周 莉

（西安建筑科技大學(xué)（草堂校區(qū)），陜西 西安 710399）

1 觀測(cè)天體位于基準(zhǔn)球面正上方模型的建立與求解

1.1 模型的建立

根據(jù)FAST剖面示意圖，基準(zhǔn)球面半徑為300m，焦徑比為0.466，工作拋物面的口徑為300m，可得觀測(cè)衛(wèi)星位于基準(zhǔn)球面正上方時(shí)的幾何示意圖。

根據(jù)幾何示意圖，焦面球心的半徑為：

式中，R為基準(zhǔn)球面半徑，F(xiàn)為同心球面的半徑差。

以基準(zhǔn)球面的最低點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由焦面球心的半徑求得焦點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以得到一條理想的拋物線方程為：

將拋物線繞Z軸旋轉(zhuǎn)可進(jìn)一步得到理想的拋物面方程為：

1.2 模型的求解

Step1：求解以基準(zhǔn)球面最低點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的理想拋物面

由式（1）可求得焦面球心的半徑r=250.2m，焦點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，139.8），即 2p=559.2，將其代入式（3）中可得理想拋物面方程為

Step2：求解以基準(zhǔn)球面的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)的理想拋物面

將以基準(zhǔn)球面的最低點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)軸向上平移300m，可得理想拋物面方程為：

2 觀測(cè)天體偏離基準(zhǔn)球面正上方模型的建立與求解

2.1 模型的建立

當(dāng)觀測(cè)天體偏離基準(zhǔn)球面時(shí)，確定對(duì)應(yīng)的理想拋物面。需要考慮歐拉角得到旋轉(zhuǎn)矩陣，再通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換確定理想拋物面方程。通過(guò)調(diào)節(jié)促動(dòng)器的伸縮量使反射面盡量貼近理想拋物面，以照明區(qū)域內(nèi)反射面板數(shù)量最多為目標(biāo)函數(shù)，建立優(yōu)化模型，使得反射信號(hào)接收效果最佳。

2.1.1 理想拋物面方程

代入得到Q點(diǎn)坐標(biāo)（-49.254，-36.840-293.627）：

代入得到P點(diǎn)坐標(biāo)。

當(dāng)觀測(cè)天體偏離基準(zhǔn)球面時(shí)，根據(jù)天體S方位角與仰角示意圖，＝78.169°，＝36.795°對(duì)于三維空間坐標(biāo)軸的變化可以用3個(gè)歐拉角表示。在天體旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，坐標(biāo)軸會(huì)隨著天體的轉(zhuǎn)動(dòng)做相同的轉(zhuǎn)動(dòng)。

繞X軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角ψ為36.5°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角?為350.95°，之后繞Z軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角θ為7.1°，則對(duì)應(yīng)歐拉角的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：

那么，利用所求歐拉角ψ、?、θ及式（6）可推導(dǎo)出最終的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

利用旋轉(zhuǎn)變換公式可以得到繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換后的坐標(biāo)(x' ,y',z')T及理想拋物面的方程式為：

聯(lián)立式（11）和式（12），可得在空間直角坐標(biāo)系中，觀測(cè)天體偏離基準(zhǔn)球面情況下的理想拋物面方程為：

2.1.2 基于優(yōu)化模型的反射面板調(diào)節(jié)

（1）目標(biāo)函數(shù)

設(shè)基準(zhǔn)球面上促動(dòng)器頂端的坐標(biāo)(x0,y0,z0)，理想拋物面上促動(dòng)器頂端的坐標(biāo)(x1,y1,z1)。則基準(zhǔn)球面上的主索節(jié)點(diǎn)到球心的距離R0和理想拋物面上的主索節(jié)點(diǎn)到球心的距離R1為：

優(yōu)化的目標(biāo)是使反射面盡量貼近理想拋物面，使在照明區(qū)域內(nèi)的反射信號(hào)達(dá)到最佳接收效果，以此來(lái)建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

式中，d為促動(dòng)器的伸縮量。

（2）約束條件

促動(dòng)器的頂端沿基準(zhǔn)球面徑向伸縮來(lái)完成下拉索的調(diào)節(jié)，從而調(diào)節(jié)反射面板的位置形成拋物面。由促動(dòng)器的工作原理可知，促動(dòng)器的徑向伸縮量d就等于對(duì)應(yīng)的促動(dòng)器頂端從基準(zhǔn)球面移到理想拋物面上的距離。利用歐式距離公式，可求得促動(dòng)器的徑向伸縮量為：

由于促動(dòng)器的伸縮范圍為-0.6～+0.6m，反射面均在空間直角坐標(biāo)系XOY平面下方。為滿足優(yōu)化模型中目標(biāo)函數(shù)的求解，故綜合以上條件，可以得出約束條件為：

2.2 模型的求解

Step1：幾何變換求解理想拋物面。當(dāng)觀測(cè)天體偏離基準(zhǔn)球面時(shí)，通過(guò)繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)得到歐拉角，進(jìn)而得到旋轉(zhuǎn)矩陣，然后通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換公式確定理想拋物面。

Step2：確定基準(zhǔn)球面的主索節(jié)點(diǎn)位置圖。利用所給的主索節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，可得基準(zhǔn)球面的主索節(jié)點(diǎn)位置圖。

Step3：利用歐式距離公式求同一促動(dòng)器頂端在基準(zhǔn)球面和理想拋物面位置上對(duì)應(yīng)的兩個(gè)坐標(biāo)間的距離。

Step4：求解促動(dòng)器的伸縮量及反射面板數(shù)量的最優(yōu)解。

在照明區(qū)域內(nèi)，當(dāng)每一個(gè)促動(dòng)器頂端從基準(zhǔn)球面移到理想拋物面上的距離小于0.6m時(shí)，就是促動(dòng)器的伸縮量，即反射面完全可以到達(dá)理想拋物面；當(dāng)每一個(gè)促動(dòng)器頂端從基準(zhǔn)球面移到理想拋物面上的距離大于0.6m時(shí)，促動(dòng)器的伸縮量只有取0.6m時(shí)才能使反射面最貼近理想拋物面。同時(shí)可以根據(jù)主索節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)求出反射面板數(shù)量的最優(yōu)解。

3 反射球面接收比模型的建立與求解

3.1 模型的建立

3.1.1 饋源艙圓盤(pán)函數(shù)關(guān)系式

由理想拋物面頂點(diǎn)坐標(biāo)Q（-49.254，-36.940，-293.627），饋源艙平面是以焦點(diǎn)P（-26.269，-19.648，-156.601）為幾何中心，半徑為0.5m的一個(gè)圓盤(pán)，且該圓盤(pán)與垂直，則有：

由于饋源艙面是空間平面，需要將該圓盤(pán)還原為垂直XOY平面的初始圓盤(pán)方程1W，再根據(jù)歐拉角和旋轉(zhuǎn)矩陣變形，可以得到初始圓盤(pán)方程1W為：

3.1.2 射入直線函數(shù)關(guān)系式

3.1.3 反射面方程

每個(gè)反射面由3個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成，設(shè)3點(diǎn)坐標(biāo)為：

3.1.4 射出直線函數(shù)關(guān)系式

由于射出信號(hào)直線2L與信號(hào)射入直線1L關(guān)于反射面M對(duì)稱，設(shè)垂直平面的法線方程l為：

又因?yàn)橹本€與平面垂直，所以函數(shù)未知數(shù)系數(shù)之比相等：

化簡(jiǎn)得到法線方程l為：

由于已知入射直線方程，則在入射方程上任意取一點(diǎn)m( x '', y'',z'')，設(shè)在射出直線方程上與m( x '', y'',z'')關(guān)于法線方程l的對(duì)稱點(diǎn)為m'( x ''',y''',z''')，則有：

3.2 模型求解

得到2L后將其與饋源艙圓盤(pán)方程 2W聯(lián)立運(yùn)行是否有解，如果方程組有解則該點(diǎn)信號(hào)可以被饋源艙接收，反之則該點(diǎn)不能。將經(jīng)過(guò)調(diào)整伸縮量的點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，N為調(diào)整點(diǎn)的總數(shù)，設(shè)其中有n個(gè)點(diǎn)可以被接收。

通過(guò)每個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的平面，將得到的可以被接收信號(hào)的點(diǎn)坐標(biāo)與表中信息對(duì)比，找出滿足3個(gè)點(diǎn)都在接收信號(hào)點(diǎn)集合內(nèi)的面，利用矩陣將所有的節(jié)點(diǎn)編號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信息。再將范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)字信息放在一個(gè)集合內(nèi)。將矩陣中的每一個(gè)元素都做一次判斷，判斷該元素是否在集合內(nèi)，若在則編碼為1，否則為0。最后整理統(tǒng)計(jì)一組數(shù)據(jù)中1的數(shù)量，若數(shù)量為3則說(shuō)明這3點(diǎn)所圍的反射面板為所求范圍內(nèi)面板。計(jì)算結(jié)果為，調(diào)節(jié)后饋源艙的接收比為84.373%，基準(zhǔn)反射球面的接收比為87.278%。