新教材“拓廣探索”欄目函數(shù)題賞析

王 芳

(江蘇省蘇州市常熟市梅李高級(jí)中學(xué) 215500)

人教版《數(shù)學(xué)新教材》拓廣探索欄目在習(xí)題方面的設(shè)置比較好，注重培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新精神，關(guān)注相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用，能夠較好地提高學(xué)生的綜合素養(yǎng).為此，現(xiàn)選取必修第一冊(cè)第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》、第四章《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》中有關(guān)特色習(xí)題加以具體闡釋，旨在幫助同學(xué)們深刻領(lǐng)悟教材習(xí)題設(shè)置的良苦用心，進(jìn)一步提高解題能力.

1 考查多個(gè)對(duì)數(shù)比較大小

例1 (教材第141頁(yè)拓廣探索欄目第13題)比較下列各題中三個(gè)值的大?。?/p>

(1)log0.26,log0.36,log0.46；

(2)log23,log34,log45.

即log0.26>log0.36.

同樣，作差可得log0.36>log0.46.

所以log0.26>log0.36>log0.46.

同樣，作商可得log0.46

所以log0.26>log0.36>log0.46.

于是，根據(jù)0<0.2<0.3<0.4<1，得

f(0.2)>f(0.3)>f(0.4).

即log0.26>log0.36>log0.46.

同樣，可知log45

從而有l(wèi)og23>log34>log45.

評(píng)注本題設(shè)計(jì)較好，關(guān)注比較大小的各種常用方法在解題中的運(yùn)用.常用一般結(jié)論：(1)設(shè)函數(shù)f(x)=logxN，其中N>0,x>0且x≠1，則當(dāng)N>1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和(1,+∞)上均單調(diào)遞減；當(dāng)01，則loga(a+1)>log(a+1)(a+2)>log(a+2)(a+3)>….

2 考查含參函數(shù)的性質(zhì)

(1)探索函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)？

具體證明過(guò)程如下：

易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.

任取x1,x2∈R，且設(shè)x1

因?yàn)?x1<2x2，2x1+1>0,2x2+1>0，

所以f(x1)

故存在實(shí)數(shù)a=1，使函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

評(píng)注關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，若進(jìn)行判斷，則利用外在結(jié)構(gòu)特點(diǎn)即可；若進(jìn)行證明，則必須根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義加以證明.處理是否存在型問(wèn)題，往往需要先假設(shè)存在，再進(jìn)行合情推理、分析.若得到矛盾，則表明不存在；若沒(méi)有得到矛盾，就會(huì)得到存在的具體情形.

3 考查數(shù)學(xué)思想在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

例3(教材第102頁(yè)拓廣探索欄目第13題)如圖1，△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t(t>0)左側(cè)的圖形的面積為f(t)，試求函數(shù)y=f(t)的解析式，并畫出函數(shù)y=f(t)的圖象.

圖1 圖2

綜上，函數(shù)y=f(t)的圖象如圖2所示，

評(píng)注本題設(shè)計(jì)較好，側(cè)重考查了數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想在解題中的綜合運(yùn)用，同時(shí)也考查了分段函數(shù)的解析式與圖象，顯然能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生在直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的核心素養(yǎng).

4 考查指數(shù)函數(shù)與歸納推理的交匯

(1)連續(xù)進(jìn)行5次，容器中的純酒精還剩下多少？

(2)連續(xù)進(jìn)行n次，容器中的純酒精還剩下多少？

5 考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性與類比推理的交匯

例5 (教材第87頁(yè)拓廣探索欄目第13題)我們知道，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對(duì)稱中心；

(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.

解析(1)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)(a,b)，則函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù)，即y=(x+a)3-3(x+a)2-b為奇函數(shù).

根據(jù)奇函數(shù)的定義可得(-x+a)3-3(-x+a)2-b=-[(x+a)3-3(x+a)2-b]，整理得(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0對(duì)任意x∈R恒成立，從而可知6a-6=0，且2a3-6a2-2b=0，解得a=1,b=-2.

故所求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)(1,-2).

(2)類比思維，可知推廣結(jié)論為：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+m)為偶函數(shù).

總之，結(jié)合上述舉例解析可知，人教版《數(shù)學(xué)新教材》拓廣探索欄目在習(xí)題方面的設(shè)置是比較成功的，不僅關(guān)注習(xí)題本身的探索性、創(chuàng)新性、綜合性，而且關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)際能力，能夠較好地提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)、方法的綜合運(yùn)用能力，進(jìn)而提升學(xué)生在直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)學(xué)建模方面的核心素養(yǎng).