聯(lián)系視角下的解題教學應突出的四個關注點

【摘 要】 聯(lián)系視角下的解題教學應突出以下四個關注點：一是關注問題之間的關聯(lián)，引導學生分門別類，整體研究；二是關注問題解決的方向，引導學生多元表征，聯(lián)系化歸；三是關注問題背后的立意，引導學生要想得多，要站得高；四是關注解題教學的價值，引導學生體會問題解決的一般規(guī)律與為人處事的聯(lián)系．

【關鍵詞】 聯(lián)系；解題教學;育人價值

“聯(lián)系”是深度學習的一個顯著特征，因此好的解題教學應該著力于讓學生學會主動“聯(lián)系”．首先，學會聯(lián)系地看問題．通過建立問題與問題、解法與解法的關聯(lián)，把相關的、類似的問題放在一起，從一個整體的視角出發(fā)進行研究；其次，學會聯(lián)系地想問題．通過將條件、結論進行多元表征，嘗試化歸，去溝通問題與解法之間的聯(lián)系，明晰問題解決的方向；然后，學會聯(lián)系地研究問題．通過將問題與經(jīng)典名題、科學前沿、歷史文化關聯(lián)，挖掘問題背后的“故事”，從高觀點看清問題背后的本質(zhì)和立意；最后，將問題解決聯(lián)系到人生思考．通過學生系列化的解題活動與體驗，站在育人的角度，凸顯教題教學在“人”的成長方面的價值.

1 理解問題之間的關聯(lián)

在疲于應付“題海戰(zhàn)術”的學生們的眼中，數(shù)學題總是以“個體”的姿態(tài)出現(xiàn)，一個個題目往往都是“孤立”的．于是，他們就深陷于“題目越做越多”的窘境．其實，數(shù)學題的“群體”現(xiàn)象十分普遍，關鍵是我們要學會分門別類，找到同類題或者相關題，將它們關聯(lián)起來，從整體上進行研究．

1.1 在形式上尋求統(tǒng)一

題1 二次函數(shù)y＝（x－1）（x－m＋1）（m是常數(shù)），當－2≤x≤0時，y＞0，則m的取值范圍為（? ）.

A．m＜0? ???B．m＜1C．0＜m＜1? D．m＞1

題2 已知函數(shù)y1＝x2－（m＋2）x＋2m＋3，y2＝nx＋k－2n（m，n，k為常數(shù)，且n≠0）．

若函數(shù)y1，y2的圖象始終經(jīng)過同一個定點M．

①求點M的坐標和k的值;

②若m≤2，當－1≤x≤2時，總有y1≤y2，求m＋n的取值范圍．

在題2中，易知k＝3．將其代入、變形、因式分解后，得y1－y2＝（x－m－n）（x－2）≤0．于是問題轉化為：當－1≤x≤2時，（x－m－n）（x－2）≤0，求m＋n的取值范圍．再將m＋n看成整體進行換元，發(fā)現(xiàn)兩道試題結構幾乎一致．

1.2 在解法上達成一致

題3 （2020年杭州）如圖1，已知AC，BD為圓O兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC中點，連接EF．

連接BF，DF，設OB與EF交于點P，求證：PE＝PF．

題4 （2020年上海）如圖2，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D．當AD＝2，CD＝3時，求邊BC的長．

在題3中，欲證PE＝PF，即證PE∶PF＝1∶1.在題4中，連結AO并延長交BC于點E，要求BC的長，關鍵在于求出AO∶OE，然后根據(jù)勾股定理求解．也就是說，兩道試題都是在求“一條線段上的比例”．通過圖形簡化，可分別得到圖3和圖4．雖然兩道中考題形式迥異，看似毫不相關，但最后都能化歸為同一個基本圖形．

好的解題教學就是要教會學生多角度尋找問題之間的關聯(lián)，將題目分門別類，整體研究，這樣才能使得效益最大化．

2 明晰問題解決的方向

解題教學應著眼于啟發(fā)、鍛煉學生的思維，教會學生分析問題．學生只有提升了分析解決問題的能力，才能真正實現(xiàn)教育之“教是為了不教”的根本目的．

2.1 多元表征

理解問題是明晰問題解決方向的前提，而關注問題的多元表征是理解問題的要點．數(shù)學多元表征是指數(shù)學學習對象的信息在心理活動中的多元化的表現(xiàn)和不同的記載方式．所謂理解就是要從不同的角度對同一個數(shù)學對象進行多元表征，建立知識之間的聯(lián)系．

題5 已知二次函數(shù)y＝－x2＋3mx－3n圖象與x軸沒有交點，則（? ）.

A．2m＋n＞43?? B．2m＋n＜43? C．2m－n＜43?? D．2m－n＞43

因為圖象與x軸沒有交點，且開口向下，所以拋物線始終位于x軸的下方．對應著這樣一個數(shù)學對象，能產(chǎn)生兩種不同的表征方式：①9m2－12n＜0，化簡得3m2＜4n；②－x2＋3mx－3n＜0恒成立．不同的表征對應著不同的思考方向．

表征①3m2＜4n，聚焦于m，n之間的已知關系．

思路1（特殊值）：當n＝1時，m可以取1，所以B和D排除；再取m＝－1，則A也排除．故只能選擇C．

思路2：2m－n＜2m－34m2＝－34（m－43）2＋43≤43，故有2m－n＜43．故選C．

表征②－x2＋3mx－3n＜0恒成立，聚焦于m，n最終的表達式．

思路3：將x＝2代入，有－4＋6m－3n＜0，化簡得2m－n＜43．故選C．

思路4：將表征②“－x2＋3mx－3n＜0恒成立”變形，得到“mx－n＜x23恒成立”，即直線永遠在拋物線下方．而2m－n的幾何意義就是直線y＝mx－n在x＝2時的函數(shù)值．根據(jù)圖象，易知2m－n＜43．

隨著數(shù)學學習的不斷深入，對同一數(shù)學對象所建立的聯(lián)系網(wǎng)絡也在逐漸擴大．到了高中，學生學習了“線性規(guī)劃”之后，對表征①又會有新的理解．

事實上，所謂入口寬、多解法的“好問題”往往就是因為它的條件或結論有多種表征方式．學生多元表征能力的高低將直接影響其解題水平的高低．2.2 嘗試化歸

明晰問題解決方向的總策略是嘗試化歸，即設法把我們面臨的復雜的、陌生的問題化歸為一個或者幾個簡單的、熟悉的問題．除了將條件、結論進行多元表征，等價變形外，常見的還有“從特殊到一般”，以及“分而治之”等方式．

題6 如圖5，正方形ABCD的邊長為2，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O相交于點F，連接CF并延長交AB于點E．則EF·FC＝．

解決題6的關鍵顯然在于確定點F的兩段圓弧上．當我們無法一下子明晰解題的方向時，可以嘗試通過添線補形對復雜問題分而治之，去尋找各個條件的“使用價值”．

①聚焦于半圓BFC．

如圖6，因為BC為直徑，所以∠BFC＝90°，而∠EBC＝90°，根據(jù)射影定理，得EF·FC＝BF2，于是只需求BF．又因為BC＝2，所以BF2＋FC2＝4．換言之，也可以求FC．而線段CF是半圓BFC的弦，圓中弦的長度怎么求？聯(lián)想“垂徑定理”，于是過點O作OM⊥CF于點M．

②聚焦于圓弧AC．

另一方面，如圖7，CF也是⊙D的弦．又回到求弦長的問題上，再次聯(lián)想“垂徑定理”，過點D作DN⊥CF于點N．

最后將兩條輔助線合二為一，如圖8所示．因為兩圓相交，根據(jù)對稱性，不難發(fā)現(xiàn)點M和點N重合．此時，又能在Rt△OCD中使用射影定理，從而求得所有線段的長度．

聚焦于兩個圓，得到兩個基本圖形，分兩條思路進行思考，雖然在每一個子問題中都沒有完全地解決問題，但將它們聯(lián)系在一起時，輔助線就自然生成了．當學生分析問題沒有方向時，不妨引導他們嘗試這種“化繁為簡，先分后總”的方法，逐漸把分析過程集成化、自動化，提升數(shù)學素養(yǎng)．

3 看清問題背后的立意

要讓教師也從“題?！敝薪饷摮鰜?，就必須拓廣教師的知識領域，提升教師的專業(yè)素養(yǎng)．克萊因認為，基礎數(shù)學的教師應該站在更高的視角來審視、理解初等數(shù)學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單．觀點越高，事物越顯得簡單［1］．解題教學要透過數(shù)學問題，看清題目的背景和立意，與經(jīng)典問題、科學前沿、歷史文化建立更廣泛的聯(lián)系，講好我們的“數(shù)學故事”．

3.1 只有想得多，才能看得透

題7 如圖9，點B，C在⊙A上，F(xiàn)是半徑AB的中點，連結CF交⊙A于點E，弦CD⊥AB，連結DE交AB的延長線于點G，證明：AB＝BG．若把點B固定，則點C可看成一動點，點D和點E隨之運動，但是無論怎么動，DE與AB的交點G又是不變的．解完題之后，教師要和學生一起回過頭來思考“為什么”，促使學生進行深度探究．若結論成立，不難發(fā)現(xiàn)△ACF∽△AGC，所以CF∶CG＝AC∶AG＝1∶2，是定值，即點C到兩定點F，G的距離之比為常數(shù)，所以點C的軌跡就是阿波羅尼斯圓.

對于學生而言，他們不需要掌握這個概念，但這種追求真理的探究精神能大大激發(fā)學生主動學習的興趣．多想想，究竟是什么條件在起作用，那根“牽著牛鼻子”的繩子在哪里．長此以往，學生解題的方向就明確了，主動學習的能力也提升了．

3.2 只有站得高，才能看得遠

題8 下列整數(shù)可以寫成三個非0整數(shù)的立方和：45＝；2＝．

2019年9月，人類首次將42寫成3個整數(shù)的立方和，至此得到下面的結論：除了9n±4型自然數(shù)外，所有100以內(nèi)的自然數(shù)都能寫成三個整數(shù)的立方和．這是一個古老數(shù)論問題的最新進展．十九世紀的數(shù)學家提出：如果給定整數(shù)k，是否存在整數(shù)x，y，z，滿足丟番圖方程：x3＋y3＋z3＝k．作為杭州市教師解題比賽的試題，命題人想表達的應該不僅僅是如何解決這個問題，而是想開闊初中數(shù)學教師的眼界，不能局限于課本中的內(nèi)容，要向數(shù)學發(fā)展的最前沿靠近，這樣才能站在更高的角度，引導學生走向數(shù)學的巔峰．

題目是需要研究的，教師解題研究能力的高低直接影響著學生對問題理解的深度．凡事多問幾個為什么，只有想得多，才能看得透問題背后的本質(zhì)；只有站得高，才能看得到問題背后的立意．

4 凸顯解題教學的價值

愛因斯坦說：“教育就是當一個人把在學校所學的全都忘光之后剩下的東西．”此時，剩下的就是“為人處事”的方式方法了［2］．當我們把解題教學與做人做事的方式聯(lián)系在一起思考時，不免會發(fā)現(xiàn)解題中所使用的基本思想、基本策略，同樣也是我們“為人處事”之道，從而真正凸顯出解題教學的價值.

4.1 從未知到已知，熟悉了，就好辦了

所謂難題，很多時候只是因為它很陌生．腦科學的研究告訴我們?nèi)祟愖钕矚g的就是通過發(fā)現(xiàn)事情的相似性建立起聯(lián)系，然后用相似的方法做不同的事情．面對一個陌生的數(shù)學題，就要嘗試去從中找到熟悉的結構，盡可能調(diào)取已有的知識、經(jīng)驗與方法，進行多元表征，嘗試等價變形，進行化歸等等．從未知到已知，熟悉了，就好辦了.這就叫“關聯(lián)”．

4.2 變繁雜為簡單，能簡化一點，就好了

遇到復雜的、困難的問題，就要分步、分類地去完成．從簡單的情形入手，從特殊的情形入手，把問題轉化得明白一點，簡單一點，往往是解決問題的關鍵．回想一下，我們對題2進行等式變形、因式分解、整體換元等簡化操作之后，竟然與題1一模一樣；在對題3和題4的圖形進行簡化后，也得到了同樣的基本圖形；當然還有題6輔助線的獲得也并非一蹴而就，而是對問題的逐層剝離，一步步簡化而來．變繁雜為簡單，能簡化一點，就好了.這就叫“化歸”．

4.3 由雞智到機智，記住那只雞的教訓

《怎樣解題》的最后講了一個心理學試驗：一只被困在三面圍有籬笆的場地里的餓雞，見到籬笆外的食物就拼命鉆籬笆但又不得，直至筋疲力盡．波利亞用這只餓雞在提醒我們：解題時切勿鉆牛角尖，別像那只雞一樣“執(zhí)著”．

無論是理解問題之間的關聯(lián)、明晰問題解決的方向，還是看清問題背后的立意，都在倡導我們要多元地、聯(lián)系地、整體地看待問題．不要拘泥于一條思路、一種方法．當一條思路、一種方法遇到較大阻撓時，應立即改換門庭，另尋它路．應相信“條條大路通羅馬”．由雞智到機智，要記住那只雞的教訓.這叫做“規(guī)劃”．

參考文獻

［1］菲利克斯·克萊因．高觀點下的初等數(shù)學（第一卷）［M］．舒湘芹，陳義章， 楊欽樑，譯.上海：復旦大學出版社，2008．

［2］蘇建強．幾何解題教學應突出的三個關注點［J］．中學數(shù)學教學參考（中旬），2019（04）：48-51．

作者簡介 楊燦權（1990—），男，浙江杭州人，中學一級教師;省級工作室學科帶頭人，杭州市初中數(shù)學核心組導師，多次開設市級公開課和講座，獲得市優(yōu)質(zhì)課、解題、說題、論文、案例等多個一等獎;主要研究中學數(shù)學教育，發(fā)表論文多篇．