梁 靜

(淮南師范學(xué)院金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

O.Schramm在[1]里引入SLE(隨機(jī)Loewner發(fā)展)，三角形網(wǎng)格中的點(diǎn)滲流[2]，環(huán)刪除隨機(jī)游動(dòng)SLE[3][4]，一致生成樹[3]，以及調(diào)和測(cè)度[5]，均已運(yùn)用SLE描述其極限情形。眾所周知，簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)的尺度極限是布朗運(yùn)動(dòng)，且在二維平面內(nèi)是共形不變的。我們需要的是誤差不依賴于邊界的光滑性，可以將結(jié)果推廣到更加廣泛的領(lǐng)域內(nèi)。[6]中給出了誤差的范圍，本文在其基礎(chǔ)上通過表示出作為領(lǐng)域內(nèi)徑的冪更精確的誤差，給出了簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)的格林函數(shù)的優(yōu)化估計(jì)。

1 預(yù)備知識(shí)

在這一節(jié)中給出本文涉及的一些定義、記號(hào)以及一些基本事實(shí)，更詳細(xì)的請(qǐng)參見[7][8][9[10]等。

D是一個(gè)邊界包含曲線的領(lǐng)域，gD(x,y)表示布朗運(yùn)動(dòng)的格林函數(shù)。如果x∈D，則稱gD(x,·)為D{x}上唯一的在?D上極限為0的調(diào)和函數(shù)。gD(x,y)=-log|x-y|+O(1)

一個(gè)D∈D*(D*為包含原點(diǎn)的若當(dāng)領(lǐng)域)上布朗運(yùn)動(dòng)的等價(jià)格林函數(shù)可表示為gD(x,y)=E*[log|BTD-y|]-log|x-y|，對(duì)于不同的點(diǎn)x,y∈D，其中TD=inf{t:Bt?D}。特別地，如果0∈D,gD(x)=Ex[log|BTD|-log|x|]x∈D

假設(shè)Sn為Ζ2上的簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)，A為Ζ2上的一個(gè)子集，

τA=min{j≥0:Sj?A}，

則

表示A上的隨機(jī)游動(dòng)的格林函數(shù)。

GA(x)=E*[a(SτA)]-a(x)x∈A

引理1(強(qiáng)逼近)存在常數(shù)c<∞，在概率空間(Ω,F,P)上分別定義一個(gè)二維布朗運(yùn)動(dòng)B和二維簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)S且B0=S0，使得

引理2(Beurling反射定理)存在常數(shù)c<∞，使得如果γ:[a,b]→C是條滿足|γ(a)|=r,|γ(b)|=R,0

2 簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)格林函數(shù)的估計(jì)

(3.1)

其中g(shù)A(x)=gA(0,x)=-log|fA(x)|為A中布朗運(yùn)動(dòng)的格林函數(shù)，且

為了證明此定理，需要以下結(jié)果

(3.2)

由文獻(xiàn)[9]及命題1可得命題2

(3.3)

引理3 存在常數(shù)a，使得對(duì)每個(gè)n，在同一個(gè)概率空間(Ω,F,P)上可以定義一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)B和簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)S，使得如果A∈An，1

τA′=inf{t≥0:dSt(x)≤2clogn}

考慮以下事件

引理4 存在常數(shù)c，使得如果A∈An，|x|≤n2，那么

證明：對(duì)于任意n，如引理3中定義B，S。令

注意到

對(duì)于log|SτA|同理可得

如果x=0，有關(guān)系式

GA(x)=1+GA(e)=a(1)+GA(e) |e|=1

代入即可得定理1。