雙分量Dullin-Gottwald-Holm方程的peakon解與擬扭波解

錢浩浩，金浩銘，劉韓彬，章麗娜

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

近30年來，具有peakon解的非線性波方程引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.Peakon解最早是由Camassa和Holm[1]提出的，之后學(xué)者們陸續(xù)得到了其他peakon方程，如Degasperis-Procesi方程[2-3]、完全非線性K(m,n)方程[4-5]和Novikov方程[6-7]等，這些方程都是具有peakon解的可積模型.Peakon解因在波峰處具有不連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)而被稱為單峰孤立尖波解.

本文主要研究雙分量Dullin-Gottwald-Holm(DGH)方程：

(1)

其中，m=u-α2uxx.當(dāng)ρ=0時(shí)，方程(1)是Dullin-Gottwald-Holm方程；當(dāng)γ=0時(shí)，方程(1)是雙分量Camassa-Holm方程.文獻(xiàn)[8]研究指出，雙分量Camassa-Holm方程只有光滑的孤立波解.為研究線性色散項(xiàng)uxxx對孤立波解的光滑性影響，文獻(xiàn)[9]研究了雙分量DGH方程(1)在無窮邊界條件下的各種光滑孤立波解和非光滑孤立波解的漸進(jìn)行為,但沒有給出方程(1)peakon解的精確表達(dá)式.

本文利用動力系統(tǒng)分支方法[4,10]，研究雙分量DGH方程(1)peakon解的動力學(xué)行為及其精確表達(dá)式，并通過分析行波系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的相圖，獲得一類新的非光滑孤立波解——擬扭波解的精確表達(dá)式.

為研究方程(1)的行波解，令u(x,t)=u(ξ),ρ(x,t)=ρ(ξ),ξ=x-ct,其中c為波速，則方程(1)的第二個(gè)方程可化為：

-cρ+(uρ)′=0.

(2)

對方程(2)進(jìn)行積分，得:

(3)

其中,g為積分常數(shù).方程(1)的第一個(gè)方程為：

-c(u-u″)′-Au′+γu?+(u(u-u″))′+(u-u″)u′+ρρ′=0.

(4)

對方程(4)進(jìn)行積分，并令積分常數(shù)為零，得：

(5)

方程(5)等價(jià)于二維系統(tǒng)：

(6)

系統(tǒng)(6)的首次積分為：

(7)

系統(tǒng)(6)第二個(gè)方程的右端在直線u=c和u=c-γ上是不連續(xù)的，這意味著雙分量DGH方程(1)很有可能存在非光滑行波解.

1 系統(tǒng)(6)的正則系統(tǒng)的相圖分支

為討論簡便，設(shè)A=0,c>0.下面考慮系統(tǒng)(6)的正則系統(tǒng)：

(8)

其中，dξ=2(u-c)2(u-c-γ)dτ.系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(8)具有相同的首次積分，因此系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(8)具有相同的拓?fù)湎鄨D.u=c和u=c+γ是系統(tǒng)(8)的兩條不變直線解.根據(jù)幾何奇異攝動理論，在這兩條直線附近，τ是快變量，ξ是慢變量，即在奇異直線u=c和u=c+γ附近，系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(8)具有截然不同的動力學(xué)性質(zhì).

為分析系統(tǒng)(8)的平衡點(diǎn)，記

f(u)=u(3u-2c)(u-c)2+g2，

f′(u)=2(u-c)(6u2-6cu+c2)，

f″(u)=2(18u2-24cu+7c2).

設(shè)M(uj,yj)為系統(tǒng)(8)在平衡點(diǎn)Ej(uj,yj)處線性化系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，記J(uj,yj)=detM(uj,yj)，則

J(u1,2,0)=-2(u1,2-c)2(u1,2-c-γ)f′(u1,2)，

根據(jù)平面動力系統(tǒng)基本理論，對于平面可積系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，當(dāng)J<0時(shí)，該平衡點(diǎn)是鞍點(diǎn)；當(dāng)J>0時(shí)，該平衡點(diǎn)是中心；當(dāng)J=0且平衡點(diǎn)處的Poincare指數(shù)為零時(shí)，該平衡點(diǎn)是尖點(diǎn).

記hi=H(ui,0),i=1,2,hs=H(c+γ,?Ys)，利用上述信息進(jìn)行定性分析，得到系統(tǒng)(8)的相圖分支，見圖1.

圖1 系統(tǒng)(8)在(u,y)平面上的相圖分支

2 Peakon解和擬扭波解的參數(shù)表達(dá)式

下面討論雙分量DGH方程 (1) 的peakon解和擬扭波解的精確表達(dá)式.由方程(7)，對任一固定的積分常數(shù)h，有

(9)

根據(jù)系統(tǒng)(6)的第一個(gè)方程，對首次積分H(u,y)=h所定義的水平曲線進(jìn)行積分，得：

(10)

其中，u(ξ0)=u0.一般而言，方程(10)的右端是一個(gè)超橢圓積分，故不易積分，但在某些特殊情況下，可以積分求得peakon解和擬扭波解的精確參數(shù)表達(dá)式.

2.1 Peakon解

下面討論如圖1(b)和圖1(d)所示的兩種情況.

(i)當(dāng)h2=hs時(shí)，存在一個(gè)異宿軌道環(huán)連接系統(tǒng)(8)的3個(gè)鞍點(diǎn)，即E2(u2,0)，S+(c+γ,Ys) ，S-(c+γ,-Ys)，且環(huán)繞著中心E1(u1,0)(圖1(b)).此時(shí)，

G(u)=(u-u2)2(c+r-u)(uL-u).

因此，沿曲線E2S+和S-E2積分，并結(jié)合式(10)可得：

于是，方程(1)peakon解的參數(shù)表達(dá)式為 (圖2(a))：

圖2 波形圖

(11)

其中，

(ii)對應(yīng)連接系統(tǒng)(8)的3個(gè)鞍點(diǎn)，即E1(u1,0)，S+(c+γ,Ys)，S-(c+γ,-Ys)，且環(huán)繞中心E2(u2,0)的三角形異宿軌道環(huán)H(u,y)=h1=hs(圖1(d))，有

G(u)=(u-u1)2(c+γ-u)(uL-u).

沿曲線E2S+和S-E2積分，并結(jié)合(10)可得：

于是，方程(1)peakon解的參數(shù)表達(dá)式為 (圖2(b))：

(12)

其中，

2.2 擬扭波解

當(dāng)u2

(13)

其中，

G(u)=(u-u2)2(uM-u)(uL-u),c+γ

將式(13)代入系統(tǒng)(6)的第一個(gè)方程，并沿著上述兩條雙曲扇形曲線積分，得到兩個(gè)擬扭波解的精確表達(dá)式 (圖2的(c) (d))：

(14)

其中，F(xiàn)(φ,k)和∏(φ,α2,k)是勒讓德橢圓積分，且

3 結(jié) 論

本文運(yùn)用動力系統(tǒng)方法研究了雙分量DGH方程的非光滑行波解及其動力學(xué)行為，獲得了兩個(gè)新的peakon解的參數(shù)表達(dá)式，并得到了新的擬扭波解的參數(shù)表達(dá)式.通過分析可知，peakon解取決于一個(gè)曲線三角形的存在 (圖1(b)和圖1(d))，具有確定的幾何性質(zhì).