帶收獲率參數(shù)的生物模型穩(wěn)定性分析

傅仙發(fā)

（湄洲灣職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 莆田 351119）

引言

隨著社會的不斷發(fā)展，人類對于生物資源的依賴不斷增加，使迅速發(fā)展的生物數(shù)學(xué)面臨著一個重要的問題——如何有效地管理和開發(fā)現(xiàn)有的生物資源，保持生物資源的多樣性和穩(wěn)定性，使資源能為人類長期使用，得到可持續(xù)發(fā)展。為此，首先要考慮到生態(tài)平衡的穩(wěn)定性問題。捕食者-食餌模型作為近些年生物數(shù)學(xué)的主要研究方向[1]，模型的穩(wěn)定性問題成為眾多學(xué)者關(guān)注的焦點，相關(guān)的研究文獻也較多，但通過在模型中引入收獲率參數(shù)來分析生物模型穩(wěn)定性方面的文獻不多。本文則是通過在捕食者群體中引入收獲率參數(shù)，來分析一類Holling-II型捕食者-食餌模型的穩(wěn)定型問題，研究收獲率參數(shù)對于生物模型穩(wěn)定性的影響，為生態(tài)種群的可持續(xù)性提供一定的理論支持。

文獻[2,3]對于以下Holling-II型捕食者-食餌模型

其中，β,γ,δ都是正常數(shù)。對模型（1）引入正的收獲率參數(shù)h，假設(shè)捕食者以連續(xù)恒定收獲率捕食，可將公式（1）表示為

這就是本文所要研究的捕食者帶收獲率參數(shù)的捕食系統(tǒng)模型[4-5]。

1 系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性

若僅僅從生物學(xué)角度和意義方面來看，生物模型在第一象限內(nèi)的動力學(xué)性質(zhì)是我們所要關(guān)心的，即只關(guān)注滿足生物意義的初始條件x1(0)≥0，x2(0)≥0。為此，可以繪制出捕食者與食餌在第一象限內(nèi)的等值線[4-6]，如圖1所示：

圖1 系統(tǒng)（2）捕食者與食餌在第一象限內(nèi)的等值線

從圖1中可知，收獲率參數(shù)h對系統(tǒng)（2）平衡點的個數(shù)起決定性作用。當(dāng)h足夠大時，系統(tǒng)（2）不存在平衡點，而且種群將會難以維持，逐步走向滅絕。因此控制收獲率h的最大承受量，是自然（或可再生）資源的優(yōu)化管理的需要，也是確保捕食者種群可以繼續(xù)維持的關(guān)鍵[4]。

還可求得

（i）當(dāng)h＞h0，δ＞γ時，在第一象限內(nèi)系統(tǒng)（2）不存在平衡點；

（ii）當(dāng)h=h0，δ＞γ時，在第一象限系統(tǒng)（2）存在唯一平衡點P0；

（iii）當(dāng)h＜h0，δ＞γ時，在第一象限內(nèi)系統(tǒng)（2）存在兩個平衡點

在數(shù)學(xué)上系統(tǒng)（2）的曲面被稱為鞍結(jié)點曲面[4，5，7]。由定理可知，

是一個鞍結(jié)分岔曲面。并且當(dāng)正參數(shù)β,δ,γ從曲面的一端穿到另一端時，系統(tǒng)（2）經(jīng)歷了一個鞍結(jié)分岔，其平衡點的數(shù)量從0個變?yōu)?個，并且這2個平衡點分別是雙曲鞍點和結(jié)點。對此鞍結(jié)分岔的生物學(xué)解釋是，當(dāng)h＞h0時，捕食者趨于滅絕，系統(tǒng)崩潰[4]；當(dāng)h≤h0時，捕食者不會滅絕[2，8，9]。下面給出了系統(tǒng)（2）在特定值下,收獲率參數(shù)發(fā)生微小變化時的三組鞍結(jié)分岔圖（見圖2（a-c）所示）。

圖2 系統(tǒng)（2）的鞍結(jié)分岔

2 捕食者帶收獲率模型的Hopf分岔

為簡便起見，本文僅對系統(tǒng)（2）發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)條件進行分析。

若系統(tǒng)（2）在平衡點(x?1,x?2)附近產(chǎn)生了Hopf分岔，此時對應(yīng)系統(tǒng)的雅克比矩陣為[4，5，10]：

很明顯地，當(dāng)發(fā)生Hopf分岔時，矩陣J有一對純虛特征值，于是得到了系統(tǒng)（2）發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)條件：

參數(shù)發(fā)生變化時的穩(wěn)定性變化情況，可見選取合適的參數(shù)值產(chǎn)生的Hopf分層圖。下面作出了系統(tǒng)（2）在給定特定值下，收獲率參數(shù)發(fā)生微小變化時的Hopf分岔圖[6，10（]見圖3（a-b）所示）。

圖3 系統(tǒng)（2）的Hopf分岔圖

3 結(jié)語

對一般的Holling-2型捕食者-食餌模型（1），本文將捕食者的收獲用收獲率參數(shù)h來表示，通過對生物系統(tǒng)（2）的平衡點和穩(wěn)定性分析，給出了在特定值下的鞍結(jié)合Hopf分岔圖，得出了收獲率參數(shù)對維護生物種群穩(wěn)定、防止種群滅絕都具有重要的參考價值。