轉(zhuǎn)化與化歸思想在初中數(shù)學中的應用

摘 要：數(shù)學的學習過程是運用邏輯思維進行思考的過程，在此過程中，掌握重要的數(shù)學思想，不管是對學習而言還是對自身的邏輯思維培養(yǎng)而言，都有著至關重要的作用。因此，文章以轉(zhuǎn)化與化歸思想為出發(fā)點，探討培養(yǎng)學生不同數(shù)學能力和促進學生思維發(fā)展的策略，以期提高學生的綜合素質(zhì)。

關鍵詞：初中數(shù)學；轉(zhuǎn)化與化歸；應用

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2022）33-0073-03

引? 言

數(shù)學思想是指在現(xiàn)實生活中對各類數(shù)學理論形成的本質(zhì)認知，體現(xiàn)了數(shù)學學科中的總結(jié)性、廣泛性和奠基性特點。研究數(shù)學中體現(xiàn)的思想和方法，有助于提高課堂教學的效率，發(fā)展和改善學生的認知結(jié)構(gòu)。數(shù)學思想和方法包括轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類與討論、函數(shù)與方程。

數(shù)學問題的研究與求解過程，是一種從未知到已知的變化過程，即通過聯(lián)想和類比來分析數(shù)學問題，選擇合適的方式進行演化，最終確定比較合理且容易的解決方法。將轉(zhuǎn)化與化歸思想應用到初中數(shù)學教學活動中，有利于學生掌握數(shù)學知識以及解題技巧。

一、研究轉(zhuǎn)化與化歸思想教學的必要性

（一）從初中數(shù)學教學現(xiàn)狀來看

轉(zhuǎn)化與化歸思想是初中數(shù)學階段的重要數(shù)學思想之一，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化與化歸思想能夠有效提高學生對初中階段各類數(shù)學理念的理解水平，對于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，提高學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)有非常重要的作用[1]。

（二）從初中數(shù)學教材內(nèi)容來看

初中數(shù)學教科書中包含了大量關于轉(zhuǎn)化與化歸思想的內(nèi)容。在學習有理數(shù)的基礎上，可以用加法、減法、除法、乘法以及二元一次方程的代入法來求出加、減、乘、除的結(jié)果；也可運用加減法、一元一次方程或分式方程求出整式方程。在證明平行四邊形對角、對邊相等時，連接對角線可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為兩個全等三角形，得到平行四邊形對角、對邊相等；利用相似比和直角三角形函數(shù)的簡單應用來求解直角三角形，在適當條件下，非直角三角形可轉(zhuǎn)化成直角三角形。

轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學數(shù)學教科書中隨處可見，因此，教師在教學過程中應進行更高層次的教育和理解，甚至要結(jié)合數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的橫向和縱向聯(lián)系，有意識地將轉(zhuǎn)化與化歸思想滲透到教學中，并在教學過程中對其進行編輯和改造。

轉(zhuǎn)化是一種將一個困難的問題變?yōu)榭梢越鉀Q的、具有更明確客觀特征的問題的方法。數(shù)與形的結(jié)合是幾何與代數(shù)的相互變換，但有些問題在變換后無法立即解決，因此，需要重新變換。化歸的概念也可用于簡化計算，一般來說，中學數(shù)學課常用化歸的思想來解決代數(shù)問題，用轉(zhuǎn)化的思想來證明幾何問題。

二、轉(zhuǎn)化與化歸的基本原則

轉(zhuǎn)化分為兩種形式，一種是等價轉(zhuǎn)化，另一種是非等價轉(zhuǎn)化。在此基礎上，轉(zhuǎn)化與化歸應遵循一定的基本原則。

（一）熟悉性原則

在解決中學數(shù)學問題時，我們常常把一些不熟悉的問題變成常見的、熟悉的問題，這樣就可以利用已有的知識和豐富的經(jīng)驗來解決。中學數(shù)學知識中的許多元素都可以通過新舊知識的聯(lián)系來轉(zhuǎn)化和解決問題。例如，解一元二次方程x2-4=0：通過因式分解，得出（x+2）（x-2）=0；然后轉(zhuǎn)化成解熟悉的一元一次方程x+2=0與x-2=0；得出x1=-2，x2=2。

（二）簡捷性原則

在解決中學數(shù)學問題時，我們的目標是將復雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題然后解決。所以，在處理實際問題時，一定要考慮到簡單原則并運用簡化思維來完成解題。

（三）直觀性原則

直觀性原則就是在數(shù)學教學的過程中，能指導學生對學習對象進行直接的感知，并能幫助他們在各種數(shù)學理論知識和實際事物之間建立聯(lián)系。學生在解決具體的數(shù)學問題時，要培養(yǎng)自身的思維能力，將抽象的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為可理解的和可視化的問題。代數(shù)問題是抽象的，而如果把它們轉(zhuǎn)換成直接可見的圖像，它們就更容易解決了[2]。

（四）和諧性原則

和諧性原則就是教師可以指導學生了解不同數(shù)學概念（如分數(shù)和除法）間的內(nèi)在關系。而依據(jù)數(shù)學和諧性原則進行教學，可以有效培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和增強學生對數(shù)學教學內(nèi)容的本質(zhì)性認識。

三、初中數(shù)學中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想存在的問題

（一）習慣于直觀思維

我們發(fā)現(xiàn)在解題過程中，學生往往采用常規(guī)的方式，創(chuàng)造力不足。一方面，“錄取率”的壓力使得教師疲于演示解題過程而忽略思維過程的呈現(xiàn)，從而導致學生無法深刻地認識與了解思維轉(zhuǎn)變的實質(zhì)；另一方面，面對大量的課程和任務，學生沒有時間掌握創(chuàng)新方法，只能接受傳統(tǒng)的解決方案。

（二）知識銜接困難

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種不斷變化的思維方式，它將陌生、難解的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的、有規(guī)律的、淺顯的題目，讓學生在學習過程中解決未知的問題。這不僅需要系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和知識框架，還需要掌握新舊知識之間的聯(lián)系，以便獲得相關信息，及時解決新的問題。若學生掌握的知識不夠系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化和化歸過程就會受阻，學生就無法把所掌握的知識精確地聯(lián)系在一起，找不到解題突破口。

四、掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的基本途徑

（一）熟練掌握基礎知識

掌握數(shù)學基礎知識、基本技能是靈活運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的前提和基礎。因此，教師必須幫助學生打好堅實的數(shù)學基礎，在此基礎上，進而開展聯(lián)想、觀察、比較、類比的實踐探究。教師還應指導學生在理解了公式、理論和規(guī)律后，在解決問題時一定要有意識地進行總結(jié)。

（二）增強轉(zhuǎn)化與化歸的意識

就學生的學習而言，數(shù)學思想和方法的習得不是一個刻意和固定的過程，而是依據(jù)學生的自身經(jīng)驗在各種應用中逐漸產(chǎn)生的，轉(zhuǎn)化與化歸思想就是其中之一。在解決問題的過程中，學生必須根據(jù)學科信息的多樣性、多角度性和動態(tài)性來看待問題，并將其轉(zhuǎn)化為另一種方式。在解決問題后，學生可以總結(jié)經(jīng)驗，整理解決方案中使用的思想，并將它們應用到下一個問題解決方案中。

（三）在日常教學中注意滲透轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學教師必須按照課程的要求，逐步將自己的思想轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生的思想。在教學過程中，教師不應直接將轉(zhuǎn)變后的思想灌輸給學生，而是應把思想融入教學內(nèi)容和行為，讓學生在潛移默化中逐漸形成相應的思想。

五、在數(shù)學解題過程中運用轉(zhuǎn)化和化歸思想的策略

（一）通過經(jīng)典例題滲透轉(zhuǎn)化和化歸思想

轉(zhuǎn)化和化歸可以將一些無法解決的問題通過變革性的思想來解決，教師必須充分引導學生體會轉(zhuǎn)化和化歸的優(yōu)勢。

例如，在“函數(shù)與圖像”的教學中，教師引導學生對交點的作用進行了深入的探究。其中一個問題是“當直線y=x+b與直線y=2x+4的交點在第二象限，則b的取值范圍是什么？”。當學生第一次遇到這個問題時，他們會感到困惑：如何保證兩條直線的交點在第二象限呢？根據(jù)第二象限點的坐標特點，其交點坐標就是聯(lián)立這兩個方程組組成的方程組的解，也就是這個問題的最終結(jié)果。這時一切都迎刃而解，學生會產(chǎn)生頓悟的體驗。

（二）將轉(zhuǎn)化與化歸思想進行分類，促進學生理解數(shù)學問題

首先，轉(zhuǎn)化與化歸思想可以應用于代數(shù)問題。轉(zhuǎn)化與化歸思想旨在把一個復雜的問題變成一個簡單的問題，然后用一個更熟悉的知識點來解決。例如，因式分解就是以小學的知識為出發(fā)點，通過不斷的整合和變形，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的知識點。其次，變換的思想突出了它在幾何問題解答中的優(yōu)勢。例如，在探究圓柱側(cè)面積公式的計算方法時，由于圓柱的側(cè)面是一個曲面，所以必須用化歸思想來解決這些問題。將圓柱體的側(cè)面延一條垂直于底面的線剪開，再剪去圓柱體頂面和底面的兩個圓，然后將圓柱體的側(cè)面完全展開。此時，學生會發(fā)現(xiàn)圓柱體的側(cè)面展開圖實際上是一個矩形。這樣學生就會明白為什么圓柱表面積的計算公式是S=2πr?+2πrh。

（三）加強對轉(zhuǎn)化與化歸思想的認識

要想將化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想熟練地使用到解決問題的過程中，首先要對該思想有深刻的認識，掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體含義；同時也要打牢基礎知識的根基，清楚認知知識體系內(nèi)各個知識點的內(nèi)在聯(lián)系，這樣在遇到復雜問題時才能迅速對基礎知識點做出選擇。熟練掌握基礎知識和理解轉(zhuǎn)化與化歸思想不僅是對學生提出的要求，更是對初中數(shù)學教師提出的要求。教師自身得嚴格要求自己，能夠在解決問題的過程中駕輕就熟地使用轉(zhuǎn)化與化歸思想。同時，學生也要有清晰的認知，將教師所傳授的學習方法內(nèi)化于心。如果在使用過程中出現(xiàn)力不從心的情況，要考慮是否是因為基礎知識掌握不牢靠所導致的。例如，在初中數(shù)學幾何題中，已知正方形ABCD，A（1，1）、B（2，-1），求C、D的坐標，若一次函數(shù)y=kx-2（k≠0）的圖像過C點，求k的值。在這一例題中，相對抽象的幾何問題可以轉(zhuǎn)化為平面視覺圖形，利用坐標軸建立A、B兩點，并根據(jù)A、B兩點之間的距離獲得正方形ABCD的邊長。之后，可利用一次函數(shù)進行解題，將C點坐標帶入y=kx-2（k≠0）中，求出k的值。

（四）將復雜問題簡單化

初中數(shù)學問題大都對知識的集成度較高，容易使學生產(chǎn)生畏難的心理。教師應在日常的課堂上就復雜問題的解決步驟對學生進行詳細的講解，使學生發(fā)現(xiàn)并仔細分析其中包含的基礎知識，一步步化簡，最終得到答案。例如，對于分式方程“+=4”，學生拿到題目便覺得有些復雜，看到分式方程之后更是無從下手。此時，教師可以引導學生使用化歸思想，將分式方程化為整式方程。首先，尋找分式方程的最簡公分母“2x-3”，在等式兩邊同時乘以“2x-3”，將分式方程化為簡單熟悉的整式方程，就可解整式方程得“x=1”，最后提醒學生分式方程需要檢驗。

（五）強化教學設計，開展化歸主題教學

在中學數(shù)學教學中，教師必須不斷加強教學設計，優(yōu)化實施創(chuàng)新的教學方法，積極轉(zhuǎn)變教學觀念。教師在設計教學和研究教材時，必須注意教材中包含的思維方法。在數(shù)學教學過程中，要注意合作探究或訓練方式的改變，將新的數(shù)學知識和舊的數(shù)學知識建立聯(lián)系，使學生進入逆向思維。在數(shù)學課上，創(chuàng)新可以讓學生理解和感受到思維的有效性，教師可以有意為學生創(chuàng)造獨立發(fā)展和學習的空間，展示數(shù)學問題的相似之處，引導學生得出結(jié)論，最終產(chǎn)生相應的模型來反映思想的轉(zhuǎn)變。

如教師可借助信息技術這一多媒體設備使學生對“余角與補角”中角的個數(shù)及其相互關系進行觀察與預測，加深他們對“余角”與“補角”的認識，增強他們獨立學習與獨立思考的能力。

結(jié)? 語

作為一種重要的思維方法，轉(zhuǎn)化和化歸有助于學生透過現(xiàn)象認識事物本質(zhì)，把目光轉(zhuǎn)向具體事物，把復雜的問題簡單化，有利于提高解題效率。在教學過程中，教師要幫助學生克服學習困難，提高學習效率，這對于提升中學數(shù)學教師的實踐能力具有十分重要的意義。

[參考文獻]

何淼，孟兆艷.“轉(zhuǎn)化與化歸思想”在初中數(shù)學的應用[J].考試周刊，2010（15）：70-71.

何朝均.例談數(shù)學思想方法在初中數(shù)學教學中的應用[J].文理導航，2010（05）：35.

作者簡介：黃秀娘（1975.8-），女，福建南平人，任教于福建省南平市第三中學新城分校，一級教師，本科學歷。