平行線變化之模型

王雪潔

大連春田中學(xué)李丹丹老師的直播課《平行線背景下角的轉(zhuǎn)移》，選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺(tái)“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科名師公益課堂”，旨在引領(lǐng)教師專業(yè)發(fā)展，服務(wù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

Ｄ

觀看了李丹丹老師的直播課《平行線背景下角的轉(zhuǎn)移》，收益頗多. 普通的平行線搭上截線后，會(huì)產(chǎn)生同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的結(jié)論，依此可以推導(dǎo)出很多角相等或角互補(bǔ)的結(jié)論，形成相等的角“四處串”的效果. 若遇到變化的平行線，你還能處理其中角的關(guān)系嗎？

模型構(gòu)建

“豬爪”模型，因長得像豬爪而得名，也叫M模型.

例 如圖1，AB[?]CD，求證：∠B + ∠D = ∠E.

學(xué)法指導(dǎo)：利用過拐點(diǎn)構(gòu)造平行線或者延長某條線的方法，可使平行線搭上截線. 輔助線引法1：如圖2，過點(diǎn)E作MN[?]AB；輔助線引法2：如圖3，延長BE交CD于點(diǎn)F. 也可以構(gòu)造截線，使平行線搭上截線. 輔助線引法3：連接BD，通過△BED的內(nèi)角和與兩條平行線間同旁內(nèi)角之和為180°得出結(jié)論. （請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試作圖）

變式演練

變式1：如圖4，現(xiàn)有兩根平行木棒 AB 和 CD ，其間有一點(diǎn)P，用皮筋纏繞使它與 A，C 兩點(diǎn)相連，請(qǐng)你猜想∠PAB，∠PCD，∠APC 這三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由. （點(diǎn)P不在直線 AB、直線 CD、直線 AC 上. ）

學(xué)法指導(dǎo)：如圖5，通過構(gòu)造平行線或截線，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在不同區(qū)域時(shí)結(jié)論不同.

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P落在（1）區(qū)時(shí)，可以利用兩組同旁內(nèi)角的和、周角或四邊形內(nèi)角和的知識(shí)來求得∠PAB ?+ ∠PCD + ∠APC = 360°，如圖5所示. 此時(shí)構(gòu)成“鉛筆”模型.

當(dāng)點(diǎn)P在（2）區(qū)時(shí)，如圖6②，構(gòu)成“豬爪”模型，∠APC = ∠PAB ?+ ∠PCD.

當(dāng)點(diǎn)P在（3）（6）區(qū)時(shí)，如圖6③，構(gòu)成“骨折”模型，∠PCD = ∠APC + ∠PAB.

當(dāng)點(diǎn)P在（4）（5）區(qū)時(shí)，如圖6④，構(gòu)成“靴子”模型，∠PAB = ∠APC + ∠PCD.

變式2：（拐點(diǎn)為兩個(gè)）如圖7，已知 AB[?]EF ，過點(diǎn) D 作 DH[?]EF ，則平行線 AB 和 HD 之間可看作“豬爪”模型，則 ∠C = ∠B + ∠ HDC ，由 HD[?]EF 得∠HDE = ∠E，因此∠B + ∠CDE = ∠C + ∠E.

變式3：（拐點(diǎn)為三個(gè)）如圖8，已知 AB[?]EF ，過點(diǎn) D 作 DH[?]EF ，由兩個(gè)“豬爪”模型，可得 ∠B + ∠HDC = ∠C，∠HDG + ∠F = ∠G，則∠B + ∠CDG + ∠F = ∠C + ∠G.

變式4：（拐點(diǎn)為n個(gè)）如圖9，已知AB[?]CD，求證∠E1 + ∠E2 + … + ∠En = ∠B + ∠F1 + ?∠F2 + … + ∠Fn - 1 + ∠D. ?（其實(shí)也就是左邊所有角之和等于右邊所有角之和，請(qǐng)同學(xué)們自己證明這個(gè)“鋸齒”模型的結(jié)論）

反思：模型多，名字也多，這只是為了我們溝通方便用的，記起來吃力的話，完全可以不用記. 構(gòu)造這些模型就是要把已知的或構(gòu)造的平行線用截線連接起來，產(chǎn)生三線八角，從而得到結(jié)論.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★解題時(shí)間：1分鐘

如圖10，AB[?]EF，BC⊥CD那么∠B，∠D，∠E 的關(guān)系是.

（作者單位：沈陽市第一四五中學(xué)）