張四保 常寧

（喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什，844000）

究竟什么樣態(tài)的知識更有利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)是人們長期探討的一個(gè)問題。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)非單純地通過接受每一節(jié)、零散的數(shù)學(xué)知識來實(shí)現(xiàn)，而是通過對數(shù)學(xué)知識的自我重組和結(jié)構(gòu)優(yōu)化來實(shí)現(xiàn)的，學(xué)生只有獲得高質(zhì)量的知識，才能培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是無源之水、無本之木，它要有具體的教學(xué)過程目標(biāo)來支撐，課程標(biāo)準(zhǔn)很好的為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成指明了方向。課程標(biāo)準(zhǔn)展示了學(xué)科的核心知識、本質(zhì)及思想方法，規(guī)定了核心素養(yǎng)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

課程標(biāo)準(zhǔn)提倡從整體設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的角度來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生成，而主題教學(xué)是體現(xiàn)整體思維和結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性的主要形式。課程標(biāo)準(zhǔn)要求培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要落實(shí)于課堂教學(xué)，結(jié)合本科學(xué)知識的內(nèi)容與特點(diǎn)、學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的阻礙點(diǎn)和生長點(diǎn)，分析本學(xué)段知識特點(diǎn)促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的主要內(nèi)容與表達(dá)形式，提出該學(xué)科知識實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的具體目標(biāo)。即通過教學(xué)目標(biāo)體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)對培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求[1]。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體現(xiàn)著對數(shù)學(xué)知識內(nèi)部邏輯關(guān)聯(lián)的自我整合與外部問題情境的深度融合，離開知識的整體結(jié)構(gòu)，任何知識都會(huì)失去它完整的意義和深層次力量[2]。因此，要注重課程目標(biāo)開發(fā)和整體設(shè)計(jì)，以整合性知識觀來探索學(xué)生核心素養(yǎng)的生成路徑。主題教學(xué)的整合性與學(xué)生核心素養(yǎng)的凝練與生成遙相呼應(yīng)。

一、數(shù)學(xué)主題教學(xué)的內(nèi)涵和特點(diǎn)

1.數(shù)學(xué)主題教學(xué)的內(nèi)涵

主題教學(xué)是在整體思維指導(dǎo)下，從提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)角度出發(fā)，對教材內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化重組，并將優(yōu)化后的內(nèi)容視為一個(gè)相對獨(dú)立的教學(xué)主題，主要突出數(shù)學(xué)內(nèi)容主線以及知識之間的關(guān)聯(lián)性[3]。主題教學(xué)中的主題并不是靜止的、一成不變的，它是由教師教學(xué)需要決定，有時(shí)需要根據(jù)教學(xué)主題的優(yōu)化程度進(jìn)行循環(huán)改進(jìn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的多維關(guān)聯(lián)。主題教學(xué)能看出停留在低層次所不能發(fā)現(xiàn)的事物之間的聯(lián)系和共同之處。數(shù)學(xué)主題教學(xué)正是從整體功能出發(fā)，在更高的觀點(diǎn)下對數(shù)學(xué)教學(xué)中的各要素進(jìn)行系統(tǒng)綜合考量，產(chǎn)生整體效益。主題教學(xué)有利于教師對重難點(diǎn)的把握，使重難點(diǎn)不再局限于一個(gè)小節(jié)，而是對主題整體的規(guī)劃，這樣每個(gè)階段、每個(gè)課時(shí)的教學(xué)也更有針對性，數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透也會(huì)更有依據(jù)。

2.數(shù)學(xué)主題教學(xué)的形式

數(shù)學(xué)主題的確定形式多樣，教師可圍繞主題進(jìn)行知識選擇，基于一個(gè)知識點(diǎn)或一條知識線索選取相關(guān)知識進(jìn)行優(yōu)化重組，讓知識的邏輯呈現(xiàn)更加清晰。數(shù)學(xué)主題可以是以重要的數(shù)學(xué)概念或核心數(shù)學(xué)概念為主線組織的知識型主題，可以是一個(gè)章節(jié)的，也可以是跨章節(jié)的，如教師在處理函數(shù)主題教學(xué)時(shí)，要關(guān)聯(lián)函數(shù)形成背景，函數(shù)相關(guān)聯(lián)系，具體函數(shù)模型和函數(shù)應(yīng)用等方面；也可以是數(shù)學(xué)思想方法類主題，如數(shù)形結(jié)合、公理化方法等；還可以用數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主題，如數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等。數(shù)學(xué)素養(yǎng)主題通常是教材中跨章節(jié)的內(nèi)容，表現(xiàn)形式通常是張網(wǎng)式的[4]。

3.數(shù)學(xué)主題教學(xué)的特點(diǎn)

主題教學(xué)使得數(shù)學(xué)知識不再是學(xué)生識記的客體，而是承擔(dān)著促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的功能。數(shù)學(xué)知識往往在畢業(yè)后不久就被忘記了，然而以后不論學(xué)生從事何種工作，唯有深深地印刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思維方法、推理方法在隨時(shí)發(fā)生作用，使他們終身收益。主題教學(xué)并不是簡單的用加法思維進(jìn)行，而是系統(tǒng)的整合要大于部分之和，知識放在系統(tǒng)里與其他知識關(guān)聯(lián)起來才能被理解，因?yàn)槿魏问挛锒疾皇呛唵蔚墓铝⒌拇嬖凇?/p>

二、函數(shù)主題教學(xué)中培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)探析

1.設(shè)計(jì)素養(yǎng)為本的函數(shù)主題的教學(xué)目標(biāo)

課標(biāo)中對函數(shù)強(qiáng)調(diào)：“幫助學(xué)生用抽象的思維去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在具體的實(shí)際生活情境中，能根據(jù)不同的實(shí)際需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示方法（如圖象法、列表法、解析法）描述事物變化的規(guī)律；通過觀察、分析、概括、模型化的方法使學(xué)生了解函數(shù)是描述變量關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具，理解實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系，體會(huì)集合語言和對應(yīng)關(guān)系在函數(shù)概念中的作用，了解函數(shù)構(gòu)成的要素；能利用函數(shù)建構(gòu)模型，解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題。這些規(guī)定和描述，體現(xiàn)著通過學(xué)習(xí)過程和行為要求培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

通過對課程標(biāo)準(zhǔn)的分析，函數(shù)主題的教學(xué)內(nèi)容主要是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維，發(fā)展建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方法。由此設(shè)計(jì)“函數(shù)主題”的教學(xué)目標(biāo)是：（1）通過觀察、分析、抽象、概括等方法學(xué)會(huì)用集合語言刻畫函數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷情景——抽象——核心概念的學(xué)習(xí)過程，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。（2）通過了解、體驗(yàn)和探究函數(shù)在解決日常生活中的應(yīng)用，理解“函數(shù)思想”能帶來的好處，滲透數(shù)學(xué)建模思想。

2.構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的函數(shù)主題教學(xué)結(jié)構(gòu)體系

在“函數(shù)主題”教學(xué)中，要構(gòu)建素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)結(jié)構(gòu)體系，就要把握函數(shù)發(fā)展的整體思路，函數(shù)主題的教學(xué)設(shè)計(jì)也就離不開數(shù)學(xué)家對“函數(shù)”整體認(rèn)識的發(fā)展史。從表1 中可知，知識的產(chǎn)生與來源、事物的本質(zhì)與規(guī)律、知識涉及的思想與方法、知識的關(guān)系與結(jié)構(gòu)、知識的作用與價(jià)值5 個(gè)方面層層遞進(jìn)，構(gòu)成了函數(shù)知識的意義系統(tǒng)，從而為學(xué)生建構(gòu)了高質(zhì)量和真正的知識結(jié)構(gòu)體系。

表1 “函數(shù)主題”教學(xué)活動(dòng)

3.選擇適合不同素養(yǎng)內(nèi)涵的教學(xué)策略

（1）通過史料分析函數(shù)主題發(fā)展脈絡(luò)

弗萊登塔爾指出，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識是“再創(chuàng)造”的過程，也就是把前人創(chuàng)造過的知識以學(xué)生容易接受的形態(tài)展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生在這種形態(tài)下“創(chuàng)造性”學(xué)習(xí)。史料分析可以從整體視角抓住函數(shù)主題發(fā)展的來龍去脈，從前人研究函數(shù)的過程中幫助教師找到凝練數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方法。

函數(shù)起源于人們早期認(rèn)識事物的變化規(guī)律，函數(shù)在早期以曲線形態(tài)呈現(xiàn)，體現(xiàn)了人們最初對事物變化規(guī)律的直觀理解，接下來人們發(fā)現(xiàn)借助曲線表達(dá)事物之間的依賴關(guān)系不利于運(yùn)算，進(jìn)而產(chǎn)生了函數(shù)要有公式表達(dá)，使函數(shù)由幾何轉(zhuǎn)為代數(shù)形態(tài)。后來數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)即使一些簡單的函數(shù)也存在不唯一的表達(dá)式，這就不得不使人們對函數(shù)的解析式說進(jìn)行完善，狄利克雷提出的“對應(yīng)說”讓函數(shù)的表達(dá)式突破了解析式的制約。從這一系列的演變過程可知，函數(shù)的發(fā)展與生產(chǎn)、生活的實(shí)際需要以及數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的矛盾密切相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)的表達(dá)不斷嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化，也就是說人們認(rèn)識函數(shù)經(jīng)歷圖象→變量說→對應(yīng)說的過程，這與通常學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一致的。但函數(shù)是如何描述變化的，在探索事物變化規(guī)律過程中如何凸顯“變化”的特征呢？這是函數(shù)知識產(chǎn)生的一個(gè)固著點(diǎn)。

函數(shù)發(fā)展經(jīng)歷了如下幾個(gè)階段：一是早期幾何觀念下的函數(shù)。1673 年笛卡爾在他的解析幾何中已經(jīng)注意到一個(gè)變量對另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但當(dāng)時(shí)并未意識到凝練函數(shù)概念，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線研究的。二是代數(shù)觀念下的函數(shù)。18 世紀(jì)中葉大數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。三是對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)。19 世紀(jì)時(shí)柯西指出對函數(shù)來說不一定要有解析式，傅里葉發(fā)現(xiàn)函數(shù)可以用一個(gè)式子表示也可以用多個(gè)式子表示，狄利克雷突破了函數(shù)變量說如何建立X 和Y 之間關(guān)系的局限，提出對應(yīng)說。三種函數(shù)理解各有不同特點(diǎn)；變量說樸素、根本的描述方式容易讓初學(xué)者接受；對應(yīng)說對于研究函數(shù)精細(xì)的性質(zhì)具有一定優(yōu)勢；關(guān)系說普適性更強(qiáng)，但不宜于學(xué)生理解。三者在函數(shù)概念的發(fā)展史中各自體現(xiàn)著不同的地位，構(gòu)建在人類認(rèn)識活動(dòng)背景下的知識探索，更接近學(xué)生的思維發(fā)展方式。

從史料分析知識到素養(yǎng)建構(gòu)的策略和方法，可以看出函數(shù)主題的產(chǎn)生是根據(jù)現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需求和數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的實(shí)際矛盾而產(chǎn)生的。函數(shù)知識轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)所用到的方法有：一是數(shù)形結(jié)合思想，本主題通過讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)知識形成過程，整體感知函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，要把函數(shù)圖像和解析式結(jié)合起來研究函數(shù)特征。二是數(shù)學(xué)模型思想，即函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的模型，在建模過程中探索函數(shù)應(yīng)用的一般過程。

（2）以大概念為核心建立數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

函數(shù)主題作為高中數(shù)學(xué)的四大主題之一，從內(nèi)部描述著事物本質(zhì)變化的基本規(guī)律，在外部體現(xiàn)著具體函數(shù)模型與問題情境的整合。函數(shù)主題教學(xué)在研究事物的內(nèi)在本質(zhì)和外部屬性兩方面都彰顯著強(qiáng)大的統(tǒng)攝力與整合力，含有更為豐富的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

大概念是概念與概念的關(guān)系抽象與概括的結(jié)果，是更能廣泛遷移的概念，能夠?qū)⒏鞣N相關(guān)概念和理解聯(lián)系成為一個(gè)連貫的整體。也就是說，大概念作為知識向核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化的中介機(jī)制，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是從數(shù)學(xué)知識中凝練出來的、整合出來的[5]。函數(shù)思想是一條貫穿于高中數(shù)學(xué)的主線，其函數(shù)主題在教學(xué)中具體落實(shí)要求對有關(guān)函數(shù)知識進(jìn)行整合和凝練，而大概念作為一個(gè)蘊(yùn)含豐富內(nèi)涵的意義模式，通過確定大概念、外顯大概念、活化大概念對把握知識整體的認(rèn)識論、方法論和價(jià)值論是具有實(shí)踐意義的。

首先，確定大概念。抽象出研究事物變化規(guī)律的基本方法，其關(guān)鍵是通過用幾何直觀研究圖形變化的基本規(guī)律，圖形和圖表是直觀、生動(dòng)呈現(xiàn)事物變化規(guī)律的基本方式，對函數(shù)的性質(zhì)加以抽象概括，通過圖形觀察函數(shù)的性質(zhì)和變化最為直觀，因此“數(shù)形結(jié)合”成為本主題的大概念，圍繞大概念的中介作用追問兩個(gè)問題，“數(shù)形結(jié)合思想”有效連接學(xué)生對函數(shù)的深度理解和遷移運(yùn)用嗎？“數(shù)形結(jié)合思想”有效連接核心知識與核心目標(biāo)嗎？

其次，外顯大概念。將核心素養(yǎng)目標(biāo)具體化為可見預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)，就是將大概念進(jìn)行表征和描述，在“函數(shù)主題”教學(xué)中，可以從三個(gè)維度對大概念進(jìn)行描述：一是知道是什么，即知道函數(shù)主題的相關(guān)知識體系，可從哪些方面理解函數(shù)。如在函數(shù)背景理解方面：從圖象看函數(shù)，從變量與變量關(guān)系看函數(shù)，從對應(yīng)關(guān)系看函數(shù)；在函數(shù)關(guān)聯(lián)理解方面：方程、不等式、線性規(guī)劃、曲線與方程等；函數(shù)模型理解方面：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等。二是理解什么，即學(xué)生要理解數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的主要理由，以數(shù)釋形，把函數(shù)圖象和解析式結(jié)合起來研究函數(shù)特征，從圖象研究性質(zhì)。三是能做什么，學(xué)生能夠用“數(shù)形結(jié)合”思想去預(yù)測生活中事物變化規(guī)律的趨勢。

最后，活化大概念。知識向素養(yǎng)滲透，其操作方法是依據(jù)大概念設(shè)計(jì)核心問題，問題情景是核心素養(yǎng)生成的基本領(lǐng)域。教師可以通過創(chuàng)設(shè)以生活為背景的實(shí)例，從實(shí)際生活中獲得事物知覺和表象的模型，如展示炮彈發(fā)射后的軌跡、臭氧空洞面積變化曲線圖、城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化表，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、歸納、概括等方法，把事物的關(guān)鍵、本質(zhì)以及特征抽象出來，在問題的引導(dǎo)下對函數(shù)本質(zhì)進(jìn)行歸納和概括。在帶領(lǐng)學(xué)生探究函數(shù)本質(zhì)的過程中，“理解”函數(shù)本質(zhì)過程要建立在“前理解”的基礎(chǔ)上，前理解是理解的邏輯起點(diǎn)和現(xiàn)實(shí)源頭，學(xué)生在小學(xué)和初中已初步接受函數(shù)內(nèi)容，高中階段學(xué)生還將學(xué)習(xí)幾種不同的函數(shù)模型，雖然研究對象不同，但研究函數(shù)的方法卻是相同的。為了讓學(xué)生意識到再次學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性，可在學(xué)生的“前概念”中創(chuàng)造適當(dāng)?shù)恼J(rèn)知沖突。如教師提問：“變量說”解釋常函數(shù)會(huì)出現(xiàn)什么問題，怎樣描述函數(shù)的本質(zhì)更好？進(jìn)而引發(fā)認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的研究還需要用精細(xì)的觀察和判斷。繼而發(fā)現(xiàn)更加貼近函數(shù)本質(zhì)的“對應(yīng)說”，對應(yīng)說建立在“集合”和“對應(yīng)”兩個(gè)基本概念上，師生展開大膽猜想，設(shè)計(jì)具有創(chuàng)意性的函數(shù)模型，讓學(xué)生借助生活情景初步感受“對應(yīng)關(guān)系”，如把定義域類比為蘿卜籽，把值域類比為坑，讓學(xué)生體會(huì)蘿卜籽與坑的對應(yīng)關(guān)系，一個(gè)蘿卜籽對應(yīng)一個(gè)坑，也可以多個(gè)蘿卜籽對應(yīng)一個(gè)坑，但一個(gè)蘿卜籽能對應(yīng)兩個(gè)坑嗎？通過讓學(xué)生在實(shí)際情景中的分析、思考，抽象出定義域與值域的對應(yīng)關(guān)系，并以驅(qū)動(dòng)型問題引發(fā)學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的思考，讓學(xué)生體會(huì)到對應(yīng)說描述事物變化的準(zhǔn)確性和深刻性。“對應(yīng)說”的出現(xiàn)讓函數(shù)定義有了廣泛的適用范圍，但要注意的是“對應(yīng)說”中“單值對應(yīng)”并沒有準(zhǔn)確的刻畫出函數(shù)的本質(zhì)屬性，且“對應(yīng)說”中“對應(yīng)”的概念到底是什么還需商榷，教師可借此引入“關(guān)系說”讓一些有余力的學(xué)生進(jìn)行思考，展開對函數(shù)現(xiàn)代定義的探索，這樣可以讓學(xué)生向科學(xué)家一樣思考問題，初步建立數(shù)學(xué)抽象思維。

（3）在問題情境教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)的發(fā)展和生成都高度依賴于問題情境，檢驗(yàn)?zāi)撤N核心素養(yǎng)生成要看回到問題情境中是否能解決實(shí)際問題，核心素養(yǎng)是個(gè)體在面對現(xiàn)實(shí)問題情境時(shí)所表現(xiàn)的綜合力量。數(shù)學(xué)是運(yùn)用抽象化和邏輯推理的方式研究數(shù)量、數(shù)字、空間的形式及其關(guān)系，在科學(xué)、工程、技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，不同的學(xué)科背景為數(shù)學(xué)提供著豐富的問題情境，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量問題可以通過體現(xiàn)變量關(guān)系的函數(shù)模型得到解決，所以在教學(xué)中應(yīng)主要通過觀察實(shí)際背景和問題驅(qū)動(dòng)體會(huì)函數(shù)模型的形成，通過問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證的過程逐步形成數(shù)學(xué)建模。注重?cái)?shù)學(xué)建模的過程性教學(xué)，探索不同學(xué)科應(yīng)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)解決實(shí)際問題的過程，通過對實(shí)際情境中的問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題形成關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力，如通過生物學(xué)中“種群數(shù)量變化”為情景建立對函數(shù)模型；在醫(yī)藥學(xué)中，有專家診斷模型，疾病靶向模型等；在管理學(xué)中，有投入產(chǎn)出模型、人力資源模型等。

問題情境教學(xué)實(shí)施的一般模式是通過問題驅(qū)動(dòng)和進(jìn)行假設(shè)層層深入，如在問題情景中進(jìn)行問題驅(qū)動(dòng)：科學(xué)家、數(shù)學(xué)家使用什么方法研究事物的變化規(guī)律？決定這些變化規(guī)律的要素主要是什么？各要素之間的相互關(guān)系如何？師生對這些問題進(jìn)行討論，即抽象出函數(shù)模型的基本要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域。三者的基本關(guān)系是什么？定義域和對應(yīng)關(guān)系決定著值域，定義域和對應(yīng)關(guān)系是怎樣得出值域的呢？大膽假設(shè)提出加工機(jī)模型來解釋函數(shù)模型形成的基本過程，這一過程可表示為：x→[f]→f（x）=y，x必須經(jīng)過f的加工才能達(dá)到y(tǒng)，加工機(jī)模型很好地解釋了函數(shù)模型中的“對應(yīng)法則”。但隨之而來的問題是如何運(yùn)用集合語言來刻畫函數(shù)？聯(lián)想到集合語言具有簡潔性、嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用集合語言來表示“一個(gè)變化”過程，此問題對于高一年級學(xué)生來說難度較大，教師可以借助PPT 展示兩個(gè)集合間的對應(yīng)關(guān)系應(yīng)該怎樣表示，對生活情景中的問題進(jìn)行充分討論，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“對應(yīng)法則”在函數(shù)概念中的核心作用。驗(yàn)證過程中可以提問解析式y(tǒng)=f（x）中f與x之間是乘的關(guān)系嗎？用x，y的加減乘除能否全面的表示對應(yīng)關(guān)系？對應(yīng)關(guān)系f可以用哪些方式表達(dá)？這些問題都可以在加工機(jī)模型中進(jìn)行驗(yàn)證。接下來通過問題驅(qū)動(dòng)對高中數(shù)學(xué)函數(shù)本質(zhì)進(jìn)行反思，提問：集合A 中元素能否有剩余，集合B 中的元素能否有剩余？學(xué)生通過觀察事物之間的變化規(guī)律，討論質(zhì)疑，體會(huì)函數(shù)概念中的“任意”和“都有”二詞以及兩個(gè)實(shí)數(shù)集合之間的單值對應(yīng)，并通過邏輯推理辨?zhèn)未嬲?，從函?shù)定義、函數(shù)符號、函數(shù)三要素三個(gè)層次加深理解集合與對應(yīng)語言對函數(shù)的刻畫，從而認(rèn)識到函數(shù)在感性上是幾何的，理性上是代數(shù)的，是一種通過某一事物的變化信息，可推知另一事物信息對應(yīng)關(guān)系的事物模型。在此，把函數(shù)模型分析的過程應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活問題情景中，在解決問題的過程中將函數(shù)模型的思想逐步細(xì)化，從更高層次上認(rèn)識函數(shù)描述事物變化規(guī)律的重要性，建立數(shù)學(xué)對象——共同特征——規(guī)律的結(jié)構(gòu)模型，由此培養(yǎng)學(xué)生模型意識和模型認(rèn)知的數(shù)學(xué)思維方式。