楊申申，白增亮

（1.山西師范大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院，山西 太原 030031；2.山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

當(dāng)今時(shí)代是一個(gè)高度信息化的時(shí)代，信息安全的重要性隨之也愈發(fā)顯著。量子密鑰分發(fā)（Quantum Key Distribution）［1-2］的誕生能夠很好地滿足對(duì)信息加密的需求，它可以使合法通信雙方共享一組信息理論上無(wú)條件安全的密鑰。連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)（Continues-Variable QKD，CV-QKD）［3-5］作為 QKD 技術(shù)的一個(gè)重要分支，具有光源易于制備，探測(cè)效率高，中短距離上成碼率高，與現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)光通信組件兼容性好等優(yōu)點(diǎn)。自1999年被提出后［6］，取得了飛速的進(jìn)展，在實(shí)驗(yàn)方面，系統(tǒng)的傳輸距離和密鑰率不斷增加，安全性逐步提高，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)傳輸最遠(yuǎn)距離達(dá)到202.81 km［7］，利用信道復(fù)用技術(shù)密鑰率最高可以達(dá)到172.6 Mbit/s［8］，基于光纖測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)的演示實(shí)驗(yàn)也得以實(shí)現(xiàn)［9］，并逐漸走向集成化［10］、實(shí)用化［11］。

CV-QKD實(shí)驗(yàn)技術(shù)的不斷突破對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)的要求也愈來(lái)愈高。Leverrier等提出了適用于低信噪比（0.01～1）的多維協(xié)調(diào)方案［12］，能夠使得CV-QKD系統(tǒng)的傳輸距離更遠(yuǎn)。Jouguet等將多邊類型低密度奇偶校驗(yàn)（Multi-Edge Type Low-Density Parity-Check，MET-LDPC）碼應(yīng)用到多維協(xié)調(diào)當(dāng)中［13］，當(dāng)碼率為0.02，信噪比為0.029時(shí)，協(xié)調(diào)效率為96.9%。Jouguet等利用多維協(xié)調(diào)結(jié)合MET-LDPC碼的方案，成功將CVQKD的傳輸距離擴(kuò)展到80 km［14］，由此獲得了研究人員的廣泛關(guān)注。Wang等實(shí)現(xiàn)了0.02，0.05和0.1三個(gè)碼率下的多維協(xié)調(diào)，信噪比分別為 0.029，0.075，0.16，效率分別為 96.99%，95.84%，93.40%，并利用GPU的并行計(jì)算能力提高了計(jì)算速度［15］；同年，Milicevic等將碼率為0.02時(shí)的協(xié)調(diào)效率提高到99%［16］。Li等利用GPU進(jìn)一步提高了計(jì)算速度［17］。Mani等構(gòu)造了譯碼性能更好的MET-LDPC碼［18］，并對(duì)碼率0.02進(jìn)行了分析，協(xié)調(diào)效率可以達(dá)到98.8%。

上述研究工作主要針對(duì)碼率0.02展開(kāi)研究，該碼率的糾錯(cuò)碼可以支持CV-QKD進(jìn)行百公里以上的密鑰分發(fā)。當(dāng)CV-QKD系統(tǒng)工作在中短距離時(shí)，有必要對(duì)碼率0.1展開(kāi)進(jìn)一步的研究，且現(xiàn)有研究成果中構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣碼長(zhǎng)過(guò)長(zhǎng)，導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大，計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng)，嚴(yán)重制約了多維協(xié)調(diào)在實(shí)際場(chǎng)景中的應(yīng)用。本文改進(jìn)了校驗(yàn)矩陣構(gòu)造方法，結(jié)合隨機(jī)構(gòu)造算法和準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展算法構(gòu)造了一組碼率為0.1的MET-LDPC碼，基矩陣碼長(zhǎng)分別為1×103，1×104，2×104，分別擴(kuò)展到1×105，2×105，5×105，1×106，探究了不同的基矩陣大小和準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展因子對(duì)多維協(xié)調(diào)性能的影響。仿真結(jié)果表明，選擇碼長(zhǎng)103的基矩陣并擴(kuò)展500倍構(gòu)造出來(lái)的校驗(yàn)矩陣糾錯(cuò)性能最佳，當(dāng)信噪比為0.16時(shí)，協(xié)調(diào)效率為93.4%，幀錯(cuò)誤率低至6.8%，譯碼平均迭代次數(shù)為49.99，這幾項(xiàng)參數(shù)表明我們的方案可以滿足系統(tǒng)在中短距離下對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)的需求。

1 MET-LDPC碼及其構(gòu)造

Richardson和Urbanke提出了MET-LDPC碼［19］。通過(guò)在碼的設(shè)計(jì)中引入新的約束條件，使得該碼兼具以下優(yōu)點(diǎn)：（1）在高斯噪聲信道上表現(xiàn)出更好的糾錯(cuò)性能；（2）低碼率下糾錯(cuò)性能相比于其他糾錯(cuò)碼更接近香農(nóng)極限，在非常低的信噪比下可以降低錯(cuò)誤平層；（3）高碼率下同樣具有非常好的糾錯(cuò)性能。

度分布是分析LDPC碼漸進(jìn)性能的有力工具，MET-LDPC碼從節(jié)點(diǎn)的角度來(lái)定義度分布。矢量d代表邊類型的度數(shù)；矢量b表示接收信號(hào)的信道的參數(shù)，該矢量中僅一個(gè)變量為1，其余均為0；矢量r表示接收信道的數(shù)量。根據(jù)這些參數(shù)，可以用兩個(gè)多項(xiàng)式來(lái)表征METLDPC碼的度分布，分別對(duì)應(yīng)變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的約束條件，即

式中系數(shù) νb，d和 μd表示每種節(jié)點(diǎn)的比例，均為非負(fù)實(shí)數(shù)。一個(gè)度分布對(duì)應(yīng)的碼率為

2011年，Jougue等利用密度進(jìn)化算法尋找出了一組碼率為0.02的度分布［13］；2017年，Wang等進(jìn)一步利用密度進(jìn)化尋找了碼率為0.05和 0.10時(shí)的度分布［20］；2021年，Mani等則利用廣義外部消息傳遞圖方法尋找了碼率分別為 0.01，0.02，0.05，0.10時(shí)的最佳度分布［18］，其譯碼閾值均優(yōu)于之前的度分布，其中碼率0.10的度分布表達(dá)式為

圖1所示為該度分布表達(dá)式對(duì)應(yīng)的Tanner圖。

圖1 碼率為0.1的MET-LDPC碼Tanner圖Notes：N represents the code length，the circles represent a type of variable nodes，the squares represent a type of check nodes，and the lines between the two types of nodes represent edges.The code include three types of edges，and the numbers represent the number of edgesFig.1 Tanner graph of MET-LDPC codes with code rate 0.1

利用度分布構(gòu)造校驗(yàn)矩陣的方法可以分為兩大類，分別為隨機(jī)構(gòu)造和結(jié)構(gòu)化構(gòu)造。一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)構(gòu)造所構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣糾錯(cuò)性能較好，但是當(dāng)構(gòu)造尺寸非常大的校驗(yàn)矩陣時(shí)，所需時(shí)間較長(zhǎng)。而且由于MET-LDPC碼通常應(yīng)用在極低信噪比的信道中，校驗(yàn)矩陣的尺寸較大，迭代次數(shù)較多，因此譯碼的延遲時(shí)間通常較高，往往需要通過(guò)硬件加速的方式來(lái)提高計(jì)算速度，達(dá)到降低延遲時(shí)間的目的，準(zhǔn)循環(huán)結(jié)構(gòu)有利于在硬件中實(shí)現(xiàn)并行處理。本文將兩種方法結(jié)合起來(lái)，首先用隨機(jī)構(gòu)造算法構(gòu)造出基矩陣，然后利用準(zhǔn)循環(huán)算法對(duì)基矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)性能和時(shí)間復(fù)雜度的權(quán)衡。

2 多維協(xié)調(diào)基本原理

CV-QKD系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘?hào)和量子信道中的噪聲均服從高斯分布。當(dāng)系統(tǒng)的信噪比極低時(shí)，發(fā)送者Alice的高斯變量方差極小，這就導(dǎo)致大量的信號(hào)將集中分布在平均值的附近，疊加一個(gè)功率遠(yuǎn)高于信號(hào)的噪聲后，接收者Bob接收到的信號(hào)將難以進(jìn)行區(qū)分。為了增大高斯信號(hào)之間的辨識(shí)度，在多維協(xié)調(diào)方案中對(duì)信號(hào)進(jìn)行了多維空間旋轉(zhuǎn)操作，從而將高斯信道傳輸?shù)母咚剐盘?hào)轉(zhuǎn)化為虛擬二進(jìn)制高斯信道中傳輸?shù)亩M(jìn)制信號(hào)，有效地增大了信號(hào)辨識(shí)度。

多維協(xié)調(diào)方案的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如圖2所示。對(duì)量子態(tài)進(jìn)行測(cè)量之后，Alice和Bob共享一組關(guān)聯(lián)的高斯序列X和Y。雙方將此高斯序列中每d個(gè)元素組成一個(gè)向量，標(biāo)記為X'和Y'，然后對(duì)每一個(gè)d維矢量進(jìn)行歸一化

圖2 基于MET-LDPC碼的多維協(xié)調(diào)示意圖。接收者Bob利用真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器（True Random Number Generator，TRNG）產(chǎn)生一個(gè)比特串，并進(jìn)行編碼，發(fā)送者Alice進(jìn)行譯碼計(jì)算出與Bob一致的比特串Fig.2 Schematic of multidimensional reconciliation based on MET-LDPC codes.The receiver Bob uses the true random number generator（TRNG）to generate a bit string and then encoding.The sender Alice decodes to calculate a bit string that consistent with Bob

式中|X'|和|Y'|表示對(duì)向量取模。歸一化之后，隨機(jī)向量被轉(zhuǎn)化為單位球面上的信號(hào)點(diǎn)，高斯變量轉(zhuǎn)化為x和y。然后，由接收端利用真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一組長(zhǎng)度與高斯變量相同而且服從均勻分布的隨機(jī)比特串u，將此隨機(jī)比特串轉(zhuǎn)換成d維球面矢量

接收端進(jìn)行d維空間旋轉(zhuǎn)操作，計(jì)算出函數(shù)M(y'，u')，使其滿足

并對(duì)u進(jìn)行編碼，生成校驗(yàn)子s，然后將M(y'，u')和 s發(fā)送給 Alice，Alice 利用接收到的該 函 數(shù) 信 息 計(jì) 算 M'(y'，u')x'=v'，最 后 Alice 將計(jì)算所得的v作為邊信息，通過(guò)譯碼恢復(fù)出與Bob完全相同的u。

多維協(xié)調(diào)的效率可以表示為β=R/C，式中R表示糾錯(cuò)碼的碼率，C表示信道容量。系統(tǒng)的密鑰率K可以表示為

式中RFE表示數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)的幀錯(cuò)誤率，IAB表示通信雙方的互信息量，χBE表示逆向協(xié)調(diào)中可能泄漏給竊聽(tīng)者的信息量。此式表明，幀錯(cuò)誤率和協(xié)調(diào)效率均對(duì)系統(tǒng)的密鑰率有較大的影響，因此，優(yōu)化和提升這兩項(xiàng)參數(shù)是非常必要的。

3 仿真測(cè)試結(jié)果

相同的度分布下，不同的構(gòu)造方法、碼長(zhǎng)等因素均會(huì)影響譯碼性能。為了測(cè)試不同校驗(yàn)矩陣的性能，我們首先用隨機(jī)構(gòu)造算法構(gòu)造了碼長(zhǎng)分別為1×103，1×104，2×104的三種基矩陣，再進(jìn)行準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展，分別將碼長(zhǎng)擴(kuò)展到1×105，2×105，5×105，1×106。對(duì) 12 個(gè)校驗(yàn)矩陣進(jìn)行仿真測(cè)試后，結(jié)果顯示譯碼性能最好的校驗(yàn)矩陣是碼長(zhǎng)1×103的基矩陣擴(kuò)展到碼長(zhǎng)5×105。進(jìn)一步對(duì)該矩陣的性能進(jìn)行測(cè)試，在信噪比為0.155至0.165范圍內(nèi)每間隔0.001測(cè)試一組，每組樣本總量為100幀，測(cè)試所得的譯碼性能如圖3所示。當(dāng)信噪比小于0.165時(shí)，協(xié)調(diào)效率均能夠達(dá)到90%以上。

圖3 不同信噪比下的譯碼性能。盡管協(xié)調(diào)效率隨著信噪比的增大而逐漸減小，但幀錯(cuò)誤率和平均迭代次數(shù)也有所下降Fig.3 Decoding performance under different signal-noise ratios（SNRs）.Although the reconciliation efficiency decreases as SNR increases，the frame error rate and the average number of iterations also decrease

為了與前期的兩個(gè)工作進(jìn)行對(duì)比，對(duì)0.160和0.161兩個(gè)信噪比做了進(jìn)一步仿真測(cè)試，將樣本總量擴(kuò)大到500幀，所得各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。經(jīng)過(guò)對(duì)比可知，本工作的最大優(yōu)勢(shì)在于有效地縮短了碼長(zhǎng)，由于LDPC碼的節(jié)點(diǎn)數(shù)量與碼長(zhǎng)呈線性關(guān)系，縮短碼長(zhǎng)可以起到降低計(jì)算量的作用。由此可知，可以將計(jì)算量減少一半。與Wang等工作相比，碼長(zhǎng)減少了一半，幀錯(cuò)誤率相近，由于Wang等沒(méi)有提供平均迭代次數(shù)，所以未能進(jìn)行對(duì)比。與Li等工作相比，平均迭代次數(shù)相近，碼長(zhǎng)和幀錯(cuò)誤率均得到顯著降低。另外，本文采用隨機(jī)構(gòu)造算法來(lái)構(gòu)造校驗(yàn)矩陣，而前期的兩個(gè)工作均采用漸進(jìn)邊增加（Progressive Edge-Growth，PEG）算法，兩者相比，隨機(jī)構(gòu)造算法具有原理簡(jiǎn)單，碼長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)譯碼性能較好等優(yōu)點(diǎn)。

表1 與前期他人工作的對(duì)比Table 1 Comparison with previous works of others

4 結(jié)論與展望

本文構(gòu)造了碼率為0.1的MET-LDPC碼，應(yīng)用到多維協(xié)調(diào)中表現(xiàn)出良好的性能，當(dāng)信噪比為0.16時(shí)，協(xié)調(diào)效率為93.4%，幀錯(cuò)誤率低至6.8%，譯碼平均迭代次數(shù)為49.99，可以初步滿足系統(tǒng)的需求。同時(shí)，探究了不同信噪比下，碼長(zhǎng)、準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展因子等因素對(duì)性能的影響，結(jié)果表明，構(gòu)造校驗(yàn)矩陣時(shí)基矩陣碼長(zhǎng)選擇1×103且準(zhǔn)循環(huán)擴(kuò)展因子選擇500時(shí)譯碼性能最佳，該矩陣具有計(jì)算量少，能夠進(jìn)行并行計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)。下一步，可以利用硬件進(jìn)行加速，提高協(xié)調(diào)速度，促進(jìn)CV-QKD系統(tǒng)在中短距離下走向?qū)嵱谩?/p>