新課標下邏輯用語在培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)中的滲透
——以“充分條件與必要條件”在概念與性質(zhì)教學中的滲透為例

廣州市第四中學(510140)張宏杰

廣州市南武中學(510240)蔣強軍

1 引言

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),也是數(shù)學育人價值的集中體現(xiàn).新課標界定的數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.其中邏輯推理素養(yǎng)是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).在《普通高中》[1]中明確了“邏輯推理素養(yǎng)”與“邏輯推理能力”之間的區(qū)別:邏輯推理素養(yǎng)是指表現(xiàn)在人身上的東西,不僅表明這個人具有邏輯推理的能力,而且表明這個人具有較好的思想品質(zhì).邏輯推理素養(yǎng)是比邏輯推理能力更高的要求.衡量一個學生邏輯推理的能力,需要設(shè)置特定的問題,觀察學生在處理問題的過程中的表現(xiàn),從而得出該學生邏輯推理能力的強弱.而要衡量一個學生的邏輯推理素養(yǎng),則需要觀察學生在日常學習生活中的言語和行為是否具備一定的邏輯推理能力以及良好的思維品質(zhì).這意味著教師需要從學生剛開始學習高中數(shù)學知識就開始就著手培養(yǎng)及提高學生邏輯推理素養(yǎng).在高中數(shù)學學習中,“充分條件與必要條件”是直接考察學生邏輯推理能力的內(nèi)容,因此,教師對“充分條件與必要條件”內(nèi)容的處理是培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)的重要教學環(huán)節(jié).

2 新舊教材對“充分條件與必要條件”處理的對比

舊人教A 版教材將“充分條件與必要條件”作為常用邏輯用語的主要內(nèi)容安排在必修四的第一章當中,圍繞“若p則q”命題討論充分條件、必要條件和充要條件.之后第二章則是圓錐曲線與方程的學習,第三章是空間向量與立體幾何的學習.從教材的整體性來看,“充分條件與必要條件”作為一個獨立的知識板塊出現(xiàn)在必修四當中,與后續(xù)學習的知識缺乏一定的聯(lián)系.

新課標對“充分條件、必要條件、充要條件”的要求為:通過對典型數(shù)學命題的梳理,理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系;通過對典型數(shù)學命題的梳理,理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系;通過對典型數(shù)學命題的梳理,理解充要條件的意義,理解定義與充要條件的關(guān)系.根據(jù)新課標的要求,新人教A 版教材將“充分條件與必要條件”作為常用邏輯用語的主要內(nèi)容安排在必修第一冊的第一章的第四節(jié)當中,通過典型命題引導學生理解判定定理、性質(zhì)定理、定義分別與充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系.隨后在后面各章節(jié)的內(nèi)容、例題以及習題中反復出現(xiàn)“充分條件與必要條件”,提高學生使用邏輯用語表達數(shù)學對象以及推理過程的認識,體現(xiàn)了新教材的整體性與科學性.

3 新教材對“充分條件與必要條件”處理的原因

通過對比新舊教材對“充分條件與必要條件”的處理,可以發(fā)現(xiàn)“充分條件與必要條件”在新教材當中的地位之重.根據(jù)新課標對“充分條件、必要條件、充要條件”的要求,可以分析新教材對“充分條件與必要條件”處理的原因:

(1)新課標強調(diào)學生要理解判定定理、性質(zhì)定理、定義分別與充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系,這是希望教師在后續(xù)學習新數(shù)學對象的定義、判定定理以及性質(zhì)定理的過程當中讓學生能從“充分條件與必要條件”的角度去表達數(shù)學對象;

(2)學生在第一章學習完“充分條件與必要條件”之后,教師可加強引導學生去思考在解決數(shù)學問題的過程當中遇到的條件與結(jié)論之間的關(guān)系,辨別兩者之間的充分性與必要性,從而加強學生的邏輯推理能力;

(3)在高中數(shù)學三年的學習當中,教師不斷引導學生用“充分條件與必要條件”的視角去看待數(shù)學對象與推理過程,從而培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng).

4 “充分條件與必要條件”在教學中的滲透

根據(jù)新課標和新教材的要求,教師可在后續(xù)數(shù)學對象的學習中滲透“充分條件與必要條件”,從而培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng).

4.1 “充分條件與必要條件”在不等式教學中的滲透

在第一章學習集合與常用邏輯語言后,緊接著第二章不等式的學習,運用“充分條件與必要條件”可加深對不等式性質(zhì)的理解.

在第一節(jié)比較兩實數(shù)的大小中,課本提到一個基本事實:“如果a-b是正數(shù),那么a＞b;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是負數(shù),那么a ＜b.這個基礎(chǔ)事實可以表示為:a＞b ?a-b＞0;a=b ?a-b=0;a ＜b ?a-b ＜0.”在處理該教學環(huán)節(jié)時,教師可向?qū)W生說明該事實“a＞b(a ＜b,a=b)的充要條件是a-b＞0(a-b ＜0,a-b=0)”.教師通過充要條件的滲透使學生意識到兩實數(shù)的大小關(guān)系和它們的差與零的大小關(guān)系是“同一回事”,既復習了上一節(jié)所學習的充要條件知識,也為以后判斷兩實數(shù)大小以及證明兩數(shù)之差與零的關(guān)系作鋪墊.

在第一節(jié)介紹課本不等式性質(zhì)4“如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc”中,從“充分條件與必要條件”的角度,教師可結(jié)合例子強調(diào)“a＞b,c＞0”是“ac＞bc”的充分不必要條件,“ac＞bc”無法得到“a＞b,c＞0”,但在“c＞0”的前提下,“a＞b”是“ac＞bc”的充要條件.通過上述充分條件與必要條件與不等式性質(zhì)的滲透,可增加學生對充分條件與必要條件的掌握以及對不等式性質(zhì)的理解.

4.2 “充分條件與必要條件”在函數(shù)教學中的滲透

在第三章函數(shù)的教學當中,教師可從“充分條件與必要條件”的角度加深學生對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的認識,并且適當?shù)剡M行知識延伸.

(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的定義:“設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,區(qū)間D ?I:如果?x1,x2∈D,當x1＜x2時都有f(x1)＜f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.”在講授的單調(diào)性的定義當中,教師根據(jù)充要條件和定義之間的關(guān)系,引導學生把握“?x1,x2∈D,當x1＜x2時都有f(x1)＜f(x2)”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增”的充要條件,從而能根據(jù)“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增”得到“當x1,x2∈D,x1＜x2時,有f(x1)＜f(x2).”通過以上“充分條件與必要條件”的滲透,能讓學生學習單調(diào)性定義的同時牢牢把握單調(diào)性的性質(zhì),進而為以后解決根據(jù)單調(diào)性判定大小的問題作出鋪墊.

當學生把握函數(shù)單調(diào)性的定義之后,教師可從從“充分條件與必要條件”的角度給學生添加變式,從而加深學生對函數(shù)單調(diào)性的理解:

其中變式1.與變式2.是不等式充要性的運用,變式3.則能讓學生充分理解單調(diào)性的定義中先有“x1＜x2”再有“f(x1)＜f(x2)”的邏輯先后性.教師在教學過程中可適當給出反例,證明“?x1,x2∈D,f(x1)＜f(x2)時,有x1＜x2”并不能得到“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增”.

(2)在奇偶性的學習當中,新教材人教A 版必修第一冊第85 頁的課后練習有一題新增題目:“從偶函數(shù)的定義出發(fā),證明y=f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱;從奇函數(shù)的定義出發(fā),證明y=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱.”該題目的出發(fā)點是:作為高中剛學習函數(shù)的基本性質(zhì),該題目能讓學生從“充分條件與必要條件”的角度經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合的過程,從而逐漸培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想.通過該課后習題引導學生將函數(shù)的奇偶性與函數(shù)圖象的對稱性建立起充要性后,教師可根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性,對函數(shù)的性質(zhì)進行拓展:

①函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱,即關(guān)于直線x=0 對稱,從而延伸到問題:“y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是什么? ”

②函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱,即關(guān)于點(0,0)對稱,從而延伸到問題:“y=f(x)關(guān)于點(a,b)對稱的充要條件是什么? ”(新教材人教A 版必修第一冊第87 頁第13 題)

由上述拓展,教師通過“充分條件與必要條件”在函數(shù)奇偶性中的滲透,可引導學生得到函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱或者關(guān)于點(a,b)對稱的性質(zhì).

4.3 “充分條件與必要條件”在立體幾何教學中的滲透

在文獻[2]中介紹了通過“充分條件與必要條件”在直線與線面垂直的定義中滲透,可逆向使用定義,得到線線垂直與線面垂直互相轉(zhuǎn)化的路徑.

4.4 “充分條件與必要條件”在數(shù)列教學中的滲透

數(shù)列的學習通常圍繞著通項公式an與前n項和Sn展開學習,其中通項公式an與前n項和Sn的關(guān)系是數(shù)列學習中培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)的一個重要教學環(huán)節(jié).由2021 年高考全國甲卷第7 題:等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn,設(shè)甲:q＞0,乙:{Sn}是遞增數(shù)列,則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

啟示在進行完等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和Sn后,可從“充分條件與必要條件”角度滲透公差或公比與通項an與前n項和Sn之間的邏輯關(guān)系.上題等比數(shù)列{an}中,有邏輯關(guān)系:{Sn}是遞增數(shù)列?an＞0(?n＞2),an＞0(?n＞2)?q＞0.

由于缺少a1的信息,因此無法得到“an＞0”與“q＞0”的充要關(guān)系.類似的,在等差數(shù)列中,有邏輯關(guān)系:{Sn}是遞增數(shù)列?an＞0(?n＞2),an＞0(?n＞2)?d＞0.

通過以上引導,加強學生對公差或公比與通項an與前n項和Sn之間的邏輯關(guān)系的認識,發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng).

5 小結(jié)

綜上所述,在高中數(shù)學的概念與性質(zhì)教學中通過“充分條件與必要條件”的角度引導學生對不同命題的思考和探索新命題,能提高學生的邏輯推理能力,從而令學生在高中多個概念與性質(zhì)學習的過程當中培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).