史海鉤沉教有根的數(shù)學(xué)課

◇楊凌一（江蘇：?jiǎn)|市惠豐小學(xué)）

2022年版《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程理念方面強(qiáng)調(diào)，“關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”。隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的逐步推進(jìn)，教育人對(duì)于數(shù)學(xué)史越來(lái)越關(guān)注。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)本源的集中體現(xiàn)，教師只有抓住本源才能認(rèn)清本質(zhì)，合理設(shè)計(jì)教學(xué)，提升教學(xué)質(zhì)量。筆者基于數(shù)學(xué)史的視角，以2022年版課標(biāo)為導(dǎo)向，立足大單元統(tǒng)整教材，選取蘇教版五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義》一課為例，在概念教學(xué)中融入豐厚史料，注重?cái)?shù)學(xué)概念教學(xué)的多樣性和層次性，將數(shù)學(xué)教育最終落實(shí)到立德樹人。

一、勾連歷史，正本清源

分?jǐn)?shù)的意義在不同歷史發(fā)展階段的具體解釋也存在一定差異。J.Park 等人根據(jù)分?jǐn)?shù)意義的歷史演變，將其分為“部分/整體”“測(cè)量”“除法”“集合論”這四種意義；張奠宙將分?jǐn)?shù)的意義概括為“份數(shù)”“比”“商”“公理化”。這兩種分類在本質(zhì)上是相同的。

“部分/整體”。在公元前1700年左右形成的阿梅茲草片文書記載著古埃及人使用符號(hào)將整體的一部分表示為分?jǐn)?shù)。該階段是學(xué)生初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)階段，蘇教版三年級(jí)上冊(cè)教材中也有“分東西時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)結(jié)果不是整數(shù)的情況，漸漸出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)”的內(nèi)容。

“測(cè)量”則與“可公度性”有關(guān)。公元前300年歐幾里得認(rèn)為，可以被相同尺度測(cè)量的量即為可公度的。單位分?jǐn)?shù)就被視為測(cè)量對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)的基本單位，又稱分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)就是利用分?jǐn)?shù)單位來(lái)“測(cè)量”的。這與蘇教版五年級(jí)下冊(cè)的分?jǐn)?shù)意義中分?jǐn)?shù)單位的內(nèi)容很貼合。

“除法”與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，離不開19世紀(jì)Galois、Dedekind 等人的貢獻(xiàn)。分?jǐn)?shù)是由乘法的逆運(yùn)算得到的，這也搭建起分?jǐn)?shù)與運(yùn)算之間的橋梁。該內(nèi)容在蘇教版五年級(jí)下冊(cè)會(huì)系統(tǒng)學(xué)習(xí)。

“集合論”是19世紀(jì)末20世紀(jì)初康托發(fā)明的，最終促成有理數(shù)（分?jǐn)?shù)）的產(chǎn)生。該內(nèi)容涉及更高層次的知識(shí)，在小學(xué)階段不做討論。

在本節(jié)課教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)可以表示部分與整體之間的關(guān)系，本課主要是讓學(xué)生歸納提煉出分?jǐn)?shù)在分單位“1”，脫離具體情境講述分?jǐn)?shù)的意義，明白分?jǐn)?shù)是由分?jǐn)?shù)單位測(cè)量得到的。

二、立足大單元，統(tǒng)整教材

每個(gè)知識(shí)都不是孤立存在的，而是存在于一個(gè)完整的體系中，與其他知識(shí)有著緊密的聯(lián)系。因此在分析教材時(shí)，應(yīng)將本課歸于分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)這一大單元，甚至是整個(gè)小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)教學(xué)體系中去研究。

（一）教學(xué)內(nèi)容——搭建知識(shí)框架

在教學(xué)內(nèi)容方面，教師要搭建完整的知識(shí)框架，將一個(gè)單元的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)。本單元主要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的概念（前期已學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)的組成、具體情境中分?jǐn)?shù)的意義），單位“1”，分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，分?jǐn)?shù)的分類，比較大小包括分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的比較大小（前期已學(xué)過(guò)同分母分?jǐn)?shù)比較大?。?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及通分、約分。主要通過(guò)思維導(dǎo)圖在知識(shí)點(diǎn)之間搭建橋梁。

本單元共有兩大重點(diǎn)內(nèi)容——分?jǐn)?shù)的意義以及基本性質(zhì)。理解分?jǐn)?shù)的意義不僅會(huì)影響本單元下階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，例如，分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（找單位“1”）、理解真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)的含義以及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，同時(shí)對(duì)后面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算以及利用分?jǐn)?shù)知識(shí)解決實(shí)際問題也會(huì)產(chǎn)生重要影響。

（二）習(xí)題選擇——“1→n”多指向練習(xí)

在“雙減”背景下，習(xí)題的選擇要體現(xiàn)量少質(zhì)高的原則。學(xué)生通過(guò)少量的練習(xí)就能夠?qū)⒁惶谜n的知識(shí)體系聯(lián)系起來(lái)，有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。以本課教學(xué)為例，《分?jǐn)?shù)的意義》的練習(xí)要讓學(xué)生將單位“1”、分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)單位三個(gè)核心內(nèi)容連接起來(lái)。因此筆者在安排課堂練習(xí)時(shí)，選取了書本練習(xí)八中的第四題，并對(duì)題目要求進(jìn)行了改編，原題要求是說(shuō)出分?jǐn)?shù)表示的含義。修改后的要求為：第一，找出單位“1”并說(shuō)出分?jǐn)?shù)的含義；第二，說(shuō)出分?jǐn)?shù)單位以及分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)；第三，探究分?jǐn)?shù)單位和什么有關(guān)，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)和什么有關(guān)。通過(guò)適當(dāng)修改題目，可以充分發(fā)揮練習(xí)的價(jià)值，讓練習(xí)涵蓋本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)一題多指向的原則。

三、聚焦重點(diǎn)，關(guān)注生成

“分?jǐn)?shù)的意義”屬于分?jǐn)?shù)領(lǐng)域，而分?jǐn)?shù)又屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，從數(shù)的發(fā)展歷程來(lái)看，數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程是自然數(shù)（整數(shù)）—分?jǐn)?shù)—小數(shù)。教材在編排時(shí)，也遵循了這樣的順序，符合“數(shù)”發(fā)展的進(jìn)程。通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)概念以及意義的理解比對(duì)分?jǐn)?shù)計(jì)算的掌握困難得多。為了促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知，加強(qiáng)理解，教師一定要聚焦重點(diǎn)，關(guān)注生成。筆者認(rèn)為本課的重點(diǎn)，一個(gè)是讓學(xué)生理解單位“1”，另一個(gè)重點(diǎn)則是讓學(xué)生分清表示具體數(shù)量還是關(guān)系。

（一）抓住生成，理解單位“1”

課堂伊始，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，基于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生用自己的方式表示，并說(shuō)說(shuō)所表示的這個(gè)分?jǐn)?shù)代表的具體含義。通過(guò)觀察，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會(huì)用各種各樣的方式表示，有畫一個(gè)蘋果平均分成四份涂一份的，有畫一個(gè)正方形平均分成四份涂一份的，還有畫一些圓片平均分成四份涂一份的，等等。此時(shí)教師應(yīng)明確需要，尋找表示“一個(gè)物體”“一個(gè)整體”“一個(gè)計(jì)量單位”的作品。

（二）反復(fù)比較，深入探究

在引出單位“1”這個(gè)概念以后，將學(xué)生所說(shuō)的具體含義進(jìn)行概括。例如，學(xué)生會(huì)說(shuō)“一個(gè)蛋糕的就是把一個(gè)蛋糕平均分成4 份，取其中的一份”，此時(shí)教師應(yīng)追問：“那有多少個(gè)蛋糕呢？”學(xué)生會(huì)總結(jié)出：“一個(gè)蛋糕的就是個(gè)。”后面學(xué)生介紹的時(shí)候自然而然會(huì)說(shuō)出“一筐桃子的就是筐”“1 米 的就是米”。教師將其板書后，拋出問題：“和個(gè)有什么區(qū)別？”學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有單位，一個(gè)沒有單位，這時(shí)候教師揭示：表示的是1 個(gè)和個(gè)之間的關(guān)系，而個(gè)表示的則是具體的數(shù)量。

在這里安排學(xué)生區(qū)分關(guān)系和具體數(shù)量主要是為下面的學(xué)習(xí)做鋪墊，練習(xí)當(dāng)中會(huì)出現(xiàn)許多表示具體數(shù)量的分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生判斷單位“1”是誰(shuí)，學(xué)生往往會(huì)混淆。因此筆者在課堂上通過(guò)比較，讓學(xué)生明確分?jǐn)?shù)帶單位和不帶單位的區(qū)別。

四、巧設(shè)環(huán)節(jié)，融入史料

汪曉勤教授曾概括了數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用方式：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式。目前我們課堂中運(yùn)用最多的是附加式，直接將史料作為閱讀材料。在本課中，筆者主要運(yùn)用附加式和復(fù)制式。

（一）學(xué)科特點(diǎn)的體現(xiàn)

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)單位”這一環(huán)節(jié)時(shí)，筆者引入“古埃及單分子分?jǐn)?shù)”這一史料，通過(guò)附加式與復(fù)制式相結(jié)合的方式，讓學(xué)生了解“分?jǐn)?shù)單位”的前世今生。在介紹分?jǐn)?shù)單位就是分子是1 的分?jǐn)?shù)后，筆者對(duì)分?jǐn)?shù)單位的知識(shí)進(jìn)行擴(kuò)展，通過(guò)錄音讓學(xué)生了解到分?jǐn)?shù)最早出現(xiàn)在古埃及。通過(guò)舉例，讓學(xué)生了解到古人只能用來(lái)表示，從而切實(shí)感受到過(guò)去人們表示分?jǐn)?shù)的不容易，繼而認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的簡(jiǎn)潔性。教師最后拋出問題：“現(xiàn)在你怎么用單分子分?jǐn)?shù)表示？”讓史料鮮活起來(lái)，對(duì)課堂教學(xué)起到一定的幫助作用，并且通過(guò)古今方法的對(duì)比，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科簡(jiǎn)潔性特點(diǎn)，同時(shí)也體現(xiàn)了教學(xué)的有效性原則。

（二）教育價(jià)值的彰顯

筆者認(rèn)為，本課的一大重點(diǎn)是突破單位“1”。在課前談話中，筆者通過(guò)讓學(xué)生在教師的名字中尋找數(shù)字信息，將學(xué)生的目光聚焦到“1”這個(gè)數(shù)字上來(lái)。通過(guò)舉一些生活中的例子，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)普通的“1”并不普通。再運(yùn)用老子在《道德經(jīng)》中的名言“一生萬(wàn)物”，將學(xué)生的興趣推至高潮，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣以及好奇心，對(duì)本課中單位“1”的理解和掌握有一定的助推作用。

在本課的尾聲，筆者引用德國(guó)的諺語(yǔ)“掉進(jìn)分?jǐn)?shù)計(jì)算里去了”，讓學(xué)生明白在過(guò)去分?jǐn)?shù)的運(yùn)算不是一件簡(jiǎn)單的事，這不禁又讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突——“已經(jīng)學(xué)過(guò)的同分母分?jǐn)?shù)運(yùn)算較為容易，為什么說(shuō)分?jǐn)?shù)計(jì)算很難呢？”同時(shí)也為本冊(cè)書第五單元“分?jǐn)?shù)的加法和減法”的教學(xué)埋下伏筆。

五、總結(jié)反思，拔節(jié)生長(zhǎng)

基于前兩次的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)有了一定的認(rèn)識(shí)，因此對(duì)于分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)單位都能很好地理解并掌握，熟練表述出分?jǐn)?shù)的含義。數(shù)學(xué)史的融入加重了整堂課的文化底蘊(yùn)，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣以及求知欲。

任何一節(jié)課都不是十全十美的，即使在課堂中再三強(qiáng)調(diào)關(guān)系與具體數(shù)量之間的區(qū)別，在解釋“時(shí)”的具體含義時(shí)，仍有學(xué)生找不到單位“1”或是找錯(cuò)單位“1”。在這一類有單位的分?jǐn)?shù)中，找出單位“1”，學(xué)生往往錯(cuò)誤頻出。其實(shí)這就與單位“1”所涉及的第三個(gè)含義——表示一個(gè)計(jì)量單位有關(guān)。由此可見，學(xué)生對(duì)于“計(jì)量單位”這個(gè)抽象的詞，還是有些模糊的。如何處理好這一部分的教學(xué)，讓學(xué)生深切體會(huì)到計(jì)量單位也與單位“1”有關(guān)，在今后的課堂教學(xué)中還要繼續(xù)深入研究。

課后，我對(duì)學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)的訪談，了解數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的情況。學(xué)生了解到與分?jǐn)?shù)相關(guān)的歷史知識(shí)，知道了分?jǐn)?shù)單位的源起，還有的學(xué)生已經(jīng)將課上所學(xué)到的“掉進(jìn)分?jǐn)?shù)計(jì)算里去了”應(yīng)用起來(lái)。更多的學(xué)生表示，希望課堂上有更多有趣的數(shù)學(xué)史故事呈現(xiàn)。通過(guò)學(xué)生的反饋，讓筆者真實(shí)地感受到數(shù)學(xué)史融入課堂給學(xué)生帶來(lái)的變化：豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，積淀了數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。對(duì)于教師而言，在備課、上課的過(guò)程中，擴(kuò)展了自身的知識(shí)面，不僅有助于提升課堂教學(xué)能力，自身也獲得了成長(zhǎng)。

人們對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了“從畏懼到接受、從形象化到抽象化再到具體化”的復(fù)雜演變過(guò)程。在小學(xué)階段，分?jǐn)?shù)內(nèi)容對(duì)于邏輯推理能力尚弱的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，具有一定難度，而數(shù)學(xué)史正能喚醒課堂的活力，讓數(shù)學(xué)學(xué)科有了更多的人情味。這也決定了數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂的必然趨勢(shì)。一線小學(xué)教師不僅是數(shù)學(xué)史料的學(xué)習(xí)者，更是數(shù)學(xué)文化的傳播者。把數(shù)學(xué)史融入日常課堂教學(xué)，讓數(shù)學(xué)史與教學(xué)深度融合，既是課堂上跨越時(shí)間與空間的相融，也是數(shù)學(xué)家與小學(xué)生創(chuàng)造經(jīng)歷的相融。教數(shù)學(xué)要教有根的數(shù)學(xué)。