韓秀平

(上海市松江第一中學(xué),201600)

“表征”在我國《辭?！分械尼屃x為“揭示;闡明”.在學(xué)科教育中,“表征”不能簡單地理解為揭示、復(fù)述客觀信息,還應(yīng)當(dāng)包括對客觀信息進(jìn)行加工的再呈現(xiàn).那么,數(shù)學(xué)問題的表征能力也就可以理解為在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,個體以其經(jīng)驗、知識儲備等自身要素為基礎(chǔ),在接收數(shù)學(xué)問題中的客觀信息后進(jìn)行加工并將之呈現(xiàn)于頭腦中的能力.數(shù)學(xué)問題表征是解決數(shù)學(xué)問題的前提條件,個體對問題表征的準(zhǔn)確、多元、發(fā)散的程度對解決問題有至關(guān)重要的影響.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出,要注重培養(yǎng)學(xué)生包括數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).核心素養(yǎng)的培養(yǎng)覆蓋了解決數(shù)學(xué)問題的全部環(huán)節(jié),故對學(xué)生個體的數(shù)學(xué)表征能力亦提出較高的要求.

對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行準(zhǔn)確、適當(dāng)?shù)乇碚骺梢杂行七M(jìn)解題,而錯誤、不當(dāng)?shù)乇碚鲃t會阻礙解題思路.這種“錯誤、不當(dāng)”主要體現(xiàn)在概念不清、遺漏隱含條件等,從而導(dǎo)致解題的失敗.針對上述主要表征失誤,結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的新要求,可采取以下教學(xué)策略.

一、準(zhǔn)確引導(dǎo),充分認(rèn)識問題

閱讀理解題干是解題的起點(diǎn),也是為準(zhǔn)確地表征問題而收集客觀信息即“原料信息”的重要一步.在課堂教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生充分全面地去認(rèn)識問題,包括收集問題的全部要素、挖掘隱藏條件、探索問題本質(zhì)等,防止因?qū)W生審題不清、遺漏重要信息而解題失敗.

思路1因為數(shù)列{an}是嚴(yán)格增數(shù)列,所以函數(shù)f(x)只需要滿足每一段上是嚴(yán)格增數(shù)列,且保證連接處也是嚴(yán)格增數(shù)列即可,故得

思路2因為數(shù)列{an}是嚴(yán)格增數(shù)列,所以只需要滿足每一段上是嚴(yán)格增數(shù)列.因為數(shù)列中的n的取值為n≥1,n∈N,所有第一段時只需要第五項比第四項大即可,而連接處只要第六項大于第五項即可,故得

思路1的主要問題是沒有注意到條件n≥1,n∈N,遺漏這一條件會導(dǎo)致不同的解題思路,從而產(chǎn)生錯誤.面對較為復(fù)雜、繁瑣的問題,學(xué)生往往并不是一開始就能準(zhǔn)確進(jìn)行問題表征,所以在平時教學(xué)中,應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生在解題活動中的自我監(jiān)控意識和元認(rèn)知能力.要鼓勵學(xué)生在解題遇到阻礙時,隨時回到問題中去進(jìn)行審查,并作出相應(yīng)的修正和調(diào)整,直至找到準(zhǔn)確且適當(dāng)?shù)谋碚餍问?

二、強(qiáng)化訓(xùn)練,準(zhǔn)確加工轉(zhuǎn)化

在全面認(rèn)識理解問題信息后,需要搜尋自身與之相關(guān)聯(lián)的經(jīng)驗、知識點(diǎn)(即“配料信息”),將相關(guān)聯(lián)的“原料信息”與“配料信息”建立起連接,共同完成匹配環(huán)節(jié).只不過有時兩者的關(guān)系明顯,有時需要深入觀察思考才能發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系.要有意識地引導(dǎo)學(xué)生在表征問題的過程中進(jìn)行轉(zhuǎn)化,完成加工環(huán)節(jié).比如幾何表征與代數(shù)表征相互轉(zhuǎn)化或者語言表征與情境表征相互轉(zhuǎn)化的情況,實(shí)現(xiàn)化繁為簡，找到解題的突破口.

例2已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-4y+3=0,則x2+y2的取值范圍是______.

代數(shù)表征:因為x2+y2-4y+3=0得x2=-(y2-4y+3)且x2≥0得1≤y≤3，所以x2+y2=-(y2-4y+3)+y2=4y-3,1≤y≤3,則1≤x2+y2≤9.

幾何表征:x2+y2表示圓C:x2+(y-2)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O(0,0)距離的平方,所以|OP|max=|OC|+r=3,|OP|min=|OC|-r=1,則1≤x2+y2≤9.

面對關(guān)聯(lián)度不明顯或者聯(lián)系隱含較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題,要針對此類題型加強(qiáng)訓(xùn)練,讓學(xué)生熟練運(yùn)用各種表征形式，抓住此類問題的本質(zhì),積累經(jīng)驗,靈活轉(zhuǎn)化.

三、創(chuàng)設(shè)情境,培養(yǎng)多元意識

1.多種表征形式之間的相互轉(zhuǎn)化

不同的表征形式是為了對概念或者問題進(jìn)行不同的解釋,即從不同角度、不同視覺闡述其本質(zhì).為此,常常需要在某一數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中引入多種表征方式.

本題求解的關(guān)鍵是建立不等式,結(jié)合解決最值問題常見的形式,引導(dǎo)學(xué)生可通過代數(shù)計算、方程、換元、三角函數(shù)等方式來表征問題,形成靈活多樣的表征方式,最終實(shí)現(xiàn)方法的優(yōu)化選擇.

2.以問題鏈為載體,加強(qiáng)表征能力培養(yǎng)

問題鏈的方法是以問題為導(dǎo)向,在提出問題、分析問題、解決問題的循環(huán)邏輯中加深對數(shù)學(xué)概念的理解,找到數(shù)學(xué)題目的解答方法.問題鏈以問題為核心,以設(shè)計多層次、多角度的問題為表現(xiàn)形式,由淺入深、由表及里,循序漸進(jìn)地推進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)程,即問題表征的進(jìn)程,以此加深理解數(shù)學(xué)概念,達(dá)到最終的教學(xué)目的.

例4已知函數(shù)f(x)=x|2x-a|-1有三個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

題目的題干是比較簡單的,但學(xué)生拿到這個題目后往往無從下手,對學(xué)生的思維能力要求是比較高.可以利用問題鏈的形式,將此題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生逐步理解這個問題所涉及的考點(diǎn)．

問題1若方程x(a-2x)=1有兩個不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

問題2若方程x(a-2x)=1有兩個不等正實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

笛卡爾說過:“我所解決的每一個問題,都將成為范例,這些范例有助于其他問題的解決”,這正是數(shù)學(xué)表征問題所具備的意義之一.首先,準(zhǔn)確適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題表征是成功解題的第一步,有利于學(xué)生能夠從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)概念；其次,問題表征可以提升學(xué)生的思維品質(zhì),推動其對問題條件進(jìn)行深入加工,并培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)；最后,運(yùn)用問題表征成功解題后的反思、整理和歸納,學(xué)生個體能夠有效掌握表征規(guī)律,并內(nèi)化為自身的解題經(jīng)驗和知識結(jié)構(gòu),進(jìn)而構(gòu)建自己的知識體系.因此，在平時的教學(xué)中,教師要給學(xué)生創(chuàng)造表征問題的機(jī)會和平臺,幫助學(xué)生豐富數(shù)學(xué)知識儲備庫和活動經(jīng)驗,從整體上識別問題,提升思維能力、優(yōu)化思維方式,切實(shí)提升解決問題能力,進(jìn)而提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).