方新文

（中國飛機強度研究所，西安 710065）

光電吊艙是光電偵察裝備中的重要組件，也是機載偵察設(shè)備的核心部分，廣泛應(yīng)用于陸地、海洋、空中以及空間的偵察。光電吊艙在工作時會受到飛行器速度姿態(tài)變化以及發(fā)動機振動的影響，振動不僅影響到吊艙設(shè)備的使用壽命，還使得吊艙的成像質(zhì)量嚴重下降。因此對光電吊艙的振動控制必不可少。光電吊艙的隔振系統(tǒng)的實現(xiàn)方法很多，例如加裝不同類型的隔振器或者設(shè)計特殊的無轉(zhuǎn)角隔振平臺[1]。Stewart平臺作為光電吊艙的隔振系統(tǒng)也是一種適宜的實現(xiàn)方法。

Stewart 平臺機構(gòu)是1965 年由美國學(xué)者Stewart首次提出并將其作為一種飛行模擬器[2]。平臺具有大剛度、高精度和高載荷自重比的特點，適用于高精度、大載荷且對工作空間要求相對較小的場合。目前已經(jīng)在航空、航天、地下開采、制造裝配等行業(yè)有著較為廣泛的應(yīng)用。針對Stewart 平臺的理論模型與動態(tài)力學(xué)行為，已有了不少研究。

楊劍鋒等[3]設(shè)計了一種Stewart平臺隔振系統(tǒng)用于某型空間光學(xué)載荷的在軌隔振，研究了系統(tǒng)的性能特點，得到了用于六維被動隔振的最佳構(gòu)型。Lu等[4]研究了一種高靜剛度、低動剛度的Stewart平臺，實現(xiàn)了6 自由度方向振動的降低；同時基于剛體動力學(xué)和非線性彈性理論得到了1階主振的傳遞率和功率輸出的頻響函數(shù)。Zheng 等[5]也建立了一種帶有Stewart平臺的隔振系統(tǒng)，研究了支撐桿的剛度特性，建立了包括幾何非線性和剛度非線性在內(nèi)的非線性動力學(xué)模型，并評估了非線性對隔振性能的影響。Wu 等[6]則研究了一種Stewart 平臺的理論模型并進行了試驗驗證，以6 個X 形結(jié)構(gòu)的支撐桿實現(xiàn)了6 個方向的良好性能可調(diào)節(jié)的隔振系統(tǒng)。Yun等[7]、Yi等[8]、沈慧平等[9]也都基于工程實際設(shè)計了不同的Stewart平臺并研究了其動態(tài)力學(xué)性能，取得了不同程度的進展，但是針對被動Stewart隔振平臺的解耦隔振設(shè)計方法以及等剛度設(shè)計方法還少有研究[10－22]。

本文通過建立Stewart平臺的理論數(shù)學(xué)模型，研究被動Stewart 平臺隔振系統(tǒng)的解耦設(shè)計以及等剛度設(shè)計方法。通過有限元仿真以及虛擬試驗對設(shè)計方法進行驗證與分析對比。

1 Stewart平臺理論分析

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立及分析

典型的Stewart平臺由上安裝平臺、下安裝平臺以及平臺之間的阻尼連桿組成。平臺與阻尼連桿之間采用柔性鉸接，可以相互有限度地自由活動。整個系統(tǒng)通過阻尼連桿的伸縮與變形達到振動隔離的目的。圖1 所示為Stewart 平臺的數(shù)學(xué)模型，在上安裝平臺與設(shè)備組成的整體的質(zhì)心處建立Oxyz笛卡爾坐標(biāo)系。

圖1 Stewart平臺數(shù)學(xué)模型

圖1 中：上安裝平臺的直徑為r；下安裝平臺的直徑為R；上安裝平臺的圓心為Ot，下安裝平臺的圓心為Ob；兩個平臺之間的高度為h；平臺之間通過6根支撐桿連接，支撐桿的長度為L；支撐桿連接點與上安裝平臺之間的夾角為2α；支撐桿連接點與下安裝平臺之間的夾角為2β；O點與Ot點之間的距離為hc。由以上參數(shù)即可以建立起一個Stewart平臺。

在微幅振動的條件下，含有基礎(chǔ)位移激勵的Stewart平臺的動力學(xué)方程如式（1）所示[23]：

式中：M為上安裝平臺的質(zhì)量矩陣；G為Stewart平臺的系統(tǒng)構(gòu)型矩陣，G=JTJ，J為系統(tǒng)Jacobian矩陣；X為上安裝平臺的位移矩陣；JC為下安裝平臺到上安裝平臺的Jacobian 運動傳遞矩陣；XB為基礎(chǔ)位移激勵矩陣；c為支撐桿的阻尼；k為支撐桿的剛度。

上安裝平臺的質(zhì)量矩陣M，如式(2)所示：

式中：m為包括載荷在內(nèi)的上安裝平臺的總質(zhì)量；I是其慣性張量矩陣，且I=Diag[Ix Iy Iz]。

上安裝平臺的位移矩陣X，如式(3)所示：

基礎(chǔ)位移激勵矩陣XXB如式(4)所示：

Stewart平臺的Jacobian矩陣J如式(5)所示：

式中：L為支撐桿的長度，且有：

矩陣中其余的參數(shù)分別為：

下安裝平臺到上安裝平臺的Jacobian運動傳遞矩陣JC如式(7)所示：

根據(jù)系統(tǒng)的Jacobian矩陣J，可以計算得其構(gòu)型矩陣G矩陣如式(8)所示：

式中各項參數(shù)分別為：

容易看出Stewart平臺的動力學(xué)方程中，x與β耦合，y與α耦合，z與γ均獨立。因此可以將矩陣方程進行分解，得到4個相互獨立的動力學(xué)方程。

計算得x-β方向耦合動力學(xué)方程如式(9)所示；yα方向耦合動力學(xué)方程如式(10)所示；z方向動力學(xué)方程如式(11)所示；γ方向動力學(xué)方程如式(12)所示：

1.2 等剛度解耦設(shè)計分析

先考慮一種最簡單的情況，即當(dāng)上下安裝平臺半徑相同，負載的質(zhì)心位于上下安裝平臺正中心，并且支撐桿的張角為90°(π/2)時Stewart平臺的動力學(xué)響應(yīng)。此時有：

易計算得σ7=σ8=0，在這種安裝情況下Stewart平臺不會發(fā)生耦合振動，各個方向的動力學(xué)方程均相互獨立。事實上這種結(jié)構(gòu)即為Geng 設(shè)計的立方體Stewart 平臺[24－26]，其特點是所有支撐桿兩兩相互垂直，設(shè)備質(zhì)心安裝于平臺的幾何中心處。由此可以保證所有方向完全解耦。當(dāng)然對于立方體Stewart平臺而言，因為必須保證設(shè)備的質(zhì)心在幾何中心并且支撐桿兩兩垂直才能解耦，不僅安裝難度較高，占用空間也很大，在很多場合中都難以應(yīng)用。因此在實際工程應(yīng)用中還需要考慮其他情況時Stewart 平臺的動力學(xué)狀態(tài)分析。

從式(9)及式(10)的耦合方程分析中可以得出：倘若要使平臺不發(fā)生耦合振動，即各個方向的動力學(xué)方程完全解耦，則需要滿足：

計算式(9)可以得到系統(tǒng)分別沿x與β方向的模態(tài)頻率如式(14)所示；計算式(10)可以得到系統(tǒng)分別沿y與α方向的模態(tài)頻率如式(15)所示：

計算式(11)得到沿z方向的模態(tài)頻率為：

計算式(12)得到沿γ方向的模態(tài)頻率為：

從計算結(jié)果可以看出如果要實現(xiàn)x向與y向等剛度，即x向與y向模態(tài)頻率相同，則應(yīng)保證：Ix=Iy，即平臺及設(shè)備都應(yīng)該關(guān)于z軸對稱。由前述分析，為了保證平臺不發(fā)生耦合振動，應(yīng)保證σ7=σ8=0，同時為了實現(xiàn)平臺在x向與z向等剛度，令ωx=ωz。代入式(14)與式(16)中，則有：

計算式(18)可得：

由此得到了各個方向解耦且三向等剛度的Stewart平臺設(shè)計準則，即在設(shè)計時應(yīng)使Stewart平臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式(19)。

2 Stewart平臺設(shè)計分析

2.1 隔振系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計

以某型光電吊艙為例研究Stewart 平臺參數(shù)對整個隔振系統(tǒng)性能的影響。吊艙的質(zhì)量為9.37 kg，其慣性特性如表1所示。

表1 某型光電吊艙慣性參數(shù)

在設(shè)計Stewart平臺時，一般平臺的最大安裝直徑2R以及安裝高度h會因為工程要求受到限制。此吊艙要求最大安裝直徑不超過0.5 m，安裝高度不大于0.1 m，設(shè)計R=0.24 m，h=0.1 m。同時設(shè)計上下平臺的支撐桿安裝角度分別為20°與50°。

將這些值代入式(19)中，通過計算可以得到Stewart平臺的各項設(shè)計參數(shù)如表2所示。

表2 Stewart平臺設(shè)計參數(shù)

2.2 隔振系統(tǒng)模態(tài)分析

依據(jù)計算所得設(shè)計參數(shù)建立光電吊艙隔振系統(tǒng)有限元分析模型，如圖2所示。

圖2 隔振系統(tǒng)有限元分析模型

分別根據(jù)式(14)至式(17)計算隔振系統(tǒng)的各個方向的模態(tài)頻率，并與有限元仿真分析結(jié)果進行對比，結(jié)果如表3所示。前6階有限元仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 隔振系統(tǒng)有限元分析結(jié)果

表3 隔振系統(tǒng)設(shè)計結(jié)果

結(jié)果顯示理論計算所得模態(tài)頻率與有限元仿真結(jié)果相吻合，二者之間最大誤差不超過0.30%.有限元結(jié)果顯示隔振系統(tǒng)在前6 階振動均相互獨立，沒有發(fā)生線振動與角振動的耦合現(xiàn)象。同時隔振系統(tǒng)前3 階模態(tài)頻率基本一致，實現(xiàn)了三向等剛度設(shè)計要求，三軸向的模態(tài)頻率差別不大于7.8%。

2.3 隔振系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分析

在有限元模型的軸向(z)與徑向(x、y)分別施加正弦激勵，分析隔振系統(tǒng)在各個方向上的傳遞函數(shù)。計算結(jié)果如圖4所示。

圖4 隔振系統(tǒng)傳遞函數(shù)曲線

有限元分析結(jié)果顯示：隔振系統(tǒng)沿著軸向(z)與徑向(x、y)的共振頻率接近，基本實現(xiàn)等剛度設(shè)計。徑向(x、y)已實現(xiàn)解耦設(shè)計，傳遞函數(shù)沒有角振動(β、α)帶來的2階響應(yīng)。

3 Simulink仿真分析及驗證

3.1 光電吊艙質(zhì)心對隔振系統(tǒng)的影響

光電吊艙與Stewart平臺共同組成隔振系統(tǒng)，吊艙的質(zhì)心位置對系統(tǒng)的性能有較大影響。系統(tǒng)完全解耦時，即使在共振時線振動也不會引起系統(tǒng)的角振動響應(yīng)。例如在Simulink 模型中在系統(tǒng)x向施加與x向共振頻率相同的定頻激勵(頻率為5.96 Hz，幅值為10 mm)，隔振系統(tǒng)的分析結(jié)果如圖5所示。

圖5 隔振系統(tǒng)正弦響應(yīng)結(jié)果(5.96 Hz,10 mm)

從分析結(jié)果可以看出：系統(tǒng)在5.96 Hz處振幅被放大；線振動響應(yīng)幅值為37.7 mm，放大倍數(shù)為3.77倍，同時角振動的幅值不超過1.5×10-5rad。可以認為線振動激勵沒有引起角振動響應(yīng)。當(dāng)進一步調(diào)整吊艙的質(zhì)心位置hc時，計算相應(yīng)的角振動響應(yīng)如圖6所示。

從圖6 可以看出：吊艙的質(zhì)心位置對隔振系統(tǒng)的解耦影響較大，質(zhì)心位置改變可以引起較大的角振動響應(yīng)。如果要使角振動響應(yīng)小于0.01 Rad(34.4′)，則質(zhì)心的位置公差不應(yīng)超過±2 mm。

圖6 hc對角振動振幅的影響

3.2 白噪聲中隔振系統(tǒng)的振動響應(yīng)

給Simulink 模型施加白噪聲隨機激勵時，計算的結(jié)果如圖7所示：其中圖7(a)為隔振系統(tǒng)徑向的振動響應(yīng)，圖7(b)為隔振系統(tǒng)軸向的振動響應(yīng)。圖中的灰色線條為白噪聲激勵，藍色線條為線振動響應(yīng)，紅色線條為角振動響應(yīng)。

圖7 白噪聲激勵下隔振系統(tǒng)的振動響應(yīng)

從圖中可以看出：系統(tǒng)的角振動響應(yīng)基本為0，說明系統(tǒng)已經(jīng)完全解耦，線振動激勵不會引起相應(yīng)的角振動響應(yīng)。隔振系統(tǒng)性能良好，隔振后系統(tǒng)的振幅已經(jīng)被很大程度地減弱了，衰減幅度超過78%。

4 結(jié)語

通過理論計算研究了Stewart 平臺隔振系統(tǒng)的設(shè)計方法，采用有限元仿真分析以及虛擬試驗對設(shè)計方法進行分析對比與驗證。

(1)經(jīng)過等剛度解耦設(shè)計之后的隔振系統(tǒng)可以有效地實現(xiàn)3 個方向上模態(tài)頻率相同且完全解耦。三軸向的模態(tài)頻率差別不大于7.8%，線振動引起的角振動的幅值不超過1.5×10-5rad。理論模型與仿真分析吻合度很高，驗證了模型的工程應(yīng)用價值。

(2)光電吊艙的質(zhì)心位置對隔振系統(tǒng)的解耦影響較大，質(zhì)心位置公差不超過±2 mm 時，耦合產(chǎn)生的角振動響應(yīng)可以基本滿足要求。

(3)所設(shè)計的隔振系統(tǒng)性能良好，可以有效地使振動衰減，振動衰減幅度超過78%，研究對光電吊艙隔振系統(tǒng)的設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義。由于目前試驗條件的限制，隔振系統(tǒng)的性能沒有在真實試驗中被測試，需要在今后工程實踐中進一步驗證。