三亞學(xué)院信息與智能工程學(xué)院 魏爽 張晶

在《計(jì)算機(jī)組成原理》的教學(xué)中，計(jì)算機(jī)的運(yùn)算方法是一個重難點(diǎn)內(nèi)容，而其中定點(diǎn)運(yùn)算中的除法運(yùn)算在很多教材中都只給出了它的基本運(yùn)算步驟，學(xué)生通過學(xué)習(xí)后不能真正理解這種算法的原理。本文結(jié)合所授課對象的實(shí)際情況，對補(bǔ)碼除法的教學(xué)方法進(jìn)行探討，提出了一種可行的教學(xué)方法。

1 研究基礎(chǔ)與意義

乘除法運(yùn)算是計(jì)算機(jī)中的重要運(yùn)算。實(shí)現(xiàn)乘除運(yùn)算的方法也很多，既可以通過硬件電路實(shí)現(xiàn)，也可由軟件編程的方式實(shí)現(xiàn)，或者將兩者相結(jié)合來實(shí)現(xiàn)。盡管運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的方法不同，然而它們實(shí)現(xiàn)的算法卻是相同的。因此，深入理解乘除運(yùn)算的運(yùn)算原理，對于乘法器、除法器的設(shè)計(jì)或?qū)崿F(xiàn)乘除運(yùn)算的程序設(shè)計(jì)是非常重要的。計(jì)算機(jī)中常用的編碼，如原碼或補(bǔ)碼均可實(shí)現(xiàn)乘除運(yùn)算。原碼因?yàn)槠渚幋a規(guī)則的特殊性，因此，通過原碼進(jìn)行乘除運(yùn)算的原理比較簡單，實(shí)現(xiàn)起來也非常方便。在專門的乘法器和除法器或以乘除運(yùn)算為主的計(jì)算機(jī)中,可以采用原碼乘除運(yùn)算[1]。但是原碼進(jìn)行加減運(yùn)算卻非常繁瑣，而補(bǔ)碼的加減運(yùn)算則比較簡單，所以在以加減運(yùn)算為主的通用機(jī)中,大多采用補(bǔ)碼編碼方式。在補(bǔ)碼制機(jī)器中，數(shù)據(jù)均以補(bǔ)碼形式表示與存儲。如果用原碼進(jìn)行乘除運(yùn)算，則要經(jīng)過繁鎖的變補(bǔ)操作，嚴(yán)重影響運(yùn)算的速度，所以要研究直接用補(bǔ)碼進(jìn)行乘除運(yùn)算的算法，以加速計(jì)算機(jī)進(jìn)行乘除運(yùn)算的效率[2]。根據(jù)筆者在五年教學(xué)中的體會，在本文中簡要敘述了有關(guān)的算法，重點(diǎn)討論了算法的證明，給出了一種簡單易懂的證明方法。

2 定點(diǎn)原碼除法

為了下文容易理解補(bǔ)碼除法，本節(jié)首先簡單介紹下原碼除法的原理以及上商規(guī)則，原碼除法的運(yùn)算過程可以簡單的歸納為：比較、上商、求新余數(shù)。原碼與真值就相差一個符號位，原碼數(shù)值部分就是真值的絕對值，而乘除運(yùn)算的乘積或商的符號與兩個操作數(shù)的符號相關(guān)，同號為正，異號為負(fù)。因此，用原碼進(jìn)行除法運(yùn)算時，可以將兩個操作數(shù)，也就是被除數(shù)和除數(shù)的符號位進(jìn)行異或運(yùn)算得到商的符號位。因?yàn)槿绻麅蓚€操作數(shù)符號相同，那么商應(yīng)該為正，也就是商的符號位應(yīng)該是0，而兩個符號位如果相同，則將兩符號位進(jìn)行異或運(yùn)算時，根據(jù)異或運(yùn)算的規(guī)則，異或運(yùn)算的結(jié)果正好是0。而如果兩個操作數(shù)的符號不同，那么商應(yīng)該為負(fù)，也就是商的原碼的符號位應(yīng)該是1，而兩個不同的符號位進(jìn)行異或運(yùn)算時，根據(jù)異或運(yùn)算規(guī)則，其結(jié)果也正好是1。把被除數(shù)和除數(shù)的絕對值進(jìn)行相除得到商的絕對值，也就是商的原碼的數(shù)值部分。因此，原碼除法的原理很簡單，關(guān)鍵是如何上商。上商原則就是比較被除數(shù)（余數(shù)）的絕對值與除數(shù)的絕對值，如果被除數(shù)或余數(shù)的絕對值大，則上商1，否則，上商0，因此，要確定上商，就需要進(jìn)行比較。

2.1 比較

比較其實(shí)就是將兩操作數(shù)的絕對值做減法運(yùn)算，然后通過差的符號判斷兩操作數(shù)的相對大小[3]。而在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行加減運(yùn)算，采用的是操作數(shù)的補(bǔ)碼，因?yàn)檠a(bǔ)碼制可以將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算，并且符號位可以直接參與運(yùn)算，最終的計(jì)算結(jié)果也是和或差的補(bǔ)碼，因此直接根據(jù)結(jié)果的符號位就能很容易判斷兩操作數(shù)絕對值的大小。因此，比較是將被除數(shù)（或余數(shù)）和除數(shù)的絕對值用補(bǔ)碼表示，為方便說明，這里被除數(shù)（或余數(shù)）用X表示，除數(shù)用Y表示，計(jì)算[|X|-|Y|]補(bǔ)=|X|補(bǔ)+[-|Y|]補(bǔ)，因此，每次比較時，都是計(jì)算|X|補(bǔ)+[-|Y|]補(bǔ)，然后根據(jù)結(jié)果的符號位得到比較結(jié)果。

2.2 上商

上商規(guī)則就是，如果|X|補(bǔ)+[-|Y|]補(bǔ)的結(jié)果的符號位為0，表示被除數(shù)（或余數(shù)）的絕對值大于除數(shù)的絕對值，這樣商就應(yīng)該上1。如果|X|補(bǔ)+[-|Y|]補(bǔ)的結(jié)果的符號位為1，表示被除數(shù)（或余數(shù)）的絕對值小于除數(shù)的絕對值，這樣商就應(yīng)該上0。

2.3 求新余數(shù)

新余數(shù)要根據(jù)本次上商的結(jié)果，經(jīng)過運(yùn)算之后得到：若本次商上1，則將余數(shù)左移一位,再減去除數(shù)得新余數(shù)；若本次上商為0，那么則這次不應(yīng)該減去除數(shù)，因此，需要加上|Y|]補(bǔ)恢復(fù)余數(shù)，再將余數(shù)左移一位之后，再減去除數(shù)得到新的余數(shù)。這種方式就是恢復(fù)余數(shù)法。當(dāng)然，也可以將這個過程歸納下，即本次上商為1時，將余數(shù)左移一位,再減去除數(shù)得新余數(shù)。本次上商為0時，將余數(shù)左移一位,再加上除數(shù)得新余數(shù)，這就是所謂的不恢復(fù)余數(shù)法。

2.4 原碼除法運(yùn)算步驟

（1）先將兩操作數(shù)用原碼表示，取兩操作數(shù)原碼的符號位進(jìn)行異或運(yùn)算，得到結(jié)果的符號位。再取兩操作數(shù)原碼的數(shù)值部分，作為兩操作數(shù)的絕對值。再寫出兩操作數(shù)絕對值的補(bǔ)碼形式，同時把負(fù)除數(shù)的絕對值的補(bǔ)碼也表示出來，為后面做減法運(yùn)算做好準(zhǔn)備。

（2）將被除數(shù)的絕對值的補(bǔ)碼加上，然后看結(jié)果的符號位是0還是1，如果是0，則上商1，再把結(jié)果左移一位，加上負(fù)的除數(shù)的絕對值的補(bǔ)碼得到新的余數(shù)。如果是1，則商上0，如果按照恢復(fù)余數(shù)法，就把結(jié)果再加上除數(shù)絕對值的補(bǔ)碼恢復(fù)余數(shù)，然后將恢復(fù)后的余數(shù)左移一位再加上負(fù)除數(shù)的絕對值的補(bǔ)碼得到新的余數(shù)。如果按照不恢復(fù)余數(shù)法，則將結(jié)果左移一位，再加上除數(shù)的絕對值的補(bǔ)碼得到新的余數(shù)。

（3）重復(fù)步驟2若干次，得到所需位數(shù)的商即可。一般我們保持商的位數(shù)與兩操作數(shù)的位數(shù)一致即可。

3 定點(diǎn)補(bǔ)碼除法

補(bǔ)碼除法的運(yùn)算過程跟原碼除法類似，主要也是需要解決三個問題，一是確定上商；二是新余數(shù)的形成方式；三是商符的確定。但是，補(bǔ)碼除法中參與運(yùn)算的兩操作數(shù)用補(bǔ)碼來表示。而上商的原則是根據(jù)操作數(shù)絕對值的大小來決定的，這就需要確定如何通過補(bǔ)碼運(yùn)算來判斷兩操作數(shù)絕對值的大小，從而決定上商。

3.1 上商

從本質(zhì)上來講，上商和新余數(shù)的形成是統(tǒng)一的，要確定上商0還是1，就是要比較被除數(shù)與除數(shù)絕對值的大小，當(dāng)被除數(shù)的絕對值大于除數(shù)的絕對值時。這里需要分兩種情況進(jìn)行討論，一是被除數(shù)和除數(shù)同號，在這種情況下，商為正，因此，商的補(bǔ)碼與其原碼是相等的，所以在夠減的情況下，商上1，不夠減的情況下，商上0。第二種情況，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)異號時，商為負(fù)，這時，商的補(bǔ)碼與原碼，在從低位往高位看，找到第一個1時，在這個1的右邊部分，包括這個1，與原碼是相同的，在1的左邊，與原碼是相反的。但是此時，商并沒有確定，因此，也不能確定此刻上商是在1的左邊還是右邊。因此，約定用補(bǔ)碼進(jìn)行除法運(yùn)算時，商的最末尾采用恒置1的方式上商。這樣一來，商的最末尾為1，那么現(xiàn)在上的每一位商均在1的左邊，也就是商的補(bǔ)碼與原碼是相反的，因此，上商原則也應(yīng)該相反，所以，在夠減的情況下，商上0，在不夠減的情況下，商上1。因此，將上述兩種情況歸納，得出如下結(jié)論：當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)同號，上商規(guī)則是夠減上1，不夠減上0；當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)異號時，上商規(guī)則是夠減上0，不夠減上1。因此，現(xiàn)在的關(guān)鍵問題就是如何通過操作數(shù)的補(bǔ)碼進(jìn)行運(yùn)算，來判斷夠減與不夠減的條件。下面，通過簡單易懂的方式給出證明。

夠減等價于被除數(shù)的絕對值大于除數(shù)的絕對值，為了方便后面用表達(dá)式進(jìn)行說明，這里被除數(shù)用X表示，除數(shù)用Y表示，下面就X，Y分別為正、負(fù)四種不同的情況進(jìn)行討論。特別說明：以下所有運(yùn)算都是用X，Y的補(bǔ)碼形式進(jìn)行的，而不是兩操作數(shù)的真值直接運(yùn)算。

（1）X>0,Y>0,則|X|>|Y|?X>Y?X-Y>0,這時，我們發(fā)現(xiàn)，這種情況下，X-Y與Y是同號的，則夠減，X-Y與Y是異號的，則不夠減。

（2）X<0,Y<0,則|X|>|Y|?X0,這時，我們發(fā)現(xiàn)，這種情況下，X-Y與Y是同號的，則夠減，X-Y與Y是異號的，則不夠減。

因此，這兩種情況下總結(jié)的結(jié)論就是，在X與Y同號的情況下，當(dāng)X-Y與Y同號時，夠減，當(dāng)X-Y與Y異號時，不夠減。

（3）X>0,Y<0,則|X|>|Y|?X>-Y?X+Y>0,這時，我們發(fā)現(xiàn)，這種情況下，X+Y與Y是異號的，則夠減，X+Y與Y是同號的，則不夠減。

（4）X<0,Y>0,則|X|>|Y|?-X>Y?X+Y<0,這時，我們發(fā)現(xiàn)，這種情況下，X+Y與Y是異號的，則夠減，X+Y與Y是同號的，則不夠減。

因此，這兩種情況下總結(jié)的結(jié)論就是，在X與Y異號的情況下，當(dāng)X+Y與Y異號時，夠減，當(dāng)X+Y與Y同號時，不夠減。

再結(jié)合上述的上商規(guī)則，則有以下結(jié)論：

（1）當(dāng)X，Y同號時，在X-Y與Y同號時，上商1，在X-Y與Y異號時，上商0。

（2）當(dāng)X，Y異號時，在X+Y與Y同號時，上商1，在X+Y與Y異號時，上商0。

3.2 新余數(shù)的形成方法

新余數(shù)的形成與上商是緊密相關(guān)的，因此，下面也分四種情況來討論新余數(shù)的形成方法。同樣，以下所有的加減運(yùn)算都是在補(bǔ)碼下進(jìn)行的。

（1）X與Y同號，X-Y與Y同號，商上1。因?yàn)檫@種情況是夠減的,所以新余數(shù)為上一次余數(shù)左移一位，再減去Y，假設(shè)用Ri表示上一次的余數(shù)，則新余數(shù)Ri+1=2Ri-Y。

（2）X與Y同號，X-Y與Y異號，商上0。因?yàn)檫@種情況是不夠減的,所以需要先恢復(fù)余數(shù)，而原來的余數(shù)是減去Y得到的，因此，恢復(fù)余數(shù)需要加上Y，因此是Ri+Y，再左移一位，即2（Ri+Y），又由于恢復(fù)余數(shù)后，余數(shù)與除數(shù)同號，所以，通過減法比較大小，即2（Ri+Y）-Y=2Ri+Y。新余數(shù)為上一次余數(shù)左移一位，再減去Y，假設(shè)用Ri表示上一次的余數(shù)，則新余數(shù)Ri+1=2Ri-Y。

（3）X與Y異號，X+Y與Y異號，商上0。因?yàn)檫@種情況是夠減的,所以新余數(shù)為上一次余數(shù)左移一位，而X，Y異號，所以新余數(shù)與Y相加比價大小，則新余數(shù)Ri+1=2Ri+Y。

（4）X與Y異號，X+Y與Y同號，商上1。因?yàn)檫@種情況是不夠減的,所以需要先恢復(fù)余數(shù)，而原來的余數(shù)是加上Y得到的，因此，恢復(fù)余數(shù)需要減去Y，因此是Ri-Y，再左移一位，即2（Ri-Y），又由于恢復(fù)余數(shù)后，余數(shù)與除數(shù)異號，所以，通過加法比較大小，即2（Ri-Y）+Y=2Ri-Y。

最后，將上商規(guī)則與新余數(shù)的形成方法進(jìn)行總結(jié)，得到的結(jié)論就是：

（1）上商1，則新余數(shù)通過2Ri-Y形成。

（2）上商0，則新余數(shù)通過2Ri+Y形成。

3.3 商符的確定

根據(jù)前面的上商規(guī)則，我們不難理解得到的商的數(shù)值部分是補(bǔ)碼，那么符號位是不是也是補(bǔ)碼的符號位呢？事實(shí)證明，商符也是補(bǔ)碼的符號位，也就是說，商符是在求商的過程中自動形成的。因?yàn)?，在小?shù)定點(diǎn)除法中，為了避免溢出，約定，被除數(shù)的絕對值必須小于除數(shù)的絕對值。因此，當(dāng)X與Y同號時，X-Y與Y異號，上商0，正好與商的符號位一致。當(dāng)X與Y異號時，X+Y與Y同號，上商1，也正好與商的符號位一致。由此可見，商符是在求商的過程中自動形成的。

4 教學(xué)方法探討

在教學(xué)過程中，學(xué)生一般對這部分內(nèi)容感覺理解起來比較困難，主要是因?yàn)榘此惴ㄟM(jìn)行運(yùn)算時，在各個不同的運(yùn)算步驟中都要根據(jù)不同的情況來進(jìn)行分別處理。如比較時要根據(jù)除數(shù)與被除數(shù)同號與否分別作減、加運(yùn)算；上商時要根據(jù)比較的結(jié)果是否夠減分別上0或1，而判斷夠不夠減又要分同號異號比較的結(jié)果為正還是為負(fù)……?？傊?，如果在教學(xué)過程中，授課老師僅僅只是按照算法的運(yùn)算步驟一步步地介紹算法，學(xué)生很難真正理解并掌握這種重要的運(yùn)算方法，甚至有可能對這門課程的學(xué)習(xí)失去興趣和信心。所以，若教師能先把補(bǔ)碼一位除法的運(yùn)算規(guī)律總結(jié)一下，通過通俗易懂的方法進(jìn)行說明每一步的由來，然后在教學(xué)過程中由淺入深的介紹算法原理并證明它，則教學(xué)效果必定能事半功倍。

5 總結(jié)

根據(jù)所授課對象的學(xué)情考慮，再結(jié)合定點(diǎn)除法運(yùn)算這部分內(nèi)容的特殊性，給出了定點(diǎn)除法運(yùn)算原理通俗易懂的證明。同時筆者結(jié)合學(xué)校目前教學(xué)的實(shí)際條件，我將本部分的證明內(nèi)容放在芯位教育平臺相關(guān)章節(jié)部分，然后組織學(xué)生課前進(jìn)行預(yù)習(xí)，并討論。最終的教學(xué)效果還是非常理想的，學(xué)生不僅會進(jìn)行除法運(yùn)算，更能理解每一步運(yùn)算的原理，極大增強(qiáng)了他們繼續(xù)學(xué)習(xí)的信心與興趣。

引用

[1] 李瀟雯.以學(xué)生為中心的多元混合式教學(xué)活動設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐:以“計(jì)算機(jī)組成原理”課程為例[J].工業(yè)和信息化教育,2022(1):52-55.

[2] 王俐.計(jì)算機(jī)組成原理課程教學(xué)改革探析[J].電腦與電信,2021 (8):61-63.

[3] 范喆,沙全友.計(jì)算機(jī)組成原理課程在線教學(xué)設(shè)計(jì)探討[J].科教文匯(下旬刊),2021(6):110-112.