探索有理數(shù)教學(xué)基本內(nèi)容，幫助學(xué)生筑牢運(yùn)算基礎(chǔ)

■丁錦榮

曹才翰先生在《曹才翰數(shù)學(xué)教育文選》中指出：“應(yīng)把有理數(shù)一章的基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的價(jià)值提高到代數(shù)教學(xué)的首要地位?！苯Y(jié)合蘇科版教材七年級(jí)有理數(shù)一章的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者認(rèn)為這句話有非?，F(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。

一、有理數(shù)教學(xué)基本內(nèi)容

1.有理數(shù)的基本概念。

在數(shù)的概念發(fā)展史上，學(xué)生往往對(duì)新數(shù)系有個(gè)適應(yīng)和接納的過(guò)程。雖然學(xué)生可以掌握個(gè)別概念，但對(duì)于概念間的內(nèi)在聯(lián)系卻不易明確。比如，教材上引入有理數(shù)的概念，通過(guò)生活情境讓學(xué)生知道引入負(fù)數(shù)的必要性，然后將所學(xué)過(guò)的一些數(shù)（如正整數(shù)、自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、小數(shù)）羅列出來(lái)，最后劃分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，并將其統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。不少教師順勢(shì)將有理數(shù)進(jìn)行分類(lèi)板書(shū)，讓學(xué)生記錄、整理課堂筆記，然后跟進(jìn)一些有理數(shù)的歸類(lèi)識(shí)別，學(xué)生似乎也能較好地掌握（識(shí)別數(shù)的類(lèi)型，解題不出錯(cuò)）。然而，作為教師，理解還不能止于這樣的認(rèn)識(shí)程度，在相關(guān)習(xí)題練習(xí)、課后反思和有理數(shù)單元回顧時(shí)，教師有必要向?qū)W生講授有理數(shù)更本質(zhì)的定義，即“形如（其中b為整數(shù)，a為正整數(shù)）的數(shù)稱(chēng)為有理數(shù)”。這樣是基于舊概念（學(xué)生已有整數(shù)概念）來(lái)定義新概念（定義有理數(shù)，即“可比數(shù)”），數(shù)系就是這樣不斷擴(kuò)充而來(lái)的。

2.數(shù)軸。

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的重要工具，是學(xué)生進(jìn)入初中后引入的第一個(gè)重要工具。緊隨有理數(shù)概念之后就介紹數(shù)軸，主要是為了“數(shù)形結(jié)合”，讓學(xué)生形象直觀地學(xué)習(xí)和定義相反數(shù)，并比較有理數(shù)的大小。教師對(duì)于數(shù)軸的理解不能止步于“一個(gè)定義、三個(gè)要素、大量練習(xí)”的層次，可以在例題教學(xué)時(shí)，介紹數(shù)軸在數(shù)形結(jié)合上的作用。數(shù)軸是一個(gè)具有發(fā)展前途的數(shù)學(xué)工具，比如兩根數(shù)軸垂直相交，且原點(diǎn)重合時(shí)，便“升級(jí)”得到了平面直角坐標(biāo)系，而平面直角坐標(biāo)系則可以用來(lái)研究函數(shù)圖像。

3.相反數(shù)及倒數(shù)。

教材上相反數(shù)的概念非常好懂，然而這個(gè)概念并沒(méi)有深刻揭示相反數(shù)的本質(zhì)。在相反數(shù)的復(fù)習(xí)階段，教師可以向?qū)W生介紹相反數(shù)的另一種定義方式，即若數(shù)a、b的和為零，則稱(chēng)a、b互為相反數(shù)。相應(yīng)地，倒數(shù)也可以這樣定義，若a、b的積為1，則稱(chēng)a、b互為倒數(shù)。這樣的定義方式可以在有理數(shù)范圍內(nèi)得到體現(xiàn)，比如，在后續(xù)學(xué)習(xí)和探究有理數(shù)運(yùn)算法則時(shí)，就可借助相反數(shù)的定義進(jìn)行推理，包括有些解題依據(jù)，也可提示學(xué)生回到相反數(shù)的定義去理解。

二、有理數(shù)運(yùn)算法則的教學(xué)研究

1.有理數(shù)加、減法運(yùn)算法則的教學(xué)研究。

筆者認(rèn)為，有理數(shù)加法法則的教學(xué)研究要重視加法法則從何而來(lái)，兩個(gè)有理數(shù)相加的情況也要分類(lèi)研究。小學(xué)階段的運(yùn)算類(lèi)型可“一帶而過(guò)”；初中階段引入負(fù)數(shù)之后的運(yùn)算類(lèi)型，則需借助相反數(shù)的性質(zhì)（互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加為0）進(jìn)行推理、歸納運(yùn)算法則。最后，教師進(jìn)行加法法則的小結(jié)梳理，借此過(guò)程讓學(xué)生知道新知從何而來(lái)，又示以學(xué)生運(yùn)算思維，讓學(xué)生知道面對(duì)新的運(yùn)算情況，可以通過(guò)一些變形、轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)運(yùn)算。

有理數(shù)減法法則，則可借助加、減運(yùn)算互為逆運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為“減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”實(shí)現(xiàn)加、減的統(tǒng)一運(yùn)算。

2.有理數(shù)乘、除運(yùn)算法則的教學(xué)研究。

有理數(shù)乘法運(yùn)算法則的教學(xué)引入主要難點(diǎn)在于“負(fù)負(fù)得正”。這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)在很多教材上的引入方式都不一樣，也有很多數(shù)學(xué)教育學(xué)者給出了各自的教學(xué)理解。筆者認(rèn)為，不管哪種教學(xué)方式的引入，都是向?qū)W生傳遞“負(fù)負(fù)得正”這種運(yùn)算規(guī)則與其他運(yùn)算法則、運(yùn)算通性之間的一致性。此外，通過(guò)推理、歸納的方式，學(xué)生知道數(shù)學(xué)教材上的“基本事實(shí)”“規(guī)定”都是前輩數(shù)學(xué)家們集體智慧的產(chǎn)物，并不是隨意而定的，他們向?qū)W生展示追求數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科精神。

基于學(xué)生對(duì)加、減互逆運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，有理數(shù)除法法則也可以從乘法逆運(yùn)算的角度直接得出。除法運(yùn)算時(shí)，教師要提醒學(xué)生以下幾點(diǎn)，比如：0不能作為除數(shù)；1除某數(shù)仍等于1；1除以一個(gè)數(shù)等于該數(shù)的倒數(shù)；沒(méi)有除法的交換律、結(jié)合律、分配律；除法轉(zhuǎn)化為乘法時(shí)要注意不能漏掉符號(hào)等。

3.有理數(shù)乘方運(yùn)算法則的教學(xué)研究。

有理數(shù)乘方運(yùn)算是相同因數(shù)相乘的簡(jiǎn)化表達(dá)，被稱(chēng)為有理數(shù)的第五種運(yùn)算。教師引出有理數(shù)乘方運(yùn)算時(shí)，可類(lèi)比有理數(shù)乘法源于加法的簡(jiǎn)化表達(dá)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)乘方運(yùn)算出現(xiàn)的必要性。在進(jìn)一步探究有理數(shù)乘方運(yùn)算法則時(shí)，可結(jié)合有理數(shù)乘法運(yùn)算來(lái)歸類(lèi)探究，比如底數(shù)為正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，分類(lèi)討論指數(shù)的奇、偶性，從而確定冪的符號(hào)?？梢?jiàn)，對(duì)于底數(shù)為負(fù)的乘方運(yùn)算，仍然要確立“符號(hào)優(yōu)先”的運(yùn)算意識(shí)。通過(guò)幾組必要的練習(xí)鞏固后，學(xué)生還可進(jìn)一步梳理、總結(jié)更多的乘方運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。比如，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的偶次冪相等，奇次冪互為相反數(shù)；1的任何次冪還是1等。這些經(jīng)驗(yàn)不僅有利于學(xué)生深刻理解乘方運(yùn)算，而且對(duì)今后學(xué)習(xí)開(kāi)方運(yùn)算也會(huì)有很大的幫助。

三、幫助學(xué)生筑牢運(yùn)算基礎(chǔ)

學(xué)生進(jìn)入初中之后要過(guò)的第一關(guān)就是“運(yùn)算關(guān)”，而運(yùn)算的真正難點(diǎn)是混合運(yùn)算。因?yàn)橛欣頂?shù)的混合運(yùn)算在本質(zhì)上是綜合題，學(xué)生要兼顧的點(diǎn)很多，運(yùn)算能力不強(qiáng)的學(xué)生常常是顧此失彼。有些學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，如果教師不加以點(diǎn)撥，直接讓學(xué)生訂正，他們即使訂正多次，也還是反復(fù)出錯(cuò)；甚至有時(shí)訂正后，學(xué)生也不知道真正的錯(cuò)因何在，這時(shí)簡(jiǎn)單歸因到“運(yùn)算不細(xì)心”是不行的。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在有理數(shù)混合運(yùn)算開(kāi)始前，教師要告訴學(xué)生不要急于下手運(yùn)算，而要培養(yǎng)審題的習(xí)慣，即認(rèn)真審讀、觀察算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有哪幾種運(yùn)算，括號(hào)位置如何，看清辨明運(yùn)算類(lèi)型、運(yùn)算順序后，再構(gòu)思從哪些“局部算式”逐個(gè)突破，這樣才能達(dá)到較好的運(yùn)算效果。此外，教師還要特別重視針對(duì)學(xué)生的個(gè)別情況開(kāi)展糾錯(cuò)與究錯(cuò)，對(duì)那些混合運(yùn)算能力較差的學(xué)生，要安排他們利用“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”的方式整理錯(cuò)題，剖析錯(cuò)因，把每一種運(yùn)算的錯(cuò)誤原因查找出來(lái)，進(jìn)行錯(cuò)因備注，這樣可以防止下次再出現(xiàn)類(lèi)似的運(yùn)算錯(cuò)誤。