有力地證明了本文所提方法自適應(yīng)性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

5 總結(jié)與展望

本文研究了一種基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)字典的信號(hào)稀疏表示方法。該方法能夠從信號(hào)中自適應(yīng)地訓(xùn)練學(xué)習(xí)出匹配故障特征的學(xué)習(xí)字典，并且將信號(hào)在學(xué)習(xí)字典上稀疏表示出來(lái)，不需要前期大量工作來(lái)獲取先驗(yàn)知識(shí)，在工業(yè)上有著很廣泛的應(yīng)用前景和很大的應(yīng)用潛力。首先，選擇保真能力較強(qiáng)的 GMC 罰函數(shù)來(lái)構(gòu)建稀疏表示模型，然后利用 K?SVD 算法訓(xùn)

練出學(xué)習(xí)字典，最后通過(guò)凸優(yōu)化算法求解稀疏表示模型，將信號(hào)在學(xué)習(xí)字典上稀疏表示出來(lái)，得到重構(gòu)信號(hào)，提取故障特征頻率，實(shí)現(xiàn)故障診斷。仿真分析不僅驗(yàn)證了本文方法的可行性，還通過(guò)各種對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明了本文方法在運(yùn)算速度和抗噪性能方面都有了較大的提升。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證過(guò)程中，本文所提出的方法在處理軸承內(nèi)圈故障和外圈故障時(shí)，均可以自適應(yīng)地學(xué)習(xí)出各自匹配的過(guò)完備字典，最終準(zhǔn)確地提取出故障特征頻率。并且本文方法在處理軸承未知故障時(shí)，仍可以直接訓(xùn)練學(xué)習(xí)過(guò)完備字典，提取出故障特征頻率，實(shí)現(xiàn)故障診斷，且自適應(yīng)性較強(qiáng)。在信號(hào)的稀疏表示方法中，學(xué)習(xí)字典相較于解析字典自適應(yīng)性較強(qiáng)，但是學(xué)習(xí)字典會(huì)忽略故障脈沖成分的衰減部分，后續(xù)研究可以針對(duì)該方面進(jìn)一步改進(jìn)。

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Signal sparse representation method of adaptive learning dictionary and its application in bearing fault diagnosis

ZHANG Cheng1，HUANG Wei-guo1，MA Yu-qiang2，QUE Hong-bo2，JIANG Xing-xing1， ZHU Zhong-kui1

（1.School of Rail Transportation，Soochow University，Suzhou 215131，China；2.CRRC Qishuyan Institute Co .，Ltd .，Changzhou 213011，China）

Abstract： The over-complete dictionaries of signal sparse representation can be divided into analytical dictionary and learning dictionary according to the construction method . The analytical dictionary has a fixed structure and poor adaptability . The construction of the analyti? cal dictionary needs to fully analyze the oscillation characteristics of the vibration signal and obtain sufficient prior knowledge . The learn ? ing dictionary gets rid of the shackles of prior knowledge and can be trained directly from the signal，with strong adaptability . Combined with the generalized minimum maximum concave penalty function，which has strong signal fidelity ability，this paper proposes a signal sparse representation method based on an adaptive learning dictionary . The proposed method improves the construction of the sample- training matrix in the K-SVD algorithm ，reduces the computing time ，and makes up for the shortcomings of the learning dictionary′s poor resistance to noise with the? soft threshold? algorithm . Without any prior knowledge ，the method proposed? in this paper is used to realize the fault diagnosis ，in the process of analyzing the simulation signal and experimental signal of the bearing .

Key words ： fault diagnosis；bearing ；sparse representation ；K-SVD algorithm ；dictionary learning ；GMC penalty function

作者簡(jiǎn)介：張成（1997—），男，碩士研究生。電話：18896701806；E-mail：Zhangcheng1806@163.com。通訊作者：黃偉國(guó)（1981—），男，博士，教授。電話：13646220530；E-mail：wghuang@suda .edu .cn。