◎王麗萍 張萬(wàn)龍

(首鋼工學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)院，北京 100144)

本討論中用到了極值思想.極值問題是經(jīng)典微積分學(xué)中最成功的應(yīng)用，無(wú)論在科學(xué)研究，還是在實(shí)際工程中、運(yùn)籌規(guī)劃方面，將問題轉(zhuǎn)化為求解某種極值是十分常見的.

一、定體積圓臺(tái)表面積極值

再將上述表達(dá)式代入表面積公式S中，得到表面積表達(dá)式為

(1)

(2)

又因?yàn)閳A錐的表面積為

S=πR2+πRl.

(3)

(4)

將(4)式兩邊平方，然后化簡(jiǎn)得:

2Sx2-S2x+9V2π=0,

S=2πR2+2πRh

二、定體積球缺表面積極值

S=π(2Rh+R2-(R-h)2)=π(4Rh-h2).

(5)

(6)

三、定體積長(zhǎng)方體表面積極值

(7)

下面通過兩種方法求其表面積公式(7)的極值.

(一)初等方法

即

因此，當(dāng)長(zhǎng)方體的表面積取得最小值時(shí)，正是同體積下正方體的表面積.

(二)極值法

分別對(duì)(7)式中的x,y求偏導(dǎo)得下面的偏導(dǎo)公式：

(8)

(9)

令(8)(9)兩式為0，得到以下偏導(dǎo)方程組：

(10)

四、定體積錐球結(jié)合體的最小表面積

(11)

通過計(jì)算組合體的表面積，得到表面積公式為：

s=πrl+2πr2.

(12)

將斜高公式代入組合體的表面積公式，得

(13)

對(duì)f(k)求導(dǎo)可得到

化簡(jiǎn)可得到

五、結(jié)束語(yǔ)

通過對(duì)定體積圓臺(tái)、球缺、長(zhǎng)方體表面積極值的討論，我們可以發(fā)現(xiàn)：定體積圓臺(tái)取得最大表面積時(shí)為圓錐，取得最小表面積時(shí)為圓柱；定體積球缺取得最小表面積時(shí)為球體；定體積長(zhǎng)方體取得最小表面積時(shí)為正方體.本文通過比較幾何體表面積的極值，發(fā)現(xiàn)了36π<54π<216<72π，因此對(duì)于體積一定的幾何體，最小表面積從小到大的排列順序?yàn)榍蝮w、圓柱體、正方體、圓錐體，同時(shí)，也能得到體積相等的立體圖形，越接近球，表面積越小的結(jié)論.