沈心媛 高雪芬

(1.紹興文理學(xué)院數(shù)理信息學(xué)院，312000) (2.浙江理工大學(xué)理學(xué)院，310018)

一、人教版與IBDP版數(shù)學(xué)教材的比較

本文選取人教版高中數(shù)學(xué)教材與牛津大學(xué)于2020年出版的IBDP國(guó)際預(yù)科證書課程International Baccalaurente Diploma Programme的編寫)版數(shù)學(xué)教材(以下簡(jiǎn)稱IB教材)為研究對(duì)象,重點(diǎn)剖析“向量”部分,從引入方式、內(nèi)容結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式以及例習(xí)題難度等方面進(jìn)行比較,以期對(duì)教材修訂提供參考.

1. 引入方式的比較

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的內(nèi)容之一.人教版教材在每章開頭沒有給出該章學(xué)習(xí)目標(biāo)和相應(yīng)知識(shí)點(diǎn).在向量的概念引入方面,人教版教材結(jié)合物理知識(shí)引入,如位移、力、浮力等,如圖1所示,將這種既有大小、又有方向的量定義為向量,還采用批注的形式加以解釋,賦予向量具體的生活背景,同時(shí)圖形的結(jié)合便于學(xué)生直觀理解和掌握.

IB教材每章節(jié)開頭都給出本章需要學(xué)習(xí)掌握的概念、知識(shí)點(diǎn),讓學(xué)生第一眼就知道該章內(nèi)容學(xué)習(xí)的方向[1].例如,在第九章“三維空間建模矢量”中,在開頭給出需要掌握的概念:空間和立體,以及相應(yīng)需要掌握的知識(shí)點(diǎn):用有向線段表示向量、位置向量、方向向量等.在向量的概念引入方面，則是通過純文字化的四個(gè)問題引入線段,利用線段的兩個(gè)端點(diǎn)位置引入有向線段的概念,并結(jié)合示例和思考題,將所有等價(jià)的有向線段的集合稱之為向量,概念引入不夠通俗易懂,不利于學(xué)生直觀理解.

2. 內(nèi)容結(jié)構(gòu)的比較

(1)內(nèi)容選取大致相同

數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容選取及編排順序?qū)W(xué)生理解和應(yīng)用知識(shí)體系意義頗深[2].在內(nèi)容選取方面,兩套教材學(xué)習(xí)順序都是按照向量的基本定義、向量的加減法、數(shù)量積和向量積、向量的應(yīng)用的順序進(jìn)行的,都包括相等、共線向量,向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算,向量的模、夾角等內(nèi)容(如表1，表2).但在“空間向量”方面,人教版選修2-1還需要掌握常見平面等距變換及其矩陣表示,理解空間的等距變換:平面反射、平移和旋轉(zhuǎn),內(nèi)容劃分更具體,結(jié)構(gòu)更具有系統(tǒng)化,對(duì)學(xué)生的幾何代數(shù)學(xué)習(xí)提出更高層次的學(xué)習(xí).

表1 人教版教材空間向量?jī)?nèi)容目錄

表2 IB教材空間向量?jī)?nèi)容目錄

(2)內(nèi)容編排順序不同

在內(nèi)容編排順序方面,人教版和IB教材都是按照循序漸進(jìn)的原則,先給出“平面向量”的內(nèi)容,再引入三維空間結(jié)構(gòu).如圖2所示,通過類比將“平面向量”的概念、運(yùn)算及處理問題的方法遷移到“空間向量與立體幾何”,先產(chǎn)生直觀上的理解,再推廣到n維.學(xué)生將體會(huì)到向量方法在幾何中的運(yùn)用,可以用向量語言來表述線線、線面、面面的平行、垂直關(guān)系,能夠用向量方法證明有關(guān)線面關(guān)系的一些定理和解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題,進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力[3].

但是,從表1，表2來看,人教版教材“向量”部分為兩個(gè)學(xué)期學(xué)習(xí).第一個(gè)學(xué)期,先學(xué)習(xí)必修4“平面向量”的內(nèi)容,通過二維坐標(biāo)系中“點(diǎn)的移動(dòng)”定義向量,學(xué)習(xí)平面向量的基本定理、基本運(yùn)算；再在第二個(gè)學(xué)期學(xué)習(xí)選修2-1中“空間向量”的內(nèi)容,知識(shí)點(diǎn)大致相同,但是空間維數(shù)增加,著重學(xué)習(xí)向量法在空間幾何中的應(yīng)用(圖2).而IB教材則是先引出一個(gè)知識(shí)點(diǎn),然后同時(shí)介紹“平面向量”和“空間向量”的應(yīng)用,“空間向量”并未單獨(dú)成章.例如,在學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積公式時(shí),同時(shí)給出二維數(shù)量積公式a·b=a1b1+a2b2和三維數(shù)量積公式a·b=a1b1+a2b2+a3b3,然后逐一安排例題應(yīng)用以上公式.

3.呈現(xiàn)方式的比較

在知識(shí)呈現(xiàn)方面,兩套教材都有各自相對(duì)固定的知識(shí)呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)和順序,且都比較重視靈活性和多樣性.人教版教材是按照知識(shí)建構(gòu)、例題分析、練習(xí)的形式的順序依次出現(xiàn),中間偶爾穿插探究性活動(dòng),并且有專門的版面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納總結(jié).IB教材按照知識(shí)建構(gòu)、問題引入、例題分析、知識(shí)生成、課后練習(xí)的形式出現(xiàn),整節(jié)課圍繞問題探究進(jìn)行.

提示(Hint)和問題鏈接作為IB教材的特有內(nèi)容出現(xiàn)在欄目設(shè)置上.如圖3所示，例如在9.1“向量的幾何表示”中,提示解釋“≌”是等價(jià)的含義,并羅列該符號(hào)的三種性質(zhì),在9.3“數(shù)量積及其性質(zhì)”中,問題鏈接提出兩個(gè)與知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的問題:為什么這樣定義數(shù)量積的公式?同一個(gè)定理的不同證明方式是否同樣有效?有的問題鏈接則含有問題的背景、數(shù)學(xué)家的名言、數(shù)學(xué)發(fā)展中的著名問題等等.這樣把各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)聯(lián)系起來,使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的同時(shí)學(xué)習(xí)知識(shí)的本質(zhì),加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,起到提升的作用,具有良好的親和力、啟發(fā)性.

在每章的小結(jié)部分,人教版教材主要是采用概念圖、圖表或文字?jǐn)⑹龅男问?一般為兩頁篇幅.以人教版數(shù)學(xué)教材選修2-1第三章“空間向量與立體幾何”部分為例,其小結(jié)部分歸納為本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框架、回顧與思考及知識(shí)鏈接邏輯框圖等三部分.其中本章“知識(shí)結(jié)構(gòu)框架”以邏輯思維圖的形式對(duì)本章內(nèi)容進(jìn)行總結(jié),有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理以及從整體上把握本章的知識(shí)內(nèi)容;“回顧與思考”對(duì)本章重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧并提出相關(guān)思考問題,加深學(xué)生對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的認(rèn)識(shí)以及對(duì)本章知識(shí)的掌握;“知識(shí)鏈接邏輯框圖”將本章的知識(shí)內(nèi)容與其他知識(shí)聯(lián)系起來,幫助學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),加強(qiáng)各學(xué)科間的聯(lián)系.而IB教材沒有小結(jié)的呈現(xiàn).

4.例題、習(xí)題的比較

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)由淺入深、循序漸進(jìn)的過程,各個(gè)階段不同難度、類型的題目設(shè)置可以幫助學(xué)生掌握和內(nèi)化知識(shí).如圖4所示,分別對(duì)人教版教材和IB教材向量部分的例習(xí)題數(shù)量進(jìn)行總結(jié)和歸納:

從圖4可以看出,人教版教材中向量部分例習(xí)題總數(shù)遠(yuǎn)高于IB教材.人教版教材的問題類型豐富,數(shù)量較多,更注重學(xué)生在習(xí)題的練習(xí)中理解和掌握知識(shí).而IB教材設(shè)置的例題較多,練習(xí)題較少,在訓(xùn)練學(xué)生知識(shí)技能獲得方面效果偏弱.

表3 人教版教材和IB教材向量部分例題難度比較

根據(jù)表4，兩套教材的數(shù)學(xué)題綜合難度五邊形,如圖5.

由圖5可知,兩版本教材向量部分的例題在五個(gè)難度因素上各有差異,具體分析過程略.

二、教學(xué)建議

1. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系

弗萊登塔爾指出:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要關(guān)注數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)化[5].總體上看,兩版本教材的選材與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系較少,數(shù)學(xué)題的背景因素和應(yīng)用性常常被忽略,例、習(xí)題基本上都是純數(shù)學(xué)問題,較少有生活情境.其次,IB教材注重知識(shí)的鏈接與拓展,使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的同時(shí)學(xué)習(xí)知識(shí)的本質(zhì),加強(qiáng)知識(shí)的靈活性.人教版教材應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“有用的數(shù)學(xué)”,同時(shí)注重知識(shí)的延伸,學(xué)生解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題,體會(huì)數(shù)學(xué)與其他知識(shí)的交叉與聯(lián)系,才能逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

2.強(qiáng)化知識(shí)體系的完整性

人教版教材“平面向量”和“空間向量”分為兩個(gè)學(xué)期學(xué)習(xí).而IB教材同時(shí)介紹這兩塊內(nèi)容.這兩塊內(nèi)容用到的知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)是相同的,僅僅是空間維度的不同.IB教材這種編排方式即保證知識(shí)體系的完整性,更在一定程度上避免間斷性學(xué)習(xí)導(dǎo)致的知識(shí)的遺忘,加深學(xué)生的印象.這種編排方式可以給人教版教材提供參考.

3.合理設(shè)置例、習(xí)題的難度

例、習(xí)題可以幫助學(xué)生掌握和內(nèi)化知識(shí),搭建知識(shí)間的橋梁,使學(xué)生通過主動(dòng)探索達(dá)到新舊知識(shí)的順利過渡.如果難度過小,學(xué)生容易產(chǎn)生輕視的心理,無法起到鞏固知識(shí)的作用,如果難度過大,學(xué)生容易產(chǎn)生畏懼心理,不利于進(jìn)一步的學(xué)習(xí).通過研究發(fā)現(xiàn),人教版教材部分習(xí)題難度大,綜合性強(qiáng),而IB教材以基礎(chǔ)題為主、中檔題為輔,降低了每一題的綜合性,有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握.因此,人教版教材在例習(xí)題的設(shè)置上既要考慮能否起到知識(shí)鞏固的效果,又要考慮學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).

4.加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與信息技術(shù)相結(jié)合

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到“恰當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù),提高教學(xué)質(zhì)量”.隨著互聯(lián)網(wǎng)、計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算、計(jì)算機(jī)繪制幾何圖形的快速發(fā)展,學(xué)生的學(xué)習(xí)方式呈現(xiàn)多樣化趨勢(shì).可以借助信息技術(shù)工具學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容,如三維空間向量在頭腦中較難直接建構(gòu),借助信息技術(shù)后學(xué)生可以進(jìn)行直接觀察,拉近課堂與學(xué)生之間的距離,同時(shí)還可以激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣,提高分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力,從而探索、研究一些有意義、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題.在這方面,人教版教材和IB教材都可以借鑒.