力矩輸出能力最優(yōu)化混合執(zhí)行機構操縱律設計

倪瑞，華冰，張宏，吳云華，陳志明

南京航空航天大學 航天學院，南京 211000

1 引言

航天器的敏捷機動控制與姿態(tài)動態(tài)跟蹤控制，都需要執(zhí)行機構輸出大力矩以及具有較高的精確度[1]。執(zhí)行機構有控制力矩陀螺[2-3]，飛輪[4]，磁力矩[5]等，單類的執(zhí)行機構各有其局限性，傳統(tǒng)的推力器精度低，CMG具有奇異問題[6]，RW具有飽和問題[7]等。因此，對于航天器的敏捷姿態(tài)控制，一般選用混合執(zhí)行機構[8]，其中，CMG輸出力矩線性度高，能夠成倍的放大力矩而且響應迅速，但會有奇異的問題，RW雖然提供力矩較小，但控制精度高，可以和CMG協(xié)同使用，利用CMG對RW進行卸載，并利用RW使CMG逃離幾何奇異。所以CMG和RW的混合執(zhí)行機構由于其精度高、輸出力矩大成為較好的選擇[9]。

2013年，耿云海等提出了一種形式簡潔的混合執(zhí)行機構力矩分配算法[10]，避免了CMG奇異，避免了RW飽和和過零的問題，提高了精度。2015年，王煥杰等在CMG的基礎上設計了RW的操縱律進行閉環(huán)修正，可以實現(xiàn)CMG在非奇異的狀態(tài)下減小外界干擾等不利影響實現(xiàn)對大角度姿態(tài)機動的控制[11]。2017年，Yunhua Wu等提出了CMG和RW的新的性能指標，使用具有可行的零運動矢量梯度方法，使混合執(zhí)行器系統(tǒng)達到可行狀態(tài)，但并沒有實現(xiàn)混合執(zhí)行機構的性能最優(yōu)化[12]。2019年，Yunhua Wu等提出了基于合作博弈的混合執(zhí)行機構操縱律[13]，實現(xiàn)CMG角速度和RW角加速度的最小化，使得CMG和RW協(xié)同使用，并且使得能耗較小，但沒有精確的衡量力矩輸出的能力，2019年，張智飛等提出了CMG 系統(tǒng)零運動混合執(zhí)行機構力矩分配方法[14]，采用高斯偽譜法進行了最優(yōu)力矩分配，不僅避免了CMG奇異，而且縮短了敏捷衛(wèi)星快速機動的時間。2020年，張科備等創(chuàng)新性的提出在構型上進行變化，使系統(tǒng)增加自由度[15]。以上方法或側重于逃離奇異，而引入較大的力矩誤差，或側重于降低能耗，沒有考慮在逃離奇異的前提下，力矩輸出能力的最優(yōu)化。

本文從幾何角度出發(fā)，根據(jù)期望力矩與系統(tǒng)輸出力矩的幾何關系進行分析，使得期望力矩與輸出力矩夾角最小。給出了力矩輸出能力最優(yōu)的CMG框架角速度和RW角加速度計算方法，設計了力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律，引入?yún)?shù)，使得CMG框架角和RW角加速度與期望力矩下的CMG框架角和RW角加速度的誤差以及輸出力矩誤差的混合二次型最小，在避免CMG奇異和RW飽和的前提下，實現(xiàn)力矩輸出能力強，精度高，可更好的完成航天器敏捷機動控制等任務。

2 混合執(zhí)行機構的配置

2.1 金字塔構型的CMG和RW混合執(zhí)行機構

混合執(zhí)行機構采用金字塔構型，使用4個CMG和3個RW構成。4個CMG框架軸分別垂直于正四棱錐的4個側面，與塔頂軸夾角均為β，初始角動量均沿正四棱錐的底邊以逆時針順序排列。3個RW正交分布。如圖1所示。

圖1 金字塔構型CMG和RW系統(tǒng)[16]Fig.1 Pyramidal CMG and RW system

CMG的框架角集合α=[α1,α2,α3,α4]T，傾角為β，CMG角動量hCMG為：

hCMG=

(1)

式中：c(β)≡cos (β) ,s(β)≡sin (β),s(αi)≡sin (αi),c(αi)≡cos (αi)，式(1)導數(shù)為：

式中：JCMG為CMG的雅克比矩陣；h0是標稱角動量。

量的導數(shù)為：

混合執(zhí)行機構的角動量導數(shù)為：

2.2 CMG奇異與RW飽和

CMG系統(tǒng)陷入奇異狀態(tài)是指當CMG系統(tǒng)處于特定的框架角時，各個CMG輸出的力矩共面，此時的CMG系統(tǒng)無法輸出正交于該平面的力矩，該平面的法向量為奇異矢量，對應的 CMG 框架角為奇異框架角[17]。從數(shù)學推導的方面看，當CMG陷入奇異時，雅克比矩陣JCMG列向量不共面且互相平行，即不滿秩：

采用CMG奇異度量函數(shù)SCMG來衡量CMG接近奇異的情況，SCMG越大，CMGs越遠離奇異，當SCMG為0時，CMGs陷入奇異：

RW產(chǎn)生的力矩與加速度成比例，即RW的動量矩在某個方向上不斷增大，直到飛輪轉速達到極限值，這就意味著RW會陷入飽和，從而失去控制航天器姿態(tài)的能力，RW需要由其他輔助設備(例如推進器、磁力矩器等)進行卸載去飽和[18]。

類似于CMG的奇異度量函數(shù)，采用RW飽和指標SRW來衡量RW飽和情況，當SRW=1時，RW陷入飽和：

式中：Ωmax為飽和值。

CMG與RW互相耦合，當CMG奇異時，RW輸出扭矩，使得混合執(zhí)行機構逃離奇異。當CMG 奇異時，雖然rank(JCMG)=2，但混合執(zhí)行機構：

所以，混合執(zhí)行機構可以彌補單CMG作為執(zhí)行機構容易陷入奇異的情況。

為體現(xiàn)力矩輸出的精度，定義了力矩輸出能力的性能指標[19]：

式中：θi為第i個CMG輸出力矩τdi與期望力矩Tc之間的夾角，S越大輸出能力越強，S=0表示無法輸出期望力矩。

3 力矩輸出最優(yōu)化原理

根據(jù)期望力矩矢量及CMG力矩輸出的幾何關系，來使得輸出力矩與期望力矩之間的夾角最小，實現(xiàn)力矩輸出能力最優(yōu)。所以，本文從幾何角度出發(fā)，合理分配各個CMG的框架角，設計了力矩輸出最優(yōu)化原理，使得力矩輸出能力最強，最優(yōu)化框架角速度的設定如圖2所示[19]。

圖2 最優(yōu)化框架角速度的設定[19]Fig.2 Setting of optimal frame angular velocity

sgn(〈hi×hdi,hi〉)

為使得輸出能力最優(yōu)，經(jīng)過一個控制周期Δt之后，當前框架角應與期望的框架角重合，則期望的框架角速度為：

則各個CMG的期望框架角速度為：

由于RW可以提供各個方向的力矩，為使得CMG和RW互相耦合，則使得RW的期望的角加速度如下：

使得CMG和RW協(xié)同使用，RW的角速度受到CMG的控制，當CMG出現(xiàn)奇異情況時候，RW起作用，給予小力矩使得CMG更容易逃離奇異狀態(tài)，使整個系統(tǒng)迅速逃離奇異，能繼續(xù)執(zhí)行任務[12]。

4 執(zhí)行機構的操縱律設計

基于力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律在精準的輸出期望力矩的同時保證力矩輸出能力最大。本文給出力矩期望最優(yōu)的CMG框架角與RW角加速度，引入混合最小二次型，使得CMG框架角和RW角加速度與期望力矩下的CMG框架角和RW角加速度的誤差以及輸出力矩誤差的混合二次型最小，即保證角速度誤差與力矩輸出誤差同時最小，引入了參數(shù)，使得操縱律一直存在力矩誤差，并通過減小參數(shù)，一定程度上降低在奇異面產(chǎn)生的力矩誤差。

其中，混合最小二次型L[19]：

(2)

其中L取最小值且矩陣A，B取為單位對稱矩陣。

(3)

取B=E3，A=λE7。其中Ei(i=3,7)為單位矩陣，λ為減小力矩誤差的參數(shù)，代入(3)得到：

(4)

根據(jù)Woodbury公式，變換(4)為[10]：

式中：λ=λ0exp(μSCMG)。

5 力矩誤差與奇異性分析

5.1 力矩誤差分析

得到矩陣為：

式中：B=E3，A=λE7。

混合執(zhí)行機構的期望力矩為：

輸出力矩誤差為：

式中：A+DTBD=λE7+DTD由于λ≠0，所以不可逆，則輸出力矩誤差不為0，使得操縱律總是存在一定的力矩誤差。降低λ的取值，減小力矩誤差。取λ=λ0exp(μSCMG)，當在CMG奇異點附近，SCMG→0,det(DTD)→0,λ迅速減小，ΔT→0。 同時，λ≠0將使得操縱律總是存在一定的力矩誤差，降低λ的取值，減小力矩誤差。

對于λ=λ0exp(μSCMG)，取當SCMG=0.04時，針對λ0的值進行討論，如圖3為誤差參數(shù)對三軸力矩誤差的絕對值和的影響，當λ0減小，即為λ的減小，可以顯著減小系統(tǒng)的力矩誤差和，但是，當λ0小于1×10-3后，減小效果不顯著。

圖3 參數(shù)λ對力矩誤差和影響Fig.3 Effect of parameter λ on sum of torque error

如表1為，考慮λ0對框架角速度誤差和的影響。

表1 參數(shù)λ0對框架角速度誤差影響

可見，框架角誤差越大，框架角速度誤差和越大，而λ0→0，框架角速度誤差和變化越大，即系統(tǒng)對框架角的誤差的處理能力越來越差。

所以針對上述情況，取λ0=0.000 1，在減小力矩誤差的同時誤差處理能力也較好。

5.2 CMG奇異性分析

對基于力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律中CMG奇異逃離進行證明，并分析混合執(zhí)行機構與單CMG系統(tǒng)的不同。證明基于力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律逃離CMG的奇異效果更好。

(5)

代入(5)可得：

可得：

CMG奇異情況可以分為以下三種情況：

Case1：雅可比矩陣第一行為0，c(α1,k)=s(α2,k)=c(α3,k)=s(α4,k)=0,

Case2：雅可比矩陣第二行為0，s(α1,k)=c(α2,k)=s(α3,k)=c(α4,k)=0,

Case3：雅可比矩陣第三行為0，c(α1,k)=c(α2,k)=c(α3,k)=c(α4,k)=0,

當沒有RW時，

(6)

令B=

代入(6)得：

則可得：

(7)

6 仿真結果與分析

6.1 混合執(zhí)行機構仿真參數(shù)設置

在本節(jié)中，對基于力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律進行仿真分析，混合執(zhí)行機構的參數(shù)設定如表2所示。

表2 混合執(zhí)行機構參數(shù)

本節(jié)考慮4個方案，如表3所示。其中方案1和2采用混合執(zhí)行機構的最優(yōu)化操縱律，但分別采用不同的期望力矩作為對比，分別為低動態(tài)性的期望力矩以及高動態(tài)性的期望力矩。方案3是當混合執(zhí)行機構一開始便陷入奇異的極限狀態(tài)，基于力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律逃離奇異的能力。方案4為基于合作博弈的混合執(zhí)行機構操縱律[4]，考慮與方案3同樣的極限狀態(tài)下，逃離奇異情況，作為與方案3的對比方案。

表3 仿真方案設計

6.2 仿真分析

圖4 方案1仿真結果Fig.4 Simulation results of scenario 1

圖5 方案2仿真結果Fig.5 Simulation results of scenario 2

如圖6，為系統(tǒng)初始框架角雙曲線奇異情況，可見，圖6(a)，CMG奇異性指標在0s為0，即初始奇異，但隨著時間流逝，立刻逃離奇異，且不會再陷入奇異狀態(tài)，RW飽和指標未達到1，即RW不飽和，同時(c)可見，力矩誤差較小，輸出力矩接近于期望力矩，(d)可見，混合執(zhí)行機構力矩輸出能力較強。

圖6 方案3仿真結果Fig.6 Simulation results of scenario 3

續(xù)圖6Fig.6 Continued

如圖7，為基于合作博弈的混合執(zhí)行機構操縱律下系統(tǒng)初始框架角雙曲線奇異情況，圖7(a)，CMG奇異性指標在0 s為0，即初始奇異，但隨著時間流逝，立刻逃離奇異，圖7(b)RW飽和指標未達到1，即RW不飽和，圖7(c)可見，力矩誤差較小，與圖6類似，但從圖6(d)和圖7(d)對比可以看出合作博弈的混合執(zhí)行機構操縱律的S較小，所以針對力矩輸出能力而言，合作博弈的混合執(zhí)行機構操縱律力矩輸出能力較差。

圖7 方案4仿真結果Fig.7 Simulation results of scenario 4

根據(jù)表4，得到以下結論：

1)對于混合執(zhí)行機構，當初始CMG不奇異時，由于期望力矩會導致CMG接近奇異狀態(tài)，基于力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律使得系統(tǒng)很快逃離奇異，且輸出力矩誤差較小，力矩輸出能力強；

2)對于混合執(zhí)行機構，當初始CMG陷入奇異時，對于這種極限狀態(tài)，例如雙曲線奇異，基于力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律可使系統(tǒng)迅速逃離奇異，并在下次接近奇異的時候使系統(tǒng)遠離奇異，且輸出力矩誤差較小，力矩輸出能力強；

表4 仿真效果分析

3)與現(xiàn)有的逃離奇異效果較好的，基于合作博弈的混合執(zhí)行機構操縱律的輸出能力進行對比，可見，力矩輸出能力最優(yōu)化混合執(zhí)行機構操縱律的力矩輸出能力較強。

7 結論

本文采用CMG和RW的混合執(zhí)行機構，設計了基于力矩輸出能力最優(yōu)化混合執(zhí)行機構操縱律，引入了λ參數(shù)，使得操縱律一直存在力矩誤差，通過對λ參數(shù)對力矩誤差和的影響和λ參數(shù)對框架角的誤差的處理能力的影響，選取了最優(yōu)情況下的λ參數(shù)，使之在一定程度上降低系統(tǒng)奇異面上產(chǎn)生的力矩誤差。證明了基于力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律中CMG奇異逃離較好，并分析了基于力矩輸出能力最優(yōu)化混合執(zhí)行機構操縱律比基于合作博弈的混合執(zhí)行機構操縱律輸出力矩能力更強。經(jīng)過仿真驗證，基于力矩輸出能力最優(yōu)化的混合執(zhí)行機構操縱律的CMG逃離奇異能力較好，并且RW不會陷入飽和，只會引入很小的力矩誤差，力矩輸出誤差小，并且力矩輸出能力強。適用于航天器的高動態(tài)敏捷機動或者姿態(tài)動態(tài)跟蹤控制等任務。