破解外接球問題三法：定義，構(gòu)造，交軌

湖北省大冶市實(shí)驗(yàn)高中 石曉皎

1 引言

空間幾何體的外接球問題，其問題創(chuàng)設(shè)的形式各樣，變化多端，是一類?？汲Ｐ碌木C合應(yīng)用問題．解決問題時(shí)，關(guān)鍵是利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的定義、性質(zhì)等，確定空間幾何體外接球的球心位置或球的半徑.下面結(jié)合具體案例，從球的定義(定義法)、幾何體的結(jié)構(gòu)特征(構(gòu)造法)以及球的性質(zhì)(交軌法)等視角來分析與處理空間幾何體的外接球問題，并巧妙歸類與總結(jié)．

2 破解三法

2.1 定義法

通過題目中所給的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合球的定義確定其外接球的球心位置或半徑.其實(shí)就是抓住球的定義本質(zhì)進(jìn)行求解.

A．72π B．144π C．50π D．100π

分析：根據(jù)給定條件，取PC中點(diǎn)O，結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)，利用直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合球的定義來確定四棱錐P-ABCD外接球的球心位置，進(jìn)而構(gòu)建關(guān)系式計(jì)算出球半徑，代入球的表面積公式計(jì)算即可．

圖2

解析：四棱錐P-ABCD的底面是矩形，取PC中點(diǎn)O，連接AC，OA，OB，OD，如圖1所示.

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則PA⊥BC.而AB⊥BC，AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，則有BC⊥平面PAB.

又PB?平面PAB，所以BC⊥PB.

同理，可證CD⊥PD.

而PA⊥AC，因此

結(jié)合球的定義，可知四棱錐P-ABCD外接球的球心為O，半徑為OA.

在矩形ABCD中，AC2=AB2+BC2，從而得

即球半徑OA=5，所以四棱錐P-ABCD外接球的表面積為S=4π×52=100π.

故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng)：定義法確定空間幾何體外接球的球心位置或半徑，其實(shí)就是抓住球的定義這一實(shí)質(zhì)，利用球心到球面上任意一點(diǎn)的距離都相等，巧妙綜合空間幾何體的對(duì)稱性、平面幾何圖形的基本性質(zhì)等，結(jié)合球的定義巧妙構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，實(shí)現(xiàn)問題的化歸與應(yīng)用的目的．

2.2 構(gòu)造法

通過題目中所給的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，巧妙構(gòu)造立體幾何模型，如所給空間幾何體是柱體、錐體等，可構(gòu)造長方體或正方體等特殊立幾模型來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

分析：如圖2，連接AO，并延長交BC于點(diǎn)D.由頂點(diǎn)P在底面的射影O為△ABC的垂心，可得BC⊥PA，AC⊥PB，AB⊥PC.由S△ABC·S△OBC=S△PBC2，可得△POD∽△APD，PA⊥PD.即可得PA，PB，PC兩兩互相垂直.通過構(gòu)造立體幾何模型法，利用三棱錐P-ABC的外接球?yàn)橐訮A，PB，PC為棱的長方體的外接球，即可建立涉及外接球半徑的關(guān)系式，結(jié)合三角形的面積公式以及基本不等式的應(yīng)用來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

圖2

解析：如圖2所示，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，連結(jié)PD.

由于頂點(diǎn)P在底面的射影O為△ABC的垂心，則知AD⊥CB.

又PO⊥平面ABC，可得PO⊥BC.

又AD∩PO=O，所以BC⊥平面APD，可得BC⊥AP，BC⊥PD.同理AC⊥PB.

又∠PDO=∠PDA，則有△POD∽△APD，所以∠APD=∠POD=90°，即PA⊥PD.

又PA⊥BC，BC∩PD=D，所以AP⊥平面PBC，而PB?平面PBC,故PA⊥PB.

又PB⊥AC，且AP∩AC=A，所以PB⊥平面APC，而PB?平面APC,故PB⊥PC.

所以PA，PB，PC兩兩互相垂直.

所以三棱錐P-ABC的外接球?yàn)橐訮A，PB，PC為棱的長方體的外接球.

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球半徑為R，則有PA2+PB2+PC2=4R2.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造法確定空間幾何體的外接球的球心位置或半徑，其實(shí)就是借助補(bǔ)形思維，通過合理補(bǔ)形等方式構(gòu)造特殊的空間幾何體——正方體或長方體等，利用原幾何體與所構(gòu)造的特殊空間幾何體的外接球一致，合理轉(zhuǎn)化，快捷處理，進(jìn)而利用正方體或長方體外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)(體對(duì)角線恰是該外接球的直徑)來解決問題．

2.3 交軌法

通過題目中所給空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合外接球的幾何特征，從不同視角確定球心所在的直線，而滿足條件的兩條相交直線的交點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的外接球球心．

分析：根據(jù)題目條件，利用交軌法求解.先求出到A，B，C三點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡是直線MN，再求出到P，B兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡是直線DE，則直線MN與直線DE的交點(diǎn)即是三棱錐P-ABC外接球的球心，進(jìn)而結(jié)合余弦定理、正弦定理加以分析與求解，確定外接球的半徑，即可求解對(duì)應(yīng)的表面積．

解析：設(shè)M為BC的中點(diǎn)，在平面PBC內(nèi)過點(diǎn)M作MN⊥BC交PB于點(diǎn)N.

因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC.

又三角形ABC是以BC為斜邊的直角三角形，所以直線MN上任意一點(diǎn)到A，B，C三點(diǎn)的距離相等.

在平面PBC內(nèi)作線段PB的垂直平分線DE，設(shè)DE與MN的交點(diǎn)為O，則點(diǎn)O到P，A，B，C四點(diǎn)的距離都相等，即點(diǎn)O為三棱錐P-ABC外接球的球心，并且點(diǎn)O也是三角形PBC的外心.

因此，三棱錐P-ABC外接球的半徑與三角形PBC外接圓的半徑相等.

所以，三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4πR2=10π.

故填答案：10π．

點(diǎn)評(píng)：交軌法確定空間幾何體外接球的球心位置或半徑，其實(shí)就是借助球的相關(guān)性質(zhì)：“球心O與截面圓的圓心O1的連線垂直于截面圓”“球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦”等，利用滿足條件的兩條相交直線的交點(diǎn)直接確定空間幾何體外接球的球心．

3 結(jié)語

解決空間幾何體的外接球問題，除了以上借助球的定義(定義法)、幾何體的結(jié)構(gòu)特征(構(gòu)造法)以及球的性質(zhì)(交軌法)等方法來解決外，還可以結(jié)合空間坐標(biāo)法、向量法以及其他一些相關(guān)的技巧來處理，關(guān)鍵就是要“心中有圖”，正確進(jìn)行空間想象，構(gòu)建不同元素之間的聯(lián)系，合理數(shù)學(xué)運(yùn)算，巧妙邏輯推理，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升．