◎馬明玥 張萬龍

(首鋼工學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)院，北京 100144)

一、引言

如果根據(jù)兩個(gè)變量的一組觀測(cè)值(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn)，估計(jì)其附近其他點(diǎn)的情況一般有兩種辦法，一種是插值法，另外一種即為擬合法.

插值法是通過在已知的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的基礎(chǔ)上插入連續(xù)函數(shù)，這個(gè)連續(xù)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線能經(jīng)過所有已知的離散數(shù)據(jù)點(diǎn).較著名的插值方法有多項(xiàng)式、埃爾米特、分段、三角函數(shù)插值等.觀測(cè)點(diǎn)的不斷增加，一方面會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量快速增大，另一方面如多項(xiàng)式插值會(huì)產(chǎn)生龍格(蝴蝶)效應(yīng).

數(shù)據(jù)擬合又稱曲線擬合，俗稱拉曲線，是可以將已知的數(shù)據(jù)通過數(shù)學(xué)方法來代入數(shù)式的表示方式.工程或科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中涉及的實(shí)際問題可以通過不同的方法獲得若干離散數(shù)據(jù)，如采樣、實(shí)驗(yàn)等.借助這些獲得的離散數(shù)據(jù)，我們往往希望得到一個(gè)連續(xù)的函數(shù)(也就是連續(xù)曲線)或者更加密集的離散方程可以與已知數(shù)據(jù)相吻合，這種方法就是擬合(fitting).

插值與擬合都可以借助計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行輔助計(jì)算以減少計(jì)算的壓力，如Excel、Mathematical、Matlab等數(shù)學(xué)軟件.這些軟件還可計(jì)算在集成環(huán)境下得到除函數(shù)表達(dá)式之外的一系列分析結(jié)果，用于分析插值與擬合的效果，但所有操作對(duì)用戶都是透明的.線性插值與擬合原理非常簡(jiǎn)單，計(jì)算量基本都在可承受范圍內(nèi)，還可以滿足一些特殊需求.本文重點(diǎn)討論線性最小二乘法擬合，除了傳統(tǒng)的縱坐標(biāo)距離平方和最小外，還討論橫坐標(biāo)及法向平方和達(dá)到最小的情況，同時(shí)引入了新的符號(hào)表示系統(tǒng).

圖1 最小二乘法線性擬合示意圖

二、線性最小二乘法參數(shù)計(jì)算

三、誤差估計(jì)

將(5)代入(12),

將(7)代入(13),

發(fā)現(xiàn)(15)與(16)完全相同！借助Mathematica軟件計(jì)算，

Mathematica軟件求解見圖2.

圖2 Mathematica部分計(jì)算程序

四、應(yīng)用實(shí)例

表1為某刀具隨用時(shí)磨損程度表，分別使用垂直、水平、法向最小二乘法線性擬合.

表1 某刀具隨用時(shí)磨損程度表

對(duì)數(shù)據(jù)的計(jì)算見圖3，對(duì)數(shù)據(jù)的擬合見圖4.

圖3 Excel計(jì)算

圖4 Excel擬合

將Excel分析數(shù)據(jù)整理得到表2.

表2 擬合所需中間數(shù)據(jù)表

將表2中數(shù)據(jù)分別代入(5)(7)(11)得到直線方程，

Ly:y=-0.30357x+27.125，

Lx:y=-0.31206x+27.15471，

L⊥:y=-0.30429x+27.12751，誤差均方和均為0.0135.

用Excel擬合功能擬合Ly如圖4，擬合結(jié)果和計(jì)算結(jié)果高度一致.

三種擬合對(duì)比圖見圖5.

圖5 擬合效果對(duì)比圖