高中數(shù)學(xué)直觀想象能力的培養(yǎng)
——以“三棱錐切接球問題”為例

江蘇省常熟市中學(xué) 錢夢迪

1 問題的提出

幾何與代數(shù)本是數(shù)學(xué)中最古老的內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中除原有的雙基要求外，思維能力的培養(yǎng)細(xì)分到了空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運(yùn)算求解、演繹證明、體系構(gòu)建等[1].其中以直觀想象替代原有的空間想象，涉及范圍更加廣泛，需要對圖形進(jìn)行描述、分析、理解，從而解決數(shù)學(xué)問題.立體幾何中棱錐的切接球(如果一個棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個球面上，那么這個球叫做棱錐的外接球，球體與棱錐的每個面都相切的球是棱錐的內(nèi)切球)問題，能夠發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力，但是在學(xué)習(xí)中，因知識點(diǎn)比較抽象，學(xué)生把握不住問題的本質(zhì)，難以解決.因此在教學(xué)中要給學(xué)生介紹一些基礎(chǔ)的模型知識，培養(yǎng)學(xué)生類比思想和空間圖形平面化的能力來突破立體幾何中的這個難點(diǎn).

2 正三棱錐的內(nèi)切球與外接球半徑

圖1

(1)求正三棱錐的外接球半徑

已知正三棱錐P-ABC，底面三角形ABC的邊長為b，側(cè)棱長為a，PF⊥面ABC，F(xiàn)為垂足，求其外接球半徑R.

(2)求正三棱錐的內(nèi)切球半徑

圖2

已知三棱錐P-ABC為正三棱錐，底面三角形ABC的邊長為b，側(cè)棱長為a，求其內(nèi)切球半徑r.

第一步：如圖2，取AB中點(diǎn)D，連接PD，CD.設(shè)點(diǎn)E,H分別為球與平面APD和平面ACD的切點(diǎn)，圓O為截面圓.

3 培養(yǎng)學(xué)生類比的數(shù)學(xué)思想

在研究正三棱錐內(nèi)切球的半徑時，可類比三角形內(nèi)切圓半徑的求解思路：面積分割，三角形的內(nèi)切圓圓心到三條邊的距離相等，所以三角形的面積等于以三條邊長為底，高為內(nèi)切圓的半徑的三個三角形面積之和.因此，三棱錐的內(nèi)切球半徑(內(nèi)切球的球心到三棱錐四個面的距離都相等)的求解思路：體積分割，三棱錐的體積等于以三棱錐的四個面為底面，內(nèi)切球的半徑為高的四個小三棱錐的體積之和.教學(xué)時可利用GeoGebra軟件給學(xué)生展示(如圖3)分割法求內(nèi)切球半徑的動態(tài)過程[2].

圖3

同樣地，研究三棱錐外接球半徑時，也可以聯(lián)想三角形外接圓半徑的求法.在初中我們先是研究直角三角形外接圓的半徑，然后研究鈍角三角形、銳角三角形的外接圓半徑，都可以通過構(gòu)造直角三角形來解決.類比這一解題思路，我們研究三棱錐外接球的半徑時，也可以通過構(gòu)造直角三角形來解決[3].

圖4

如圖4，底面三角形ABC為直角三角形，球心為O，OH⊥平面ABC，H為垂足，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則(2R)2=AC2+PA2，或R2=h2+r2，OH=h.

圖5

例1已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若PA=AB=2,AC=1,∠BAC=120°,且PA⊥平面ABC,求球O的表面積.

4 用模型解決立體幾何問題

利用長方體或者正方體模型來解題，學(xué)生的直觀感受更加強(qiáng)烈，能夠很快分析出球的球心.長方體、正方體模型也是學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ).

圖6-1 圖6-2 圖6-3 圖6-4

例2已知四面體ABCD的三組對棱分別相等，AB=CD=x,AD=BC=y，AC=BD=z，求該四面體的外接球半徑R.

圖7

解析：構(gòu)造長方體，如圖7.設(shè)長方體的長、寬、高分別是a,b,c，則有

5 結(jié)論

總之，立體幾何的學(xué)習(xí)是由淺入深、循序漸進(jìn)的過程.在這一過程中，要結(jié)合概念和定義進(jìn)行解題訓(xùn)練，體會從感知到操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算的過程，提高學(xué)生的直觀想象能力.