擬凸函數(shù)極小化問題解的存在性

郭 爽, 范江華

(廣西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 廣西 桂林 541006)

函數(shù)極小值問題解的存在性是最優(yōu)化理論研究的一個基本問題, 解集的有界性在數(shù)值計算的算法設(shè)計中有重要應用. 關(guān)于凸函數(shù)極小值問題解的存在性與解集的有界性研究目前已有較完善的結(jié)果[1-2]. 凸性在最優(yōu)化理論、 數(shù)理經(jīng)濟和工程技術(shù)等領(lǐng)域應用廣泛. 而在實際問題中, 很多函數(shù)不具有凸性, 所以研究各類廣義凸函數(shù)及其應用具有重要意義. Mangasarian[3]引進了擬凸和偽凸函數(shù)的概念, 并研究了其性質(zhì); Flores-Bazn等[4]在有限維空間中研究了擬凸函數(shù)的極大值和極小值問題, 并引入了q-漸近函數(shù)的概念; Baiocchi等[5]研究了非凸非強制性泛函的極小值問題; Penot[6]利用擬凸函數(shù)的幾種次微分給出了擬凸函數(shù)極小值存在解的充分條件; Iusem等[7]利用漸近分析研究了自反Banach空間中的擬凸函數(shù)極小值問題解集的非空有界性; 文獻[8]在有限維空間中利用擬凸函數(shù)的1階和2階漸近分析研究了擬凸函數(shù)的極小值問題.

本文考慮擬凸函數(shù)極小值問題解集的非空有界性. 利用漸近分析討論自反Banach空間中的擬凸優(yōu)化問題. 首先給出非空閉凸集上擬凸函數(shù)的q-漸近函數(shù)的定義, 然后利用非空閉凸集上擬凸函數(shù)的q-漸近函數(shù), 給出擬凸函數(shù)極小值問題解集存在性的等價刻畫. 本文結(jié)果將經(jīng)典的凸函數(shù)極小值問題解集的非空有界性結(jié)果推廣到擬凸函數(shù)上, 并給出平衡問題解集非空有界的一個充分條件.

1 預備知識

給定任一函數(shù)f:V→∪{+∞}, 其定義域為

domf={x∈V:f(x)<+∞}.

記f的上方圖形為epif∶={(x,t)∈V×:f(x)≤t}; 記f的水平集為Sλ(f)∶={x∈V:f(x)≤λ}.設(shè)f表示f在K上所有極小點構(gòu)成的集合, 定義為

設(shè)K是V中的弱閉集, 記K∞為K的漸近錐, 定義為

K∞∶={u∈V: ?tk↓0, ?xk∈K,tkxk?u}.

特別地, (?)∞=?.若K是閉凸集, 則根據(jù)文獻[7]有

K∞∶={u∈V:x0+λu∈K, ?λ>0}, ?x0∈K.

給定任一函數(shù)f:V→∪{+∞}, 記∪{±∞}為f的漸近函數(shù), 定義為epif∞∶=(epif)∞.由文獻[4]有

若f為凸下半連續(xù)函數(shù), 則epif為閉凸集, 且對所有的x0∈domf, 有

定義1[2]若函數(shù)f:V→∪{+∞}的定義域domf是一個凸集, 且對任意的x,y∈V,t∈[0,1], 有

f(tx+(1-t)y)≤max{f(x),f(y)},

則f稱為擬凸函數(shù).

f的凸性和擬凸性可分別用f的上方圖和水平集進行表征,f為凸函數(shù)當且僅當epif為凸集;f為擬凸函數(shù)當且僅當對任意的λ∈,Sλf為凸集.

定義2[2]設(shè)f:V→∪{+∞}是真函數(shù).

由定義2易知,f在V上是上半連續(xù)函數(shù)當且僅當(-f)在V上是下半連續(xù)函數(shù); 弱下半連續(xù)函數(shù)必為下半連續(xù)函數(shù); 自反Banach空間中凸下半連續(xù)函數(shù)為弱下半連續(xù)函數(shù).

定義3[1]設(shè)f:V→∪{+∞}是真函數(shù), 定義f的q-漸近函數(shù)為

令K=epif, 易見

(1)

定義4設(shè)f:V→∪{+∞}是真函數(shù),K?domf為閉凸集, 定義f在K上的q-漸近函數(shù)為

2 擬凸函數(shù)的最小化問題

下面利用閉凸集上擬凸函數(shù)的q-漸近函數(shù)討論非強制擬凸極小值問題解集的非空有界性.設(shè)f:V→∪{+∞}為真函數(shù),K?domf為閉凸集, 考慮其極小值問題

(2)

引理2[10]設(shè)U為X中的序列弱緊集,f是U上的下半弱連續(xù)泛函, 則f在U上能達到極小值.

下面給出本文的主要結(jié)果----閉凸集上弱下半連續(xù)擬凸函數(shù)最小化問題解集的非空有界性.

定理1設(shè)K為一個自反Banach空間V中的非空閉凸子集, 且int(barrK)≠?, 設(shè)f:V→為弱下半連續(xù)擬凸函數(shù), 且K?domf, 則下列結(jié)論等價:

(3)

2)?1).對每個自然數(shù)k, 記集合Kk∶={x∈K: ‖x‖≤k}.顯然, 存在k1>0, 使得當k≥k1時,Kk為非空有界閉凸集, 故Kk為序列弱緊集.因為f:V→為弱下半連續(xù)泛函, 所以由引理2可知,f在Kk上取得最小值, 從而f為非空集合, 又因為Kk為有界集, 故f為非空有界集合.

(i) ‖xk‖=k;

(4)

即對任意的x∈K和t>0, 有

(6)

綜上可知, 條件1)與條件2)等價.

推論1[1]設(shè)K為n的非空閉凸子集,f:n→為下半連續(xù)凸函數(shù), 且K?domf, 則下列結(jié)論等價:

2) 對任意的u∈K∞{0},f∞(u)>0.

下面給出文獻[7]中定理3.2, 其假設(shè)條件如下：

(H1) 設(shè)(V,‖·‖)是Banach空間,σ是V上比范數(shù)拓撲弱的拓撲, 且(V,σ)是Hausdorff向量空間, 其閉單位球是序列σ-緊集, 若h:V→∪{+∞}為序列σ-下半連續(xù)函數(shù),tk→+∞,vk按σ-收斂到v, 且h(tkvk)有上界, 則‖vk-v‖→0.

定理2[7]設(shè)(V,‖·‖)為一個自反Banach空間, 且h:V→∪{+∞}為真弱下半連續(xù)的擬凸函數(shù).若條件(H1)成立, 則是非空弱緊集當且僅當下列條件成立:

注1定理1與定理2相比, 定理1給出了閉凸集上擬凸函數(shù)極小值問題解集的非空有界性, 定理2給出了定義域上擬凸函數(shù)極小值問題解集的非空有界性.因為弱下半連續(xù)函數(shù)的極小值點集為弱閉集, 故弱下半連續(xù)函數(shù)的最小值點集為非空有界集當且僅當它為弱緊集.下面給出滿足定理1 條件, 但不滿足條件(H1)的實例.

例1設(shè)V=l2,K∶={x=(η1,η2,…,ηn,…)∈l2: 2η1≥‖x‖}, 則由文獻[9]可知, int(barr(K))≠?.設(shè)

顯然,K?domf.首先說明f:V→為擬凸函數(shù).任取t∈(0,1).對x,y∈K, 下列結(jié)論成立:

1) 若x或y中有一個范數(shù)大于1, 則顯然有

f(tx+(1-t)y)≤1≤max{f(x),f(y)};

2) 若‖x‖≤1, ‖y‖≤1, 則

‖tx-(1-t)y‖≤1,

若x,y中有一個不屬于K, 則顯然有f(tx+(1-t)y)≤max{f(x),f(y)}.由范數(shù)函數(shù)‖·‖的弱下半連續(xù)性可知,f:V→為弱下半連續(xù)函數(shù).

對任一u∈K∞{0}, 取t0>0,t1>0, 使得‖t0u‖<1, ‖(t0+t1)u‖>1, 因為0∈K, 故t0u∈K,t0u+t1u∈K, 且

從而f:K→滿足定理1的條件.令vn=e1+en,λn=n, 則f(λnvn)=1,vn?e1.注意到vne1, 因此,f不滿足條件(H1).

文獻[4]在有限維空間中討論了擬凸函數(shù)極小值解集的非空有界性, 得到如下結(jié)果.

定理3[4]令f:n→∪{+∞}為下半連續(xù)的擬凸函數(shù), 且domf≠?, 則下列條件等價:

2)Rq={0};

定理4設(shè)K為一個自反Banach空間(V,‖·‖)中的非空閉凸子集, 且int(barrK)≠?, 設(shè)f:V→為擬凸弱下半連續(xù)函數(shù), 且K?domf, 則下列條件等價:

2)Rq,K={0};

因此, 在1)～3)任意一種條件下, 均有

(7)

證明： 由定理1可知1)?3).2)?3)顯然.因為

故在1)～3)任意一種條件下均有式(7).

注2定理4將定理3的結(jié)果從有限維空間推廣到了無限維自反Banach空間.

推論2設(shè)K為一個自反Banach空間(V,‖·‖)中的非空閉凸子集, 且int(barrK)≠?, 設(shè)f:V→為擬凸弱下半連續(xù)函數(shù), 且domf=K, 則下列條件等價:

2)Rq={0};

注3當domf=K時, 推論2在int(barrK)≠?條件下得到的結(jié)論強于在條件(H1)下得到的結(jié)論.例1滿足推論2的條件.

3 平衡問題

下面給出平衡問題解集非空有界的一個充分條件.設(shè)K?V是非空閉凸集,φ:K×K→, 考慮如下平衡問題: 存在使得

(8)

函數(shù)φ滿足下列條件:

(i) 對任意的x∈K,φ(x,x)=0;

(ii) 對所有的x∈K,φ(x,·)是弱下半連續(xù)的擬凸函數(shù);

(iii) 對每個x∈K及每個y∈K,φ為偽單調(diào)函數(shù), 即若φ(x,y)≥0, 則有φ(y,x)≤0;

(iv) 對所有的y∈K,φ(·,y)是弱上半連續(xù)函數(shù).

下面引入二元函數(shù)φ的q-漸近函數(shù)的概念.

引理3[11]設(shè)K?V為有界閉凸集,φ:V×V→滿足條件(i)～(iv), 且K×K?domφ.則平衡問題(8)的解集S(K,φ)為非空集合.

定理5設(shè)K?V是非空無界閉凸集且int(barrK)≠?,φ:V×V→滿足條件(i)～(iv), 且K×K?domφ.若對任一u∈K∞{0}, 均有則平衡問題(8)的解集S(K,φ)為非空有界集.

證明： 對任一n∈, 考慮如下問題: 存在使得

(9)

由于Kn是弱緊集, 由引理2知問題(9)的解集為非空集, 記其中一個解為xn, 則對任意的y∈Kn, 有φ(xn,y)≥0.

φ(xn,y)≥0, ?n≥n0.

從而有

φ(xn,y)≥0(?n≥n0) ?φ(y,xn)≤0(?n≥n0).

(10)

顯然, 對任意的t>0, 當n充分大時, 有

(11)

又因為φ(y,·)是弱下半連續(xù)函數(shù), 故有

φ(y,y+tu)≤0, ?y∈K, ?t>0.

例2設(shè)X=n,K={x=(x1,0,…,0),x1≥0},φ:K×K→,則K∞=K, 對任一u∈K∞{0}, 當u1>0,t1>0時, 均有

故φ,K滿足定理5的條件.