☉孔 紅
運(yùn)算是同學(xué)們理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但是在現(xiàn)階段的小學(xué)教學(xué)課程中,還缺乏針對性的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng),這就導(dǎo)致同學(xué)們在解決運(yùn)算問題時,還缺乏系統(tǒng)完善的運(yùn)算思想和方法。因此,本文首先在算理理解和變式訓(xùn)練兩方面論述基礎(chǔ)運(yùn)算能力的培養(yǎng),之后從模型建構(gòu)和最優(yōu)思想兩方面論證數(shù)學(xué)運(yùn)算蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,進(jìn)而全面系統(tǒng)地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算綜合素養(yǎng)。
運(yùn)算能力并不是簡單的數(shù)學(xué)計算過程,而是綜合運(yùn)用各項數(shù)學(xué)理論進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算的能力,這就要求教師引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)理論計算原理進(jìn)行深入的探究,理解算理提出的背景,推演算理的過程以及算理應(yīng)用的場合。實(shí)現(xiàn)這一要求的最好方式就是動手實(shí)驗(yàn),在實(shí)驗(yàn)計算的過程中讓學(xué)生深刻理解算理,加強(qiáng)算理應(yīng)用的能力。
比如,在講解“異分母加減法”這一小節(jié)時,為了幫助同學(xué)們更好地理解異分母加減法的運(yùn)算,結(jié)合具體的運(yùn)算實(shí)驗(yàn),教同學(xué)們在這個過程中理解運(yùn)算的原理。題目如下:“寫出1/xy+2/xz+6/yz 的計算過程?!痹谇蠼膺@一問題時,首先讓同學(xué)們將這一問題向已經(jīng)學(xué)過的相似內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)想,思考之后,同學(xué)們認(rèn)為可以將這種問題轉(zhuǎn)化為同分母的分?jǐn)?shù),其次再進(jìn)行加減法運(yùn)算。所以計算的第一步就是對分母進(jìn)行處理,將所有的分母轉(zhuǎn)化為同一種數(shù)學(xué)數(shù)字或者數(shù)學(xué)表達(dá)式,這就是異分母分式計算算理的第一步——通分。通分之后,算式當(dāng)中包含的所有的分式分母相同,此時就可以結(jié)合同分母分式的計算方法,將原式轉(zhuǎn)化為分子為三個整式的加減法運(yùn)算z+2y+6x,而分母轉(zhuǎn)化為同一個算式xyz,原式等于(z+2y+6x)/xyz,從而完成了計算。我們可以從這一算例總結(jié)得出異分母運(yùn)算的方法原理:將異分母的算式通過通分運(yùn)算,轉(zhuǎn)化為分母相同的分式,之后分母不變,分子則按照相應(yīng)的符號位進(jìn)行加減法運(yùn)算。
由此可見,通過動手實(shí)驗(yàn)的方式,同學(xué)們可在實(shí)驗(yàn)的過程中結(jié)合已經(jīng)掌握的知識,對新的問題進(jìn)行推導(dǎo),完成算例。這一過程可幫助同學(xué)們更好地理解運(yùn)算原理的推導(dǎo),在對原理有深刻理解的基礎(chǔ)上,加強(qiáng)利用該算理進(jìn)行數(shù)學(xué)計算的能力。因此,教師在課堂教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)親自動手推演的機(jī)會,讓同學(xué)們通過動手實(shí)驗(yàn)提升運(yùn)算能力。
運(yùn)算的形式多變,一道題可以演變出很多新穎的題目,但是不管形式如何變化其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)原型都是相同的。為了讓學(xué)生獲得運(yùn)算中的思維能力,多積累運(yùn)算原型,在多變的形式中體驗(yàn)運(yùn)算的本質(zhì),強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)運(yùn)算過程的直觀感受,從而鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)運(yùn)算原理的理解,提升其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。
例如,在學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算相關(guān)內(nèi)容時,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),以一些相同的數(shù)相加的運(yùn)算作為引子,引導(dǎo)學(xué)生將相同數(shù)的連續(xù)加運(yùn)算轉(zhuǎn)換成連加數(shù)乘以加數(shù)的方式,從而得到加法向乘法轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)原型。這是一種簡單的原型,也是乘法最基礎(chǔ)的運(yùn)算。乘法還可以用來計算圖形面積,長×寬也是一種乘法的原型。乘法還可以用來說明倍數(shù)的關(guān)系,如“A 盒中有15 個小球,45 個大球;B 盒中有10 個小球,20 個大球?!?5×3=45,可以說明A 盒中的大球個數(shù)是小球的3 倍;10×2=20,可以說明B 盒中大球個數(shù)和小球個數(shù)成2 倍的關(guān)系。這也是乘法的一種運(yùn)算,學(xué)生可以從不同方面體驗(yàn)乘法的意義。同樣,乘法和除法是相通的,在積累了乘法的原型后,進(jìn)行適當(dāng)改變就可以讓學(xué)生體驗(yàn)到除法的各種運(yùn)算意義。如“有30 袋牛奶,要分給10 個小朋友,問一個人能得到幾袋?”30÷10=3,這就是除法的一種運(yùn)算原型,說明了在進(jìn)行平均分配的時候,除法是這樣運(yùn)用的。通過這種形式,他們能在原型以及變形的題目中,對運(yùn)算規(guī)律有更多的認(rèn)識。
不論是加減運(yùn)算,還是乘除運(yùn)算,它們都有著自己的運(yùn)算原型。掌握了運(yùn)算的原型,進(jìn)行豐富的變化,不僅能讓學(xué)生有豐富的體驗(yàn),還能感受到運(yùn)算的聯(lián)系和本質(zhì)。原型的積累,一方面給學(xué)生提供了解題的思路,另一方面提供了題型多種變化的媒介,對教學(xué)來說是一種極大的便利。
數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng),從深層次來講,是對某一種方法或者某一種理論的應(yīng)用能力進(jìn)行培養(yǎng),最好的方法就是變式訓(xùn)練——結(jié)合一個典型的例題,幫助學(xué)生吃透這種數(shù)學(xué)運(yùn)算方法的原理,之后通過變式練習(xí)對該方法的運(yùn)用進(jìn)行鍛煉和檢驗(yàn)。因此,教師要充分地把握原型例題的本質(zhì)特征,通過改變其他結(jié)構(gòu)成分展開變式訓(xùn)練,幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)運(yùn)算原理。
比如,在求解應(yīng)用題:“東東看一本150 頁的故事書,第一天看了40 頁,第二天看了32 頁,還有多少頁沒看?”在這一問題中根本的計算其實(shí)是很簡單的,最重要的是對題意的理解,要在題干描述中提煉出所要用到數(shù)學(xué)元素,在這種描述中可以得出原本的頁數(shù)第一天減少了40 頁,第二天減少了32 頁,所以這是一個減法計算的運(yùn)用,被減數(shù)和減數(shù)分別是150、42 和30,之后得出數(shù)學(xué)計算方法為150-40-32=78頁。對這一問題在題干描述方法上進(jìn)行變式可以得到:“東東看一本150 頁的故事書,第一天看了40 頁,第二天看了和第一天同樣多,還有多少頁沒有看?”雖然第二個問題換了一種表達(dá)方式,但是其根本上還是考察學(xué)生通過閱讀題干獲取其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系變化的能力,通過分析學(xué)生可以得出在第二種描述中,第一天總頁數(shù)減少了,而第二天和第一天減少的頁數(shù)一樣多,所以第二天減少的頁數(shù)也是40,這樣就可以列出數(shù)學(xué)運(yùn)算式為150-40-40=70,所以在第二個問題中兩天后東東還剩70 頁未讀。
變式訓(xùn)練是幫助同學(xué)們徹底掌握一種運(yùn)算方法和解題思路的最佳方法,在變式訓(xùn)練中數(shù)學(xué)運(yùn)算的根本特征并沒有發(fā)生改變,改變的是問題的表述、條件和結(jié)論等一些非本質(zhì)特征,這樣就可以在保證數(shù)學(xué)運(yùn)算原理不變的前提下幫助同學(xué)們深刻地理解其中的數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算原理,提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。
模型思想是數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的一種學(xué)習(xí)方法和解題思路。在數(shù)學(xué)運(yùn)算中,建模思想是基于概括和歸納,對某一類題進(jìn)行抽象總結(jié),得出一種統(tǒng)一的解題方案的過程,歸納總結(jié)數(shù)學(xué)算法在這一類題型當(dāng)中的運(yùn)算原理。[1]因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生在解題的過程中手腦結(jié)合,既要動手計算,也要動腦思考,演繹歸納同類題型的運(yùn)算方法,得到解題模型。
比如,在講解“植樹問題”時,教師可結(jié)合一道典型的例題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型建構(gòu):“現(xiàn)有一條長為12 米的小路,我們要在小路的一邊種樹,每隔4 米種一棵,有幾種不同的種法?”在這一問題中并沒有對樹的種法有特殊的限定,因此我們先要進(jìn)行分類討論,題目說明了每隔4 米種一棵,但是并沒有說明在路的兩端是否要種樹。所以可以分為三類:兩端都種,只種一端和兩端都不種。分類完成之后,開始考慮具體的解題方法,解決植樹問題最好的方法,就是數(shù)形結(jié)合。在草稿紙上按照一定的比例可以一厘米表示一米,繪制完成之后可以通過圖示直接觀察得出三種情況下分別可以植樹4、3、2 棵。之后是模型的建構(gòu),對該問題抽象之后將植樹抽象為在任意一段長度固定的位置上間隔固定的距離取點(diǎn),之后按照取點(diǎn)時是否包含兩端的點(diǎn)進(jìn)行分類討論,利用數(shù)形結(jié)合的方法解題,從而完成了植樹問題解題模型的建構(gòu),再次變式之后還可以用來解決在種植棵樹固定的前提下植樹間隔距離,同樣是采用這一個完整的解題模型進(jìn)行分類討論。
通過演繹歸納的手段建立解題模型,同學(xué)們可以迅速地掌握如何在這一類題型中提煉出最重要的數(shù)學(xué)元素,按照固定并且有效的解題思路進(jìn)行快速的運(yùn)算。因此,教師一定要注重學(xué)法的指導(dǎo),避免學(xué)生出現(xiàn)動手不動腦的現(xiàn)象,引導(dǎo)其挖掘題目當(dāng)中的思想和方法,概括出這類題目的要點(diǎn),歸納總結(jié)出算法原理以完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。
限制同學(xué)們運(yùn)算能力發(fā)展的一個主要因素是運(yùn)算量的大小,同學(xué)們普遍認(rèn)為有些題目的運(yùn)算量太大導(dǎo)致計算失誤,然而實(shí)際上是因?yàn)檫@些題型所考察的內(nèi)容是同學(xué)們對某種數(shù)學(xué)思想的熟悉程度,同學(xué)們并沒有選擇與之匹配的計算思想,而是生硬地計算才是導(dǎo)致運(yùn)算量巨大的原因,所以滲透思想,選擇最優(yōu)解法對提高運(yùn)算能力有著十分重要的作用。
比如,在講解“雞兔同籠”問題時,同學(xué)們往往會采用設(shè)兩個未知數(shù)的方法求解,這就導(dǎo)致運(yùn)算量很大。比如:“雞兔同籠,有頭36,有腳120,求雞兔數(shù)?!痹O(shè)兩個未知數(shù)的話則需要列出兩個方程x+y=36、2x+4y=120,之后兩個方程聯(lián)立分別求出x 和y的值。然而這一類型的題目有一種更加簡單快速的求解方法,可以極大地減輕運(yùn)算量。求雞的數(shù)量時,假設(shè)籠子內(nèi)全部是兔子,那么可以計算這種假設(shè)下籠子內(nèi)的腳數(shù)是36×4=144,然而實(shí)際上只有120 只腳,少了的24 只腳就是因?yàn)椴蝗峭米铀詴?,每有一只雞則會少兩只腳,因此用24 除以2 就可以計算出籠子內(nèi)有雞12 只。同理,要想求籠子內(nèi)兔子的數(shù)量,設(shè)籠子內(nèi)全部是雞,那么應(yīng)該有36×2=72 只腳,多出來48 只腳,每有一只兔子會多兩只腳,所以有48÷2=24 只兔子。使用這種計算方法與設(shè)兩個未知數(shù)聯(lián)立方程求解相比,極大地減少了學(xué)生的運(yùn)算量。
選擇與問題相匹配的數(shù)學(xué)運(yùn)算方法和思想,對于減輕實(shí)際的數(shù)學(xué)計算量有著至關(guān)重要的作用,甚至有可能因?yàn)橛嬎惴椒ㄟx擇的差異導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤的結(jié)果。因此,在教學(xué)過程中滲透多樣的數(shù)學(xué)思想和解題方法是培養(yǎng)提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重要的一個環(huán)節(jié),只有明確了在面對問題時應(yīng)該選擇哪種最優(yōu)的解題方法,才能切實(shí)地提升學(xué)生的運(yùn)算能力[2]。
運(yùn)算是對數(shù)學(xué)知識的靈活運(yùn)用,是一種能夠在解決問題的過程中,針對要求的不同,合理地選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)算方法進(jìn)行求解的應(yīng)用能力。因此,認(rèn)清學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)都是關(guān)鍵的環(huán)節(jié),對數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)有足夠的認(rèn)知是必要的基礎(chǔ)。運(yùn)算結(jié)構(gòu)的串聯(lián),不僅需要教師吃透教材內(nèi)容,熟知教材體系,還要求教師有縱橫聯(lián)系知識點(diǎn)的能力。
例如,在講解“減法”和“加法結(jié)合律”的運(yùn)算相關(guān)知識時,在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生將兩者結(jié)合,從而構(gòu)建這兩者間的結(jié)構(gòu)體系。針對一道學(xué)生經(jīng)常做 錯 的 題 目:“76-22-14= ?如何使用加法結(jié)合律對上述減法進(jìn)行改寫?”有些同學(xué)在考慮了結(jié)合律的基礎(chǔ)上給出的答案是“76-(22-14)”,而正確的是“76-(22+14)”。這顯然是不理解運(yùn)算的結(jié)構(gòu),不清楚運(yùn)算的規(guī)律導(dǎo)致的。在進(jìn)行知識串聯(lián)的時候,教師應(yīng)該注意學(xué)生的理解,一定要正確引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建正確的認(rèn)知體系。再如,學(xué)到“多位數(shù)乘一位數(shù)”的運(yùn)算的時候,教師可以聯(lián)系之前學(xué)過的一位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)的運(yùn)算規(guī)則,讓學(xué)生進(jìn)行自主思考,并加以引導(dǎo),為他們構(gòu)建起正確的乘法運(yùn)算體系。如運(yùn)算134×5=?的時候,涉及進(jìn)位的規(guī)則,4×5=20,這個2 需要和3×5 的15 中的5 相加,這是第一次進(jìn)位;第二次進(jìn)位是3×5 的得數(shù)中的十位與1×5 的得數(shù)相加。在這個過程中,應(yīng)用到了一位數(shù)乘一位數(shù)的規(guī)則,并有兩位數(shù)乘一位數(shù)的進(jìn)位規(guī)則。將新的知識與學(xué)過的知識串聯(lián)起來,溫故知新,在熟悉的知識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新的知識,這有利于他們構(gòu)建知識體系。
由此可知,體系的建立對學(xué)生運(yùn)算能力的提高十分關(guān)鍵。形成系統(tǒng)的運(yùn)算認(rèn)知,讓學(xué)生不僅學(xué)會某一種運(yùn)算、某一種法則,而且還要學(xué)會在整體結(jié)構(gòu)框架下實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的串聯(lián),從而優(yōu)化對數(shù)學(xué)算理的認(rèn)知,促進(jìn)運(yùn)算能力的提升。
綜上所述,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,幫助其掌握運(yùn)算要領(lǐng),做到靈活選擇數(shù)學(xué)方法求解應(yīng)用問題,這對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是至關(guān)重要的,教師要注重運(yùn)算能力的培養(yǎng),在運(yùn)算中滲透數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想,以切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。