基于問題鏈的初中數(shù)學(xué)課堂高階思維培養(yǎng)路徑研究

楊芳艷

(江蘇省淮北中學(xué) 江蘇 淮北 235000)

從21世紀(jì)技能和《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》來看,發(fā)展學(xué)生的高階思維已成信息時(shí)代下人才培養(yǎng)的核心取向,是實(shí)現(xiàn)由知識(shí)本位向思維和素養(yǎng)本位轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵所在。數(shù)學(xué)作為思維的體操,其核心就是思維教育。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的前言部分中,特別指出數(shù)學(xué)課程要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力與創(chuàng)新能力方面不可替代的作用,課程性質(zhì)中也明確強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。[1]杜威認(rèn)為高階思維不是自然發(fā)生的,而是由“困惑”和“疑問”引發(fā)的,高階思維的發(fā)生就是反思—問題生成—探究、批判—解決問題的過程?？梢妴栴}是培養(yǎng)高階思維的載體,在教學(xué)中必須堅(jiān)持以問題為導(dǎo)向,設(shè)計(jì)符合學(xué)生思維發(fā)展的問題鏈,有效引領(lǐng)學(xué)生思考,將思維過程顯性化。思考和解決問題鏈的過程就是學(xué)生高階思維發(fā)展的過程,因此將問題鏈類型與數(shù)學(xué)高階思維要素相對(duì)應(yīng),探討在初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中通過設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}鏈,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的實(shí)現(xiàn)途徑,有助于初中數(shù)學(xué)課堂中有效地開展學(xué)生高階思維的培養(yǎng),落實(shí)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)。

1.數(shù)學(xué)高階思維構(gòu)成要素

高階思維是一種以較高層次認(rèn)知水平為主的綜合性能力,在教學(xué)目標(biāo)分類中表現(xiàn)為分析、綜合、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造,主要指創(chuàng)新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力。[2]數(shù)學(xué)學(xué)科是學(xué)生高階思維培養(yǎng)的重要途徑之一,數(shù)學(xué)高階思維除具有一般性高階思維的共同屬性外,還應(yīng)具有符合數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)特征的獨(dú)有屬性。國內(nèi)學(xué)者在突出數(shù)學(xué)思維過程的基礎(chǔ)上,通過探索性和驗(yàn)證性分析構(gòu)建了數(shù)學(xué)批判性思維、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維、數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力、數(shù)學(xué)問題解決能力四維度的初中生數(shù)學(xué)高階思維的結(jié)構(gòu)模型。[3]放眼國際,PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)要素中與高階思維直接相關(guān)的,包括數(shù)學(xué)推理以及通過表示、使用和解釋數(shù)學(xué)來解決問題的能力,并突出強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)推理在數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的重要地位。[4]再者由數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維來看,中美兩國課程標(biāo)準(zhǔn)均包括數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng),中澳兩國課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性思維,而發(fā)展學(xué)生問題解決及推理的數(shù)學(xué)思維,是中美澳三國所共有的數(shù)學(xué)課程能力目標(biāo)。[5]因此在借鑒已有數(shù)學(xué)高階思維結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特征和數(shù)學(xué)思維過程,依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中的十個(gè)核心概念、課程基本理念以及初中學(xué)段課程目標(biāo),將數(shù)學(xué)高階思維劃分為數(shù)學(xué)抽象思維、數(shù)學(xué)邏輯思維、數(shù)學(xué)模型思維、數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維、數(shù)學(xué)批判思維,并對(duì)初中數(shù)學(xué)高階思維五大構(gòu)成要素的具體內(nèi)涵分別進(jìn)行闡釋。

1.1 數(shù)學(xué)抽象思維。能夠從情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào),從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,從數(shù)量關(guān)系與空間形式中抽象出數(shù)學(xué)研究對(duì)象及其關(guān)系(數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、隨機(jī)關(guān)系)、運(yùn)算法則、一般規(guī)律等。

1.2 數(shù)學(xué)邏輯思維。能夠運(yùn)用運(yùn)算及估算技能、圖形與幾何的性質(zhì)與判定以及數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷,通過觀察、操作、歸納、類比、猜測(cè)、證明等方法層層深入分析問題;能夠運(yùn)用合情推理探索數(shù)學(xué)思路和結(jié)論,用演繹推理證明結(jié)論;能夠厘清知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);能夠進(jìn)行有邏輯、有條理的表述。

1.3 數(shù)學(xué)模型思維。能夠從生活或具體情境中抓住研究對(duì)象的本質(zhì)特征,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系,利用方程與不等式、函數(shù)關(guān)系、幾何圖形選擇合適的數(shù)學(xué)模型或建立數(shù)學(xué)模型解決問題;能夠根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)?zāi)Ｐ筒⑦M(jìn)行完善。

1.4 數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維。能夠靈活、綜合地運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法,甚至借助信息技術(shù),尋求多樣化和最優(yōu)化的問題解決策略;能夠?qū)⒁话阈缘囊?guī)律和模型遷移應(yīng)用到其他情境中,注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系和綜合運(yùn)用。

1.5 數(shù)學(xué)批判思維。能夠獨(dú)立思考,進(jìn)行分析、判斷、甄別和評(píng)價(jià),敢于質(zhì)疑并發(fā)表觀點(diǎn);能夠?qū)ψ约旱闹R(shí)技能、數(shù)學(xué)思維、解決問題的思想方法、情感態(tài)度進(jìn)行反思評(píng)價(jià)和自我監(jiān)控調(diào)節(jié);能夠反思總結(jié)一般性的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)結(jié)論等。

2.基于問題鏈的初中數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)路徑

數(shù)學(xué)教學(xué)的一大任務(wù)是訓(xùn)練學(xué)生思維,而數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)通過構(gòu)建思考型問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行清晰、明確、有邏輯的深入思考,同時(shí)問題間的跨度也可以使學(xué)生開展多樣的思維探索,[6]為促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展提供了可實(shí)施的路徑和有效手段。初中數(shù)學(xué)的四能目標(biāo)與高階思維的發(fā)生過程“反思—問題生成—探究、批判—解決問題”有著總體一致性,[7]故以發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題、解決問題、發(fā)展問題和反思問題為五大課堂教學(xué)環(huán)節(jié),分別從以情境型問題鏈導(dǎo)入,以階梯型問題鏈展開,以探究型問題鏈建模,以發(fā)散型問題鏈拓展,以反思型問題鏈深化五個(gè)方面探索了初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)高階思維的培養(yǎng)路徑,指向?qū)W生的數(shù)學(xué)抽象思維、數(shù)學(xué)邏輯思維、數(shù)學(xué)模型思維、數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維、數(shù)學(xué)批判思維五大數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展。

2.1 發(fā)現(xiàn)和提出問題:以情境型問題鏈導(dǎo)入,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維。在發(fā)現(xiàn)和提出問題的導(dǎo)入環(huán)節(jié)主要培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系的抽象思維能力,而在導(dǎo)入環(huán)節(jié)經(jīng)常會(huì)遇到教師創(chuàng)設(shè)了一定的教學(xué)情境,卻好像只是為了創(chuàng)設(shè)情境,其教學(xué)仍停留在發(fā)展學(xué)生記憶和理解等較低層次的思維水平上,缺少有效的情境型問題鏈,難以培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力。史寧中認(rèn)為抽象有兩個(gè)層次,一是從感性具體到理性具體,二是符號(hào)化,[8]這既要求學(xué)生能將現(xiàn)實(shí)的問題數(shù)學(xué)化,又要求學(xué)生能從提取到的數(shù)學(xué)要素中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系、概念、命題等,故有效的情境型問題鏈應(yīng)當(dāng)是具有真實(shí)性和思考性的問題鏈。首先要基于真實(shí)性情境設(shè)置問題鏈,情境越真實(shí)、意蘊(yùn)的問題越本原,越能引發(fā)學(xué)生的高階思維,調(diào)動(dòng)學(xué)生的親身經(jīng)歷和已有知識(shí),引起情感上的共鳴,在此基礎(chǔ)上還應(yīng)包含學(xué)生所不熟悉的新信息和新知識(shí),制造學(xué)生想知道卻又不知的認(rèn)知沖突,誘發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地從真實(shí)性情境中識(shí)別數(shù)學(xué)要素,抽象出數(shù)量或圖形的數(shù)學(xué)關(guān)系。其次,情境型問題鏈還應(yīng)該具有思考性,教師在把握知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)的本質(zhì)基礎(chǔ)上,應(yīng)減少僅通過簡單的回憶、記憶、理解就能夠回答的問題,有意識(shí)地讓學(xué)生處于觀察、分析、比較、概括等復(fù)雜思考中,從而逐步抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生的思維由直覺思維向抽象思維轉(zhuǎn)變。

【案例1】“銳角三角函數(shù)(1)———正弦”導(dǎo)入片段問題1:同學(xué)們?nèi)コ匈徫锒甲^自動(dòng)人行扶梯嗎?你知道它傾斜的角度是多少嗎?問題2:你能從這個(gè)情境中抽象出一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)圖形呢?問題3:現(xiàn)已測(cè)量出扶梯所連接兩層間的高度和扶梯坡面長,你能求出扶梯的傾斜角度嗎?問題4:我們之前從哪些角度研究過直角三角形?還可以研究什么?問題5:假如超市一、二樓之間的高度為3m,要修建一個(gè)傾斜角度為30°的扶梯需要準(zhǔn)備多長的扶梯坡面的材料呢?問題6:你能把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題嗎?已知了什么?要求什么?在學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)之前,學(xué)生已學(xué)過函數(shù)、三角形相似和勾股定理的知識(shí)并具備一定生活經(jīng)驗(yàn)。問題1首先將學(xué)生帶入超市自動(dòng)人行扶梯的生活情境,一是激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn),為銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)提供真實(shí)性的生長點(diǎn),引出學(xué)習(xí)三角函數(shù)的必要性;二是還原銳角三角函數(shù)在生活中的實(shí)際背景,在既熟悉卻又不知如何求解的認(rèn)知沖突中,激發(fā)學(xué)生思考如何求扶梯傾斜角度的求知欲,使學(xué)生帶著期待和問題投入學(xué)習(xí)。問題2和問題3由情境到數(shù)學(xué)自然引入所要研究的數(shù)學(xué)問題,將學(xué)生置于觀察、分析、聯(lián)想之中,從貼近日常生活的真實(shí)情境中分別抽象出直角三角形的數(shù)學(xué)圖形以及“已知直角三角形的斜邊和一條直角邊,求這條直角邊所對(duì)的銳角度數(shù)”的數(shù)學(xué)問題。接著問題4通過回顧已研究過的直角三角形的邊與邊、角與角之間的關(guān)系,從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要的角度引出將要研究的直角三角形邊和角的關(guān)系。最后問題5和問題6從解決實(shí)際問題需要的角度引發(fā)數(shù)學(xué)問題,不僅使學(xué)生了解引入三角函數(shù)的原因,還培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)之眼觀察生活、從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)圖形、將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣,強(qiáng)化抽象思維,打通學(xué)生較高層次的思路,實(shí)現(xiàn)從直觀經(jīng)驗(yàn)到抽象為數(shù)學(xué)知識(shí)的過渡。

2.2 分析問題:以階梯型問題鏈展開,培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維。邏輯思維能力是指通過分析、綜合、比較、判斷、推理、概括等進(jìn)行合理思考的能力,在分析問題過程中離不開學(xué)生運(yùn)用邏輯思維一步步厘清事物的性質(zhì)、本質(zhì)和相互關(guān)系。在課堂教學(xué)分析問題的過程中,教師往往為了在有限的時(shí)間內(nèi)追求“效率”,將知識(shí)填塞給學(xué)生,教師的提問也顯得較為隨機(jī)且沒有層次性和針對(duì)性,缺少“為什么”“怎么樣”等進(jìn)一步深入的問題,表面上看似所用的時(shí)間減少了,實(shí)際上只是將書本上的知識(shí)“灌”給學(xué)生,學(xué)生缺少分析、綜合的邏輯思維過程,僅停留在被動(dòng)接受知識(shí)等低層次的思維活動(dòng)中,久而久之,勢(shì)必會(huì)影響學(xué)生高階思維的發(fā)展。而階梯型問題鏈注重知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,強(qiáng)調(diào)利用正向或逆向的思維方式提出一連串由淺入深的問題組,[11]需要學(xué)生運(yùn)用精準(zhǔn)的知識(shí)與方法和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S綜合分析問題。教師在創(chuàng)設(shè)階梯型問題鏈的過程中,首先要關(guān)注學(xué)生目前所處的認(rèn)知水平和思維結(jié)構(gòu),從較為簡單、在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)的問題入手,為思維的進(jìn)階提供“腳手架”。其次關(guān)注知識(shí)的整體結(jié)構(gòu),避免那些分散和無意義的問題,使問題鏈成為一個(gè)系統(tǒng)性的組合。依據(jù)這兩個(gè)方面從簡單到復(fù)雜、從現(xiàn)象到本質(zhì)、從低階到高階層層遞進(jìn),以合適的梯度螺旋上升,引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上,有邏輯地開展問題分析,向思維更深處邁進(jìn)。

【案例2】“銳角三角函數(shù)(1)———正弦”分析片段問題1:你能用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語言表達(dá)我們抽象出的問題嗎?問題2:在直角三角形ABC中,你能求出AB的值是多少嗎?依據(jù)是什么?問題3:如果一、二樓之間的高度是4m,扶梯的傾斜角度不變,我們需要多長的坡面材料呢?問題4:如果一、二樓之間的高度是am,扶梯的傾斜角度不變,又需要多長的坡面材料呢?問題5:你發(fā)現(xiàn)了什么?∠A的對(duì)邊與斜邊的比值與三角形的大小有關(guān)系嗎?問題6:能夠得到什么數(shù)學(xué)結(jié)論呢?問題7:用數(shù)學(xué)公式怎么表示∠A的對(duì)邊與斜邊的關(guān)系呢?問題1完全拋開實(shí)際背景,使學(xué)生整理思路,用有邏輯的數(shù)學(xué)語言表征出數(shù)學(xué)問題,在學(xué)生依據(jù)“Rt△ABC中,30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”回答問題的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步按照學(xué)生思維的發(fā)展性和知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在邏輯,從具體的數(shù)到用字母表示、從文字語言到符號(hào)語言兩個(gè)維度循序漸進(jìn)地設(shè)置系統(tǒng)性的問題鏈。由于銳角三角函數(shù)的概念具有一定抽象性,問題3和問題4首先由數(shù)過渡到字母,初步感受直角三角形中銳角固定不變時(shí),對(duì)邊與斜邊之間的變化關(guān)系,為實(shí)現(xiàn)正弦中幾何知識(shí)與函數(shù)觀點(diǎn)之間的跨度搭建起橋梁。而后問題5使思維再上一個(gè)臺(tái)階,進(jìn)一步體會(huì)∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是固定值,并嘗試據(jù)此得出數(shù)學(xué)結(jié)論,再以問題7引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)∠A的對(duì)邊與斜邊的關(guān)系,關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)向“比值”研究,將問題分解為“小步子”,一層一層進(jìn)行邏輯嵌套,在文字語言歸納和概括的基礎(chǔ)上進(jìn)一步上升到符號(hào)語言表達(dá),環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)引發(fā)學(xué)生有邏輯地思考問題,既引導(dǎo)了學(xué)生進(jìn)行有邏輯地表述形成規(guī)范化結(jié)論,構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),又能將學(xué)生思維過程暴露出來,實(shí)現(xiàn)學(xué)生邏輯思維“質(zhì)”的飛躍。

2.3 解決問題:以探究型問題鏈建模,培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型思維。在經(jīng)歷分析問題之后往往需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型最終解決數(shù)學(xué)問題,數(shù)學(xué)建模既屬于問題解決的一部分,也可以視為問題解決的一種特殊模式。而在課堂教學(xué)中往往會(huì)出現(xiàn)不經(jīng)歷帶領(lǐng)學(xué)生建模的思考過程,教師直接告訴學(xué)生結(jié)論,或者是將活動(dòng)和任務(wù)派給學(xué)生,缺乏問題引領(lǐng)的現(xiàn)象,在看似忙碌而又熱鬧的課堂氛圍背后學(xué)生卻不知道怎樣合理地進(jìn)行探究,也不知道怎樣有效調(diào)用數(shù)學(xué)模型思想來解決問題,更不用說培養(yǎng)和提升學(xué)生的模型思維了。探究型問題鏈?zhǔn)墙處焼l(fā)學(xué)生大膽探索、獨(dú)立思考、構(gòu)建模型解決問題的問題鏈,在設(shè)置探究型問題鏈時(shí)要注意把握以下兩個(gè)特征:一是具有挑戰(zhàn)性,不具有挑戰(zhàn)性的問題任務(wù)僅運(yùn)用無意識(shí)的自動(dòng)化策略或者已知的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以完成,無法提起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,只有有挑戰(zhàn)性的問題才能激發(fā)學(xué)習(xí)者的欲望,使學(xué)生渴望像研究者一樣逐步突破思維障礙,從而主動(dòng)地去探索合適的數(shù)學(xué)方法來解決問題;二是具有思考性,用富有思考性的問題充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,激發(fā)學(xué)生的潛能去大膽地思考和探究,在探究中掌握數(shù)學(xué)的思想方法,在思考中提升模型思維,鍛煉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。探究型問題鏈也被視為“有效教學(xué)的核心”,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效路徑,是發(fā)展用模型思維解決問題的有效方法,更是培養(yǎng)探究型人才的有效途徑。

【案例3】“銳角三角函數(shù)(1)———正弦”探究建模片段問題1:任意畫一個(gè)Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比BCAB,你能得出什么結(jié)論?問題2:任意畫一個(gè)Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=60°,計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比BCAB,你能得出什么結(jié)論?問題3:當(dāng)∠A取其他度數(shù)的銳角時(shí),其對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢?問題4:當(dāng)∠A的度數(shù)發(fā)生改變時(shí),這個(gè)“固定值”會(huì)跟著發(fā)生改變嗎?我們借助幾何畫板來觀察,當(dāng)∠A的度數(shù)變化時(shí),什么在變,什么是不變的?當(dāng)∠A的度數(shù)不變,改變邊長的長度時(shí),什么在變,什么沒有變?問題5:你能證明我們得到的“在直角三角形中,當(dāng)銳角一定時(shí),比值是固定值”的猜想嗎?首先從問題1“∠A=45°”和問題2“∠A=60°”的特殊情況入手,由簡單、易于解決的問題出發(fā),調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性的同時(shí)為后續(xù)正遷移的發(fā)生奠定基礎(chǔ)。其次從∠A為任意度數(shù)、∠A度數(shù)變化兩個(gè)方面設(shè)置探究型問題鏈,經(jīng)歷從特殊到一般的過程,為學(xué)生設(shè)置挑戰(zhàn)和思考的階梯,一方面通過探究、歸納等方法發(fā)現(xiàn)直角三角形中,當(dāng)銳角一定時(shí),其對(duì)邊與斜邊的比值的特點(diǎn),加深對(duì)“對(duì)邊與斜邊比值”的認(rèn)識(shí),強(qiáng)化以模型思想探究問題的能力;另一方面借助幾何畫板的演示,滲透數(shù)形結(jié)合思想,引導(dǎo)學(xué)生觀察概括在動(dòng)態(tài)過程中變與不變的量,使學(xué)生有效調(diào)用模型思想,提煉問題本質(zhì),檢視自己的思維過程,總結(jié)出動(dòng)態(tài)變化過程中的規(guī)律,這是學(xué)生自己剖析問題、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程,而非教師直接告訴答案。同時(shí)問題5為學(xué)生提供自主探究的空間,證明猜想的合理性,引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)思考的路徑,最后引出固定值叫作正弦的定義:在Rt△ABC中,∠C=90°,把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫作∠A的正弦,記作sinA,即sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac。只有讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生和探究過程,并有邏輯地進(jìn)行證明和表達(dá),才能使學(xué)生的理解由單一表面上升到統(tǒng)一整體的模型思維層面,以探究型問題鏈建模促進(jìn)了對(duì)知識(shí)的深度理解,更滲透了數(shù)學(xué)的思想方法。

2.4 發(fā)展問題:以發(fā)散型問題鏈拓展,培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維。當(dāng)前應(yīng)試型的課堂教學(xué)中教師往往僅通過提問學(xué)生“是不是”“對(duì)不對(duì)”等諸如此類低級(jí)而又封閉性的問題來檢查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度,或者企圖讓學(xué)生沉浸在高密度、低認(rèn)知的提問和大容量、重復(fù)式的習(xí)題訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維既不能啟發(fā)學(xué)生多角度思考問題,又不利于發(fā)生知識(shí)遷移,更談不上培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)需要發(fā)散型的問題鏈作為土壤,幫助學(xué)生思維枝葉般地生長,思考和解決發(fā)散型問題的過程就是數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維孕育和成長的過程。設(shè)置發(fā)散型問題鏈一方面要確保立體性,從不同角度、不同層次促進(jìn)學(xué)生思考,能夠發(fā)現(xiàn)解決問題的多種方法甚至選擇出最優(yōu)之法,打破以往的思維定勢(shì)和思維慣性,引導(dǎo)學(xué)生思維向縱深和拓寬發(fā)展;另一方面要具備開放性,即圍繞中心問題,輻射出其他相關(guān)聯(lián)的問題,這些問題是不能直接從教材中找到答案的,或者沒有固定答案,是與數(shù)學(xué)內(nèi)在知識(shí)本質(zhì)相聯(lián)系,或與其他學(xué)科和生活實(shí)際相聯(lián)系的問題鏈,幫助學(xué)生在更廣闊的空間里使創(chuàng)新性思維茁壯成長。