基于范希爾幾何水平理論的平面與平面垂直的教學(xué)設(shè)計(jì)

哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 錢月瑩

1 范希爾幾何思維水平

20世紀(jì)50年代，荷蘭學(xué)者范希爾夫婦提出了幾何思維發(fā)展理論，并劃分為5個水平，被稱為范希爾理論.根據(jù)學(xué)生理解和幾何知識把思維水平分為以下5個層次.

水平1：視覺.兒童在面對圖形時，可以大致地區(qū)分出圖形的差異，但不能具體指出圖形的類別.

水平2：分析.圖形的外觀以及相似之處，學(xué)生是可以總結(jié)出來的，也能據(jù)此解決一些簡單問題，但不能建立其中的聯(lián)系.

水平3：非形式化的演繹.通過學(xué)習(xí)，學(xué)生理解圖形所具有的性質(zhì)以及概念等，但不能對此進(jìn)行邏輯推理.

水平4：形式化演繹.這個階段的學(xué)生建立起知識之間的聯(lián)系，并能進(jìn)行推理，了解“定義”“公理”“定理”“性質(zhì)”的內(nèi)涵與外延.

水平5：嚴(yán)密性.學(xué)生能在不同的公理下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ?，以分析比較不同的幾何系統(tǒng)，如歐式幾何和非歐氏幾何系統(tǒng)的比較[2].

根據(jù)幾何思維的5個水平，范希爾夫婦提出了學(xué)生思維水平進(jìn)階(即從一個水平到下一個水平的發(fā)展)的5個教學(xué)階段.

階段一：學(xué)前咨詢.通過交流的形式，教師了解學(xué)生儲備的基礎(chǔ)知識，學(xué)生知道本節(jié)要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.

階段二：引導(dǎo)定向.通過簡短的問答交流，教師要根據(jù)學(xué)生的自身發(fā)展水平安排本節(jié)的教學(xué)任務(wù)，使學(xué)生明白幾何學(xué)習(xí)的方向和方法.

階段三：闡明.教師利用專業(yè)的術(shù)語講解本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生要調(diào)動自身的儲備知識理解本節(jié)的概念、命題等.

階段四：活動.教師在此階段中不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生通過解決不同的問題，夯實(shí)本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容.

階段五：整合.學(xué)生自己整合本節(jié)所學(xué)的內(nèi)容，豐富自身的知識儲備，構(gòu)建完整的公理化系統(tǒng).

范希爾理論中教學(xué)設(shè)計(jì)的主要目的是促進(jìn)學(xué)生幾何思維水平的提高，特別是培養(yǎng)學(xué)生空間想象、解決問題等能力[3].

2 “平面與平面垂直”教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課主要按照“背景-二面角(定義、表示、度量等)-特例(直二面角)-兩平面垂直”的順序進(jìn)行安排，并把重點(diǎn)放在兩個平面垂直的研究上[4].

2.1 階段一：學(xué)前咨詢

學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)已經(jīng)有了一定的知識積累，在探索中學(xué)到的研究思路也為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).因此，教師在講授新課之前回顧“線面平行、面面平行、線面垂直”的研究路徑是極其重要的.

問題1通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)研究了幾種空間線面位置關(guān)系.你認(rèn)為接下來要研究什么位置關(guān)系呢？應(yīng)該遵循怎樣的研究步驟呢？

學(xué)生活動：研究平面與平面垂直的位置關(guān)系.應(yīng)該遵循直線與平面垂直的研究步驟.

追問：我們是怎樣研究直線與平面垂直的呢？你能總結(jié)出這幾種位置關(guān)系研究步驟的共同點(diǎn)嗎？

學(xué)生活動：都遵循“現(xiàn)實(shí)背景-位置關(guān)系的定義、表示-判定-性質(zhì)”的研究路徑.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧之前的內(nèi)容，為接下來要講授的“平面與平面垂直的判定”作鋪墊.在這個過程中，最重要的是研究方法的展現(xiàn)，教師可以通過類比的思想方法帶領(lǐng)學(xué)生在新課學(xué)習(xí)中逐步完善知識系統(tǒng)，為“平面與平面垂直的判定”的研究指明方向.

2.2 階段二：引導(dǎo)定向

問題2在研究空間垂直關(guān)系時，線線垂直是研究的基礎(chǔ).在平面幾何中，為了研究線線垂直，引入了角的概念，當(dāng)直線與直線的夾角為90°時，則稱兩直線垂直.為了定義空間兩個平面互相垂直，需要先定義“空間中兩平面的夾角”.類比平面幾何中線線垂直時夾角的定義，我們應(yīng)該如何定義空間中兩平面的夾角呢？

學(xué)生活動：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生逐步體會到要研究兩個平面相交的位置關(guān)系，需引入二面角的概念，進(jìn)而研究“平面與平面垂直”.

追問：該如何定義二面角呢？

師生活動：教師帶領(lǐng)學(xué)生思考二面角的研究思路，并向?qū)W生展示圖書翻頁，從生活中的實(shí)例出發(fā)，由學(xué)生自主概括出二面角的概念，教師要規(guī)范學(xué)生的作圖方式及符號表示.

圖1

二面角：如圖1所示，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.棱為AB，面為α，β的二面角記作二面角α-AB-β.有時為了方便，也可在α，β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P,Q，將這個二面角記作二面角P-AB-Q.如果棱記為l,那么這個二面角記作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.

問題3在生活中，室內(nèi)溫度較高時，我們會說“把窗戶打開點(diǎn)，讓風(fēng)吹進(jìn)來”，這是指什么角大一些？二面角與平面中的角都是具有大小的，應(yīng)如何度量二面角的大小呢？

學(xué)生活動：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下回顧平面幾何中異面直線所成的角、直線與平面所成的角，都是由“平面角”推出來的.學(xué)生有所啟發(fā)，意識到“二面角”可以轉(zhuǎn)化為“平面角”進(jìn)行度量.

追問1：二面角的平面角具有哪些性質(zhì)呢？與“線面角”的平面角有什么關(guān)聯(lián)之處嗎？

學(xué)生活動：它們具有相同的性質(zhì).棱是連接兩個半平面的“橋”，平面角的頂點(diǎn)應(yīng)位于棱上.角的兩邊分別位于兩個半平面內(nèi)，并且與棱的位置關(guān)系是唯一確定的.

圖2

二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角(如圖2).

追問2：二面角的平面角有什么性質(zhì)呢？

師生活動：教師帶領(lǐng)學(xué)生歸納出以下幾點(diǎn)性質(zhì).(1)角的頂點(diǎn)在棱上，角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)，角的兩邊分別與棱垂直；(2)二面角的平面角大小與點(diǎn)O在棱l上的位置無關(guān)；(3)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.學(xué)生要對這幾點(diǎn)性質(zhì)反復(fù)推敲，增強(qiáng)印象.

設(shè)計(jì)意圖：二面角的概念與角的概念具有很強(qiáng)的類比性，通過生活中的實(shí)例引入，將學(xué)生的直觀認(rèn)知推向理性認(rèn)知，帶領(lǐng)學(xué)生把二面角轉(zhuǎn)化為平面角進(jìn)行度量，并讓學(xué)生自主歸納出二面角的平面角的性質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生對知識的理解，構(gòu)建完整的知識體系.

2.3 階段三：闡明

問題4類比空間兩條直線相互垂直的定義，你能給出平面與平面垂直的定義嗎？

學(xué)生活動：教師起到輔助作用，讓學(xué)生類比出平面與平面垂直的定義.

圖3

面面垂直：兩個相交平面構(gòu)成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直，記作α⊥β(如圖3).

設(shè)計(jì)意圖：通過給出二面角的定義及性質(zhì)，為平面互相垂直的定義作鋪墊，引發(fā)學(xué)生探索性思考，進(jìn)而使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)定義的形成是具有過程性、科學(xué)性的，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力，開發(fā)直觀想象能力.

問題5研究了兩個平面相互垂直的定義，在此基礎(chǔ)上，應(yīng)該研究什么呢？

學(xué)生活動：應(yīng)該研究平面與平面垂直是如何判定的.

追問1：在蓋房子時，工人們都會測量墻面與地面是否垂直.由此，他們會用一根系有重物的線來檢測，若細(xì)線與墻面是緊貼的，則墻面與地面是垂直的，否則是不垂直的.這種測量方法運(yùn)用了什么原理呢？

學(xué)生活動：學(xué)生以小組的形式討論，得到結(jié)論，即如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻面與地面垂直.

圖4

追問2：這種結(jié)論在長方體中是否也成立呢？如圖4，在長方體ABCD-EFGH中，怎樣證明平面ABCD垂直于平面ABFE呢？

學(xué)生活動：在長方體中也是成立的.平面ABFE經(jīng)過平面ABCD的一條垂線AE，所以平面ABCD垂直于平面ABFE.

經(jīng)過師生討論，總結(jié)出兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.(即線面垂直?面面垂直.)

設(shè)計(jì)意圖：從建筑師傅砌墻的生活實(shí)例入手，向同學(xué)們拋出要證明的問題，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生由表及里，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.

2.4 階段四：活動

學(xué)生對本節(jié)知識已有了一定的了解，但把重點(diǎn)內(nèi)容應(yīng)用到實(shí)例中，以及更深層面的學(xué)習(xí)，仍存在一些欠缺.因此，要設(shè)置例題，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ).

圖5

例如圖5所示，在正方體ABCD-EFGH中，求證：平面EBD⊥平面ACGE.

證明：在正方體ABCD-EFGH中，AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴AE⊥BD.

又∵BD⊥AC，AC∩AE=E，

∴BD⊥平面ACGE.

∵BD?平面EBD,

∴平面EBD⊥平面ACGE.

設(shè)計(jì)意圖：本例題與本節(jié)課所學(xué)的重點(diǎn)知識密切相關(guān).要證明面面垂直，首先要找到線面垂直，這是一個思維轉(zhuǎn)化的過程.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，促使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合在解決數(shù)學(xué)問題中的重要作用.

2.5 階段五：整合

問題6通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你都收獲了什么？

追問1：怎樣才能測量出二面角的大??？兩上平面垂直的定義是什么？怎樣用符號和圖形表示？兩個平面垂直的判定定理是什么？是怎么得到的？

學(xué)生活動：小組進(jìn)行討論，回答追問1的問題.

(1)二面角，二面角的平面角的定義，兩個平面垂直的定義，兩個平面垂直的判定定理(線面垂直?面面垂直).

(2)數(shù)學(xué)思想方法：類比、轉(zhuǎn)化、降維.空間位置、數(shù)量關(guān)系→平面位置、數(shù)量關(guān)系[5].

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生學(xué)習(xí)完本節(jié)知識，可能存在部分概念掌握不全面的情況，需要及時查缺補(bǔ)漏.這個階段，要讓學(xué)生自主回答，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性，并讓學(xué)生體會類比、轉(zhuǎn)化等思想方法，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、思維轉(zhuǎn)換等能力.

3 總結(jié)

平面幾何與空間幾何知識，對于學(xué)生來說都是較難理解的.學(xué)生缺乏直觀想象、邏輯推理等能力，只是簡單了解公式、定理等，并沒有學(xué)會其中的思想方法.依據(jù)范希爾理論進(jìn)行“平面與平面垂直的判定”的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師能更好地了解學(xué)生的思維發(fā)展現(xiàn)狀，設(shè)計(jì)出科學(xué)合理的教學(xué)方案，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力以及應(yīng)用意識.