苑建廣

(河北省晉州市教育局教研室,052260)

一、“連桿變換”模型

當(dāng)θ=0°時(shí),連桿變換退化為位似變換.

“連桿變換”模型有時(shí)被稱作“瓜豆原理”,取“種瓜得瓜,種豆得豆”之意,它常常以隱蔽的方式藏在題目背景中,作為壓軸題的常用命題素材.

二、“連桿變換”模型的應(yīng)用

例3(2022年寶雞模擬題)如圖4,四邊形ABCD中(B,D在AC的異側(cè)),AB=BC=3,AC=AD,∠ACD=60°,則對(duì)角線BD的長(zhǎng)不可能是( )

(A)5.3 (B)5.5 (C)6 (D)6.5

顯然,BD的最小值大于AB=3,而BD取最大值時(shí),BD經(jīng)過圓心B′.又?BAB′是正三角形,可知?BAD是直角三角形,所以BD=2AB=6,即3

(A)一直變小,且最大值為5

(B)一直變小,且最小值為0

(C)先變大再變小,且最小值為0

(D)先變大再變小,且最大值為5

分析從構(gòu)造“c+3b”出發(fā),考慮延長(zhǎng)BA至點(diǎn)A″,使AA″=3b,則BA″=c+3b.

顯然,?A″AC的形狀固定:∠A″AC=120°,AC=b,AA″=3b.

易知?B″BC∽?A″AC,則∠B″BC=∠A″AC=120°,所以點(diǎn)B在圓M″上.

顯然有,當(dāng)BA″為直徑時(shí),c+3b最大.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確指出:“模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的清晰的認(rèn)識(shí),知道數(shù)學(xué)模型……，感悟數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的普遍性.”本文正是基于這一考慮,對(duì)“連桿變換”模型的特征及應(yīng)用上的技巧做了一些梳理.上述幾個(gè)問題的突破,是在探索的過程中發(fā)現(xiàn)其中隱藏了“連桿變換”模型,從而順利打開思路.