例析求解分段函數(shù)問(wèn)題的方法與技巧

龔自輝

(湖北省黃岡市蘄春縣劉河鎮(zhèn)劉河中學(xué),435325)

分段函數(shù)在各地中考試題中時(shí)有出現(xiàn),主要考查學(xué)生的閱讀理解能力,以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.分段函數(shù)常以函數(shù)應(yīng)用為背景,其常見(jiàn)中考題型有解析型、圖象型、列表型以及綜合型等.下面我們舉例說(shuō)明,與大家共享.

一、解析型

解析型的分段函數(shù),在解題時(shí)要注意自變量的取值范圍,以自變量不同范圍內(nèi)的解析式,作為解題的數(shù)量條件來(lái)解決問(wèn)題.

例1在建設(shè)兩型社會(huì)的過(guò)程中,為推進(jìn)節(jié)能減排,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),我市某公司以25萬(wàn)元購(gòu)得某項(xiàng)節(jié)能產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后,再投入100萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)生產(chǎn)設(shè)備,進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工.已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每件20元.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)定在25元到35元之間較為合理,并且該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量y(萬(wàn)件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為:

(年獲利=年銷(xiāo)售收入-產(chǎn)品成本-投資成本)

(1)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為28元時(shí),該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量為多少萬(wàn)件?

(2)求該公司第一年的年獲利w(萬(wàn)元)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并說(shuō)明投資的第一年,該公司是盈利還是虧損?若盈利,最大利潤(rùn)是多少?若虧損,最小虧損是多少?

(3)第二年,該公司決定給希望工程捐款Z萬(wàn)元,該項(xiàng)捐款由兩部分組成:一部分為10萬(wàn)元的固定捐款;另一部分則為每銷(xiāo)售一件產(chǎn)品,就抽出一元錢(qián)作為捐款.若除去第一年的最大獲利(或最小虧損)以及第二年的捐款后,到第二年年底,兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元,請(qǐng)你確定此時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)的范圍.

解(1)當(dāng)25≤x≤30時(shí)，y=40-x,

∴yx=28=(40-x)x=28=12(萬(wàn)件).

(2)當(dāng)25≤x≤30時(shí)，

w=(40-x)(x-20)-25-100

=-x2+60x-925

=-(x-30)2-25.

當(dāng)x=30時(shí)，w最大為-25，即公司最少虧損25萬(wàn)元；

當(dāng)30

w=(25-0.5x)(x-20)-25-100

故當(dāng)x=35時(shí)，w最大為-12.5,即公司最少虧損12.5萬(wàn)元.

綜上，投資的第一年，公司虧損，最少虧損12.5萬(wàn)元.

(3)當(dāng)25≤x≤30時(shí)，

w=(40-x)(x-20-1)-12.5-10

=-x2+61x-862.5≥67.5.

化簡(jiǎn)，得x2-61x+930≤0,

解得30≤x≤31.

當(dāng)兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元時(shí),x=30;

當(dāng)30

w=(25-0.5x)(x-20-1)-12.5-10

化簡(jiǎn)，得x2-71x+1230≤0,

解得30≤x≤41.

故當(dāng)兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元時(shí),30

綜上,到第二年年底,兩年的總盈利不低于67.5萬(wàn)元,此時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)的范圍是30≤x≤35.

評(píng)析本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式.此題涉及的數(shù)據(jù)較多,認(rèn)真審清題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

二、圖象型

圖象型的分段函數(shù)是在自變量的取值范圍內(nèi),根據(jù)圖象的形狀選取正確的函數(shù)模型,再根據(jù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出解析式.

例2(2022年湖北黃岡中考題)為增強(qiáng)民眾生活幸福感,市政府大力推進(jìn)老舊小區(qū)改造工程.和諧小區(qū)新建一小型活動(dòng)廣場(chǎng),計(jì)劃在360 m2的綠化帶上種植甲、乙兩種花卉.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):甲種花卉種植費(fèi)用y(元/m2)與種植面積x(m2)之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示,乙種花卉種植費(fèi)用為15元/m2.

(1)當(dāng)x≤100時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍;

(2)當(dāng)甲種花卉種植面積不少于30m2,且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍時(shí).

① 如何分配甲乙兩種花卉的種植面積才能使種植的總費(fèi)用w(元)最少?最少是多少元?

② 受投入資金的限制,種植總費(fèi)用不超過(guò)6000元,請(qǐng)直接寫(xiě)出甲種花卉種植面積x的取值范圍.

解(1)當(dāng)0

當(dāng)40≤x≤100時(shí),設(shè)y=kx+b,則有

(2)① 由題意,可得

360-x≥3x,解得x≤90.

又x≥30,∴30≤x≤90.

當(dāng)30≤x<40時(shí),

w=30x+15(360-x)=15x+5400.

∵15>0,∴w隨x的增大而增大.

當(dāng)x=30時(shí)，w最小值=15×30+5400=5850.

當(dāng)40≤x≤90時(shí),

當(dāng)x<50時(shí),w隨x增大而增大,所以當(dāng)x=40時(shí),w最小值=6000;

當(dāng)x>50時(shí),w隨x增大而減小,所以當(dāng)x=90時(shí),w最小值=5625.

∵5625<5850<6000,

∴w的最小值為5625.

故甲種花卉種植面積為90m2,乙種花卉種植面積為270m2,總費(fèi)用最少,最少是5625元.

② 30≤x≤40或60≤x≤90.

評(píng)析建立函數(shù)模型、確定自變量的取值范圍以及掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

三、列表型

解決以函數(shù)應(yīng)用為背景的列表型函數(shù)問(wèn)題,關(guān)鍵是要從列表中判斷若干個(gè)數(shù)據(jù)適合的函數(shù)種類(lèi),既可以用待定系數(shù)法求出不同種類(lèi)的函數(shù)解析式,再將余下的數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證,從而得到滿足條件的函數(shù)解析式;也可以用描點(diǎn)、連線畫(huà)圖象的方法,來(lái)確定函數(shù)的種類(lèi);其實(shí),不同的函數(shù)列表中的數(shù)據(jù),有其不同的函數(shù)特點(diǎn),還可以根據(jù)函數(shù)列表中的數(shù)據(jù)特點(diǎn),選取正確的函數(shù)模型,求出函數(shù)解析式,從而使問(wèn)題得以解決.

例3(2020年貴州安順中考題)2020年體育中考,增設(shè)了考生進(jìn)入考點(diǎn)需進(jìn)行體溫檢測(cè)的要求.防疫部門(mén)為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測(cè)的情況,調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)y(人)與時(shí)間x(分鐘)的變化情況,數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.(表中9～15表示9

表1

7899～15770800810810

(1)根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)與時(shí)間的變化規(guī)律,利用初中所學(xué)函數(shù)知識(shí)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開(kāi)始測(cè)量體溫,體溫檢測(cè)點(diǎn)有2個(gè),每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)20人,考生排隊(duì)測(cè)量體溫,求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人?全部考生都完成體溫檢測(cè)需要多少時(shí)間?

(3)在(2)的條件下,如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測(cè),從一開(kāi)始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)?

解(1)由表1中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì),可知當(dāng)0≤t≤9時(shí)，y是x的二次函數(shù).

當(dāng)x=0時(shí),y=0,則二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為y=ax2+bx.

而當(dāng)x=1時(shí),y=170；

當(dāng)x=3時(shí),y=450,

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為

y=-10x2+180x.

又當(dāng)9

∴y與x的關(guān)系式為

(2)設(shè)第x分鐘時(shí)排隊(duì)人數(shù)是w,則

① 當(dāng)0≤t≤9時(shí)，

w=-10x2+140x=-10(x-7)2+490.

∴wmax=wx=7=490.

② 當(dāng)9

綜上,排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有490人.

要全部考生都完成體溫檢測(cè),則得

810-40x=0,解得x=20.25.

故全部考生都完成體溫檢測(cè)需要20.25分鐘.

故一開(kāi)始就應(yīng)該至少增加2個(gè)檢測(cè)點(diǎn).

評(píng)析根據(jù)函數(shù)列表中存在兩種不同的函數(shù)變化趨勢(shì),可知是分段函數(shù).本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用及性質(zhì),一元函數(shù)的性質(zhì)、一元一次不等式的應(yīng)用,其中確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

四、綜合型

綜合型分段函數(shù)試題,要求學(xué)生了解函數(shù)解析式與函數(shù)列表之間、函數(shù)列表與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系和特點(diǎn),讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

例4(2018年湖北黃岡中考題)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準(zhǔn)扶貧”活動(dòng)中銷(xiāo)售一農(nóng)產(chǎn)品,經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷(xiāo)售量y(萬(wàn)件)與月份x(月)的關(guān)系為

每件產(chǎn)品的利潤(rùn)z(元)與月份x(月)的關(guān)系見(jiàn)表2.

表2

(1)請(qǐng)你根據(jù)表格求出每件產(chǎn)品利潤(rùn)z(元)與月份x(月)的關(guān)系式;

(2)若月利潤(rùn)w(萬(wàn)元)=當(dāng)月銷(xiāo)售量y(萬(wàn)件)×當(dāng)月每件產(chǎn)品的利潤(rùn)z(元),求月利潤(rùn)w(萬(wàn)元)與月份x(月)的關(guān)系式;

(3)當(dāng)x為何值時(shí),月利潤(rùn)w有最大值,最大值為多少?

解(1)當(dāng)1≤x≤10時(shí),設(shè)每件產(chǎn)品利潤(rùn)z(元)與月份x(月)的關(guān)系式為z=kx+b,則有

∴z=-x+20.

當(dāng)11≤x≤12,z=10.

(2)當(dāng)1≤x≤8時(shí)，

w=(x+4)(20-x)

=-x2+16x+80;

當(dāng)9≤x≤10時(shí)，w=(-x+20)2;

當(dāng)11≤x≤12時(shí)，

w=(20-x)×10=-10x+200.

綜上，可得

其中x為整數(shù).

(3)當(dāng)1≤x≤8時(shí)，

w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,

∴wmax=wx=8=144;

當(dāng)9≤x≤10,w=(20-x)2,

∴wmax=wx=9=121；

當(dāng)11≤x≤12時(shí)，w=-10x+200,

∴wmax=wx=11=90.

∵90<121<144,

∴當(dāng)x=8時(shí)，月利潤(rùn)w有最大值，最大值為144萬(wàn)元.

評(píng)析本題主要考查根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)探究各數(shù)據(jù)符合的函數(shù)形式,同時(shí)考查了一、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.分類(lèi)討論和熟練掌握一、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.