時(shí)俊

（珠海市第一中學(xué)，廣東珠海 519000）

一、數(shù)學(xué)建模的發(fā)展

2017年教育部正式公布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，該課程標(biāo)準(zhǔn)的公布標(biāo)志著新一輪的數(shù)學(xué)課程改革正式開始實(shí)施。通過系統(tǒng)梳理本輪數(shù)學(xué)課程改革可以發(fā)現(xiàn)，改革的主要目的是完成立德樹人的根本任務(wù)，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，特別是在高中階段的數(shù)學(xué)教育來講，數(shù)學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生有著非常重要的價(jià)值，有著不可替代的基礎(chǔ)作用。通過諸多學(xué)者們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的系統(tǒng)梳理和發(fā)現(xiàn)，課程標(biāo)準(zhǔn)正式提出了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)共有六項(xiàng)，分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，這六項(xiàng)核心素養(yǎng)直接指明了數(shù)學(xué)教育要重點(diǎn)培養(yǎng)的方向。

數(shù)學(xué)建模是本次數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，也是歷來數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容。早在2003年的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版中數(shù)學(xué)建模就有重要的地位，但事實(shí)上具有關(guān)學(xué)者的考證，早在1996年的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的要求，只是當(dāng)時(shí)以數(shù)學(xué)模型的表達(dá)出現(xiàn)在文件中[1]。到了2003年的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿中，數(shù)學(xué)建模就被正式提出，并且給予了足夠的重視[2]。要求學(xué)生能夠“選擇有效的方法和手段收集信息、聯(lián)系相關(guān)知識(shí)、提出解決問題的思路，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，進(jìn)而嘗試解決問題”。但是如果拓展高中階段，進(jìn)一步討論初中階段的數(shù)學(xué)要求，會(huì)發(fā)現(xiàn)在2011年的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中也進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)建模，并且提出了十個(gè)核心詞，其中包含模型思想[3]。這也可以看出對(duì)數(shù)學(xué)建模的重視程度在不斷增加。到最新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版中，數(shù)學(xué)建模成為了六個(gè)核心素養(yǎng)之一[4]。并且要求逐步提高，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)等。由此可見，隨著人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的不斷深入，數(shù)學(xué)教育學(xué)者們?nèi)諠u認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的重要性，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中不可缺少的重要內(nèi)容[5]。

二、數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)的意義

數(shù)學(xué)建模作為基礎(chǔ)教育中重要的培養(yǎng)內(nèi)容，具有不可替代的作用。數(shù)學(xué)建模主要是指研究者對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某些問題進(jìn)行抽象，然后通過數(shù)學(xué)的語言、數(shù)學(xué)的方法解決問題，在這個(gè)過程中研究者要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，建立模型，確定參數(shù)，計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果，改進(jìn)模型，最終成果等幾個(gè)基本過程。顯然，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的各方面能力和素養(yǎng)具有重要的作用。目前無論是國際還是國內(nèi)都已經(jīng)非常明確地指出，在21世紀(jì)人才培養(yǎng)中能力是第一位的，傳統(tǒng)的以知識(shí)為主要的人才培養(yǎng)模式和培養(yǎng)目標(biāo)已經(jīng)被淘汰，而能力的培養(yǎng)并不是像知識(shí)的講授那樣簡單，具有更加復(fù)雜的特性[6]。因此，數(shù)學(xué)建模過程中能夠較好地鍛煉學(xué)生的各方面能力，對(duì)于人才培養(yǎng)其中重要作用[7]。

（一）數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)有利于培養(yǎng)學(xué)生的小組合作能力

無論是美國的21世紀(jì)技能，還是PISA測試等國家大型測試項(xiàng)目都對(duì)學(xué)生能夠合作交流提出了較高的要求。無疑可以看出在未來社會(huì)中學(xué)生的合作交流能力是個(gè)體能力構(gòu)成的重要成分。隨著人工智能、信息技術(shù)的不斷發(fā)展，日漸清晰地可以看出未來社會(huì)對(duì)較低水平的重復(fù)操作變得不重要，而高端的創(chuàng)造性能力需求較高。個(gè)體的能力終究有所限制，一定是在一個(gè)合作交流的團(tuán)隊(duì)中才能更好地發(fā)揮出來。在數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生需要根據(jù)不同要求形成研究小組。在小組內(nèi)可以形成記錄員、陳述員等等多種任務(wù)分工，總之在這個(gè)過程中可以極大地鍛煉學(xué)生之間的合作溝通交流能力，小組成員通過對(duì)不同方案的選取，在分工合作成最終的建模報(bào)告。完整的建模過程中融入了多次小組成員的交流，非常有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作能力[8]。

（二）數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力

21世紀(jì)的人才培養(yǎng)已經(jīng)正式從知識(shí)走向了能力，各個(gè)國家、研究機(jī)構(gòu)都已經(jīng)非常清晰確定地認(rèn)為在未來社會(huì)當(dāng)中能力只最為重要的培養(yǎng)目的。從數(shù)學(xué)學(xué)科的人才培養(yǎng)來看，高中數(shù)學(xué)需要講授三角函數(shù)、不等式、概率與統(tǒng)計(jì)、集合等等數(shù)學(xué)知識(shí)，然而在以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)知識(shí)的強(qiáng)調(diào)過多，甚至達(dá)到了一定程度。學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為對(duì)知識(shí)的掌握就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更多的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，而不是單純地記住某些數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)定理，數(shù)學(xué)公式只有在應(yīng)用的過程中才能有價(jià)值，而應(yīng)用的過程就是學(xué)生能力的體現(xiàn)。所以，只記住某些公式，或者能夠進(jìn)行一些非常簡單的操作并沒有達(dá)到數(shù)學(xué)教育的目的。要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力才是關(guān)鍵。數(shù)學(xué)建模過程中學(xué)生將經(jīng)歷一系列數(shù)學(xué)操作過程，從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題開始，到后期找到合適的模型，進(jìn)而形成研究報(bào)告，整體的過程中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模過程將學(xué)生從外部的真實(shí)世界問題引入到數(shù)學(xué)世界中，再通過自己所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)公式去解決問題，然后通過數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)。所以，可以看出在數(shù)學(xué)建模過程中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力將會(huì)得到很大的提高和培養(yǎng)。

三、數(shù)學(xué)建模過程分析

數(shù)學(xué)建模的過程相對(duì)復(fù)雜，一個(gè)完整的建模過程需要經(jīng)歷較多步驟。但是在最新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)數(shù)學(xué)建模的過程進(jìn)行了精簡提煉，給出了最為關(guān)鍵的主要步驟，共有四個(gè)部分。這個(gè)四個(gè)部分也成為建模過程的主體[9]。

（一）發(fā)現(xiàn)和提出問題

發(fā)現(xiàn)和提出問題是建模過程的初始階段，雖然有時(shí)我們會(huì)看到一個(gè)非常清楚的問題，好像并不需要問題的提出和發(fā)現(xiàn)。但是這個(gè)過程是將問題或者現(xiàn)實(shí)背景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，需要學(xué)生具有較好的抽象能力。即使有時(shí)我們看到了一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的問題，這個(gè)問題仍然需要進(jìn)一步抽象成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)問題，才能使建模得以進(jìn)行。另外，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題在我們的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中較少培養(yǎng)，更多關(guān)注需要如何解決問題。所以在這個(gè)過程中非常有利于培養(yǎng)學(xué)生的問題提出能力[3]。

（二）建立和求解模型

這是進(jìn)行建模的第二階段，在這個(gè)過程中學(xué)生已經(jīng)將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，需要利用自己所學(xué)習(xí)的各種數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行問題求解，也就是要建立模型。以新課標(biāo)中給出的案例進(jìn)行分析，學(xué)生需要找到測量高度的方法，事實(shí)上學(xué)生在經(jīng)過了初中階段的學(xué)習(xí)后能夠解決一些見得問題，在高中階段重要的是如何應(yīng)用。并且在較多的解決方案中能尋找出適合自己的方案。最適合的方案就是學(xué)生小組能夠利用已有知識(shí)進(jìn)行求解，并使之更加簡潔。

（三）檢驗(yàn)和完善模型

這個(gè)過程是對(duì)前面求解結(jié)果的驗(yàn)證，求解模型的過程往往會(huì)十分復(fù)雜一個(gè)小組可能會(huì)形成多個(gè)模型，在對(duì)結(jié)果的比較中進(jìn)行選擇。所以求解的結(jié)果和模型本身都需要檢驗(yàn)和完善。如果發(fā)現(xiàn)結(jié)果不好，或者模型有問題，就需要重新尋找模型，并求解新的結(jié)果。通常情況下學(xué)習(xí)小組可以通過結(jié)果是否符合實(shí)際來進(jìn)行驗(yàn)證。例如，在求解建筑物的高度過程中可以通過一些資料進(jìn)行檢索，如需要學(xué)生計(jì)算珠海市國際會(huì)展中心大樓的高度，可以通過該會(huì)展中心的主頁查找相關(guān)資料獲得基本數(shù)據(jù)。利用結(jié)算的結(jié)果與之相比較，就可以判斷所得結(jié)果是否合理。如果發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與事實(shí)不符合，則需要重新調(diào)整模型。

（四）分析和解決問題

這個(gè)過程主要是將前期結(jié)果應(yīng)用的過程，或者說將數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)結(jié)果的過程。在很多時(shí)候一個(gè)問題會(huì)較為復(fù)雜，建模過程中所得到的結(jié)果要轉(zhuǎn)化成現(xiàn)實(shí)的結(jié)果。例如在求解高度中往往數(shù)學(xué)結(jié)果比較好和實(shí)際問題相一致，但是在階梯電價(jià)、階梯水費(fèi)、出租車計(jì)價(jià)、手機(jī)通信費(fèi)等問題中，現(xiàn)實(shí)背景要更加復(fù)雜，需要對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)一步分析，形成現(xiàn)實(shí)問題的答案。這就需要能夠?qū)⑺@得的數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際結(jié)果，完成對(duì)問題的解決。

四、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)建議

（一）創(chuàng)設(shè)課堂教學(xué)情境

在實(shí)際教學(xué)中要重視課堂教學(xué)中情境的選擇問題。通常上課時(shí)教師往往會(huì)通過情境引入教學(xué)，情境的選擇尤為重要，要符合實(shí)際，也要能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。特別在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，情境一定要符合實(shí)際背景。例如，有學(xué)者給出了下面有關(guān)背包客的一個(gè)情境，就能夠激發(fā)學(xué)生的興趣?！澳潮嘲陀?jì)劃從徐州出發(fā)乘火車（含高鐵，火車票價(jià)以中國鐵路12306網(wǎng)站公布為準(zhǔn)）到常州、青島、北京、洛陽、黃山、武漢、西安、九江等八個(gè)城市旅游，最后回到徐州。1.請為背包客設(shè)計(jì)游覽全部八個(gè)城市且火車票費(fèi)用最省的行程表。2.假設(shè)該背包客只預(yù)算了2 000元的火車票費(fèi)用，請為背包客設(shè)計(jì)行程表使得旅游城市盡可能多。”在這個(gè)情境中學(xué)生比較熟悉火車的乘坐，也能夠了解12306網(wǎng)站的使用，并且這是一個(gè)在現(xiàn)實(shí)中能夠遇到的真實(shí)問題，學(xué)生在解決中會(huì)比較真實(shí)[10-11]。從新課改以來，教學(xué)環(huán)節(jié)就在不斷地面臨改革。教學(xué)情境一直都是教學(xué)改革的重點(diǎn)關(guān)注內(nèi)容，鼓勵(lì)教師設(shè)計(jì)較為現(xiàn)實(shí)、豐富的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)世界。教師除了在課堂內(nèi)容引入、課后習(xí)題設(shè)置等方面進(jìn)行情境設(shè)計(jì)外，也可能大膽嘗試新方式、新方法、例如項(xiàng)目學(xué)習(xí)方式，通過將所學(xué)知識(shí)整合，形成貫穿性知識(shí)體系，并構(gòu)建一個(gè)大情境，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)問題引導(dǎo)下的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)，既能夠?qū)崿F(xiàn)教學(xué)情境的真實(shí)化、問題化，也能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，起到培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的目的。

（二）形成小組合作學(xué)習(xí)意識(shí)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的時(shí)候，應(yīng)立足于學(xué)生的實(shí)際情況，充分借助小組合作的形式，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，使得學(xué)生在小組合作的過程中，通過相互合作、互動(dòng)和交流等，共同完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。所以，一定要激發(fā)學(xué)生小組合作的意識(shí)，形成合作共識(shí)。在未來社會(huì)中合作顯然已經(jīng)成為非常重要的個(gè)人能力，在基礎(chǔ)教育階段一定要有意識(shí)地、有設(shè)計(jì)地去培養(yǎng)學(xué)生合作的能力。數(shù)學(xué)建模過程中往往通過小組形式來完成，這就為培養(yǎng)學(xué)生的合作能力提供了較好的平臺(tái)。但是有些時(shí)候?qū)W生只關(guān)注到問題解決的本身，也就是是否能夠完成建模活動(dòng)，能夠獲得最后的結(jié)果，忽視了在建模過程中其他能力的培養(yǎng)。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生形成團(tuán)隊(duì)意識(shí)，能夠快速進(jìn)行小組合作，讓學(xué)生知道在合作中學(xué)習(xí)的重要性。這樣才能使學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)良好的數(shù)學(xué)建模過程[12-14]。

（三）拓展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中含有十個(gè)核心詞匯，其中包含應(yīng)用意識(shí)。主要體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中著重培養(yǎng)的學(xué)生能力。應(yīng)用意識(shí)作為數(shù)學(xué)培養(yǎng)的重要內(nèi)容，一直都是數(shù)學(xué)教學(xué)中密切關(guān)注的要點(diǎn)。在小學(xué)階段學(xué)生開始接觸應(yīng)用題，逐步懂得在現(xiàn)實(shí)背景下存在數(shù)學(xué)內(nèi)容，將以往抽象的數(shù)學(xué)數(shù)字、符號(hào)等與實(shí)現(xiàn)世界相聯(lián)系，在初中階段學(xué)生的抽象能力得到顯著增強(qiáng)，學(xué)生能夠在較為基礎(chǔ)的現(xiàn)實(shí)背景下抽象出數(shù)學(xué)元素、關(guān)系等，這些都為高中階段的建模能力培養(yǎng)做好了準(zhǔn)備。建模能力的培養(yǎng)離不開學(xué)生的抽象能力，學(xué)生必須能夠?qū)F(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后在數(shù)學(xué)環(huán)境下解決問題。但是在這個(gè)過程中學(xué)生如何能夠?qū)⒊橄蟮慕Y(jié)果進(jìn)行解決就需要養(yǎng)成良好的應(yīng)用意識(shí)。學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)，乃至日常生活中都要有較好的應(yīng)用意識(shí)，能夠熟練地了解數(shù)學(xué)知識(shí)所應(yīng)用的范疇。同時(shí)，學(xué)生需要將知識(shí)與現(xiàn)實(shí)背景做好銜接，培養(yǎng)出一種數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用習(xí)慣，而不是單純地僅僅在數(shù)學(xué)情境下解決問題，一旦面對(duì)新環(huán)境、新情境就難以應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)對(duì)于提高數(shù)學(xué)建模能力至關(guān)重要，很多時(shí)候?qū)W生的應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)可以從日常點(diǎn)滴開始，教師要有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些應(yīng)用類問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)作為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，在高中階段要特別給予關(guān)注，要充分利用好教材中綜合實(shí)踐的環(huán)節(jié)，以及生活中的實(shí)際問題，讓學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。