Monoidal范疇的函子范疇

馮 清 ,黃 菊

（1.福建技術(shù)師范學(xué)院大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院,福建福清 350300；2.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建漳州 363000）

1998 年，文獻(xiàn)[1]引入了monoidal 范疇，域K上的向量空間，群G的表示均是monoidal 范疇.文獻(xiàn)[2-4]中討論monoidal范疇的一般結(jié)構(gòu)理論、分類問(wèn)題及不變量.馮清等[5]通過(guò)范疇的擴(kuò)張構(gòu)造兩類monoidal范疇并研究保持問(wèn)題.通過(guò)函子范疇構(gòu)造monoidal范疇并進(jìn)一步討論保持問(wèn)題.

1 Monoidal范疇的相關(guān)概念

Monoidal范疇可視為幺半群的范疇化，先回顧monoidal范疇的相關(guān)概念，具體參見文獻(xiàn)[1-4].記objD為范疇D的對(duì)象集，morD為范疇D的態(tài)射集.

定義1Monoidal范疇是指范疇(D,?,I,α,l,r)，其中D是范疇，?:D×D→D是一個(gè)雙函子（稱?為monoidal 積），α:(-?-) ?-→-?(-?-)是自然同構(gòu)，I為范疇D中的對(duì)象（稱I為單位元），l:I?-→idD和r:-?I→idD是自然同構(gòu)且對(duì)任意A,B,C,D∈objD有交換圖，見圖1～2（分別稱為五邊形公理和三角形公理）.

圖1 五邊形公理交換圖Fig.1 Commutative diagrams of pentagon axiom

圖2 三角形公理交換圖Fig.2 Commutative diagrams of triangle axiom

特別地，若在monoidal 范疇(D,?,I,α,l,r) 中，α=id,l=r=id，即對(duì)任意A,B,C∈objD，有(A?B) ?C→A?(B?C),I?A=A=A?I，則稱(D,?,I,α,l,r)為嚴(yán)格monoidal范疇.

定義2設(shè)(D,?,I,α,l,r)是monoidal 范疇，若β:-?-→-?op-是自然同構(gòu)，且對(duì)于任意A,B,C∈objD，有交換圖圖3.則稱(D,?,I,α,l,r)為辮子monoidal范疇.

圖3 辮子monoidal范疇交換圖Fig.3 Commutative diagrams of braided monoidal category

定義3設(shè)(D,?,I,α,l,r)是monoidal 范疇，若γ:-?-→-?op-是自然同構(gòu)，γ2=id，且對(duì)任意A,B,C∈objD，有交換圖，見圖4.則稱(D,?,I,α,l,r)為對(duì)稱monoidal范疇.

圖4 對(duì)稱monoidal范疇交換圖Fig.4 Commutative diagrams of symmetric monoidal category

2 通過(guò)函子范疇構(gòu)造monoidal范疇

函子范疇是兩個(gè)范疇間的函子所具有的范疇結(jié)構(gòu)，函子范疇的對(duì)象是函子，態(tài)射為函子間的自然變換.為了引用方便，先來(lái)回顧函子范疇的定義，參見文獻(xiàn)[6].

定義4設(shè)C是小范疇，D是范疇，定義函子范疇DC如下：DC的對(duì)象集F:C→D為共變函子.DC的態(tài)射集τ:F→G為自然變換.

合成是自然變換的合成.

其次，要證(D,?,I,α,l,r)是對(duì)稱monoidal范疇,則也是.只需證.這是因?yàn)?，同可定義，再由γ2=1可得，從而也是對(duì)稱monoidal范疇.

例1設(shè)k是域，G是有限群，V是k上G-分次向量空間.定義一個(gè)新范疇D，其中對(duì)象集為objD={Vg|g∈G}，態(tài)射集為：若g=h，則morD(Vg,Vh)=k；若g≠h，則morD(Vg,Vh)=0.合成為域中的乘積.定義?如下：Vg?Vh=Vgh,α?β=αβ，其中Vg,Vh∈objD,α,β∈morD.取D中單位元為V1，1 為G的單位元.則對(duì)任意Vf,Vg,Vh∈objD有(Vf?Vg) ?Vh=Vfgh=Vf?(Vg?Vh),V1?Vf=Vf?V1=Vf.所以(D,?,V1)為嚴(yán)格monoidal范疇.