?甘肅省張掖市山丹縣第二中學 呂時英

新課標對課程資源有著明確的定義，這個定義僅局限于課程的顯性層面，如文本資源、多媒體、社會資源、生成性資源或環(huán)境與工具等，而對于數學課程的隱性資源卻沒有明確的定義或描述，如我們常接觸的文化元素、邏輯元素、生成元素等.這些隱性資源在我們日常的教學實施過程中，卻客觀、真實地存在.為此，筆者作了一定的探索，以期與同行交流.

1 隱性課程資源的發(fā)展與特點

美國教育學家杜威早在《經驗與教育》中就提到過“連帶學習”，提出學習者在學習中會不由自主地產生一種情感態(tài)度與價值觀.隨后，杰克遜(P.W.Jackson)在他的《班級生活》中首次提出“隱性課程”一詞.之后，我國在《教育大辭典》中對此給出明確定義：隱性課程資源是指在課程計劃及學校政策中沒有明文規(guī)定，而又真實存在的非正式或無意識的教學資源，它與“顯性資源”呈相對的關系.

隱性課程資源的主要特點：①具有普遍性、持久性與彌漫性；②對教學會產生積極或消極影響；③對學生會產生有意識與無意識的辯證統(tǒng)一性影響；④對課程會產生學術性與非學術性辯證統(tǒng)一性影響；⑤實現課堂可預期與不可預期的統(tǒng)一；⑥這種資源廣泛地存在于家庭、學校與社會中.

從這些特點來看，我們在課堂教學實施過程中，除了要運用好顯性課程資源之外，還要注意優(yōu)化學生的學習與生活環(huán)境，重視學生學習過程中的心理狀態(tài)，充分利用好這些隱性課程資源，完善學生的思維品質與人格，為發(fā)展學生的核心素養(yǎng)奠定基礎.

2 隱性課程資源的開發(fā)與利用

2.1 依托知識背景，形成數學眼光

數學知識的形成，都是源自現實生活中事物的抽象，每個知識背后都有龐大的生活作為形成背景，這些生活背景則構成了良好的隱性課程資源.數學源于生活，而又應用于生活的特點，決定了教育者應充分挖掘和利用好這些資源，讓學生學會用發(fā)展的眼光看待自己的生活與整個世界，實現數學問題與生活問題的靈活轉化.

圖1

例1如圖1，一輛汽車前后兩個輪胎的圓心連線，恰好是該車底盤所在的直線，已知該車前后兩輪胎的半徑都是60 cm，圓心距PQ為260 cm，前輪的圓心為點P，它與底盤最前端點M相距80 cm，若該車準備駛過一個高80 cm的臺階(OA).

圖2

(1)如圖2，想確保汽車前輪順利通過臺階，可建斜坡AB，則該坡角α最大可設置多少度？

(2)在(1)的基礎上，不考慮車尾，該車是否可以順利通過？

這是很多人在生活中都會遇到的問題，學生對這個場景有著深刻體驗.要讓初中階段的學生將這個具體的生活問題直接轉化為數學問題并順利解決，的確存在一定的難度.而生活問題又是隱性課程資源的重要來源之一，因此教師在這方面應多加引導，幫助學生一起將鮮活的生活實例抽象、提煉成課堂中的數學知識.如此不僅能有效地提升學生的轉化思想，還能培養(yǎng)學生用發(fā)展的眼光看待這個美妙的大千世界.

2.2 領悟知識文化，獲得數學思想

我們都有這樣的體會：所學知識若一直沒機會使用，時間久了就會生疏、遺忘，但學習過程中形成的數學思維、推理方法、研究模式以及看待問題的眼光等，卻不會因為時間的推移而發(fā)生變化，它就像根植于我們大腦中一樣，永不褪色.因此，數學教學不僅僅是知識的傳授，更重要的是能力、思想方法的培養(yǎng)，這才是促進一個人形成終身可持續(xù)性發(fā)展的保障.

初中階段接觸到的數學思想比較多，分別有化歸、函數、方程、整體、分類討論、數形結合以及猜想論證等.其中，最基本且中學生接觸最多的是數形結合思想.代數與幾何是構成初中數學的兩個模塊，教學中將抽象的數與直觀的形有機結合于一體，可幫助學生建構更為完善的認知體系.數學文化體現了知識的形成與發(fā)展過程，它是學生形成良好數學思想的催化劑.

圖3

(1)寫出該拋物線的解析式與頂點D的坐標；

(2)猜想△ABC的形狀，并證明；

(3)若點M(m,0)為x軸上的動點，當CM+MD的值最小時，求m的值.

這是一道綜合性較強的題目，學生乍眼看到此題都覺得難度很大.其實，本題隱含著一個重要的解題資源，即“將軍飲馬”.若朝這個方向去思考，本題倒也沒有想象中的那么難.

分析：(1)先將點A的坐標代入解析式，求出b值，可得拋物線的解析式；再用配方法獲得頂點D的坐標.

(2)利用勾股定理的逆定理可證得△ABC為一個直角三角形.即先由拋物線的解析式獲得點B和點C的坐標，以此推算出AB，BC，AC的長度，可得AB2=AC2+BC2，由此可證.

(3)以x軸為對稱軸，作點C的對稱點C′，連接DC′并與x軸相交于點M，依照“兩點之間，線段最短”，可知CM+DM的值最小.只要求出直線DC′的解析式，即可求得點M的坐標，此時m的值也就自然揭曉了.

一道看似復雜的綜合題，挖掘出其中隱含的資源(將軍飲馬)，問題則迎刃而解.這是典型的數學文化對數學解題產生的深遠影響.歷史上，經典的將軍飲馬問題不僅促進了數學史的發(fā)展，還讓學習者從中獲得相應的數學思想，這種數學思想為解決各種問題提供了幫助.

2.3 感受知識形成，拓展數學思維

知識的形成需經歷一個過程，此過程中會涉及到例題拓展、變式訓練以及錯題訓練等，這些都是課堂重要的生成性資源，也是典型的隱性課程資源.只要教師做個“有心人”，注重知識的挖掘，即可讓這些過程性資源成為良好的教育資源，為數學思維的拓展奠定基礎.

例3已知點M為正方形ABCD的BC邊上任意點(不含B，C)，點P為BC延長線上的點，點N為∠PCD角平分線上的點.如果∠NMA為直角，求證：MA=MN.

圖4

教師引導學生進行證明：如圖4，在AB邊上截取EA=MC，連結EM.根據題設條件可知∠BCD=∠B=90°，AB=CB，則∠CMN=180°-∠AMN-∠BMA=180°-∠B-∠BMA=∠MAB=∠MAE.

到此步，接下來的證明并不困難，教師鼓勵學生自主完成.在學生順利解題后，為了拓展學生的數學思維，要求學生以此題為母胎，自主編制變式問題.學生提出：

圖5

變式1如圖5，將原來的四邊形改為“正△ABC”，點N為∠PCA的角平分線上的一點，當∠NMA=60°時，MA=MN的結論成立嗎？為什么？

該生話音剛落，就有學生提出新的問題.此時，課堂探究氣氛尤為濃厚，整個課堂處于研討的高潮階段，新的課程資源也由此生成.

變式2如果將原題中的正方形改為“正n邊形ABCDE……”，當∠NMA為多少度時，MA=MN的結論依然成立嗎？

變式訓練的應用隨著新課改的推進，越來越受到廣大師生的關注，它對課堂生成性資源的積累與創(chuàng)設具有重要影響，這不僅是一種知識的拓展，還體現了思維的靈活性.學生先從表層創(chuàng)設生成，由表及里，再從解決問題的策略上進行化歸.學生在豐富的變式構建中拓寬視野、優(yōu)化思維，為創(chuàng)新能力的形成奠定基礎.

總之，隱性課程資源存在于課堂的每個角落，作為教師應意識到它的重要性，從它的特點出發(fā)，結合新課標的要求，營造良好的課堂氛圍，讓學生在數學知識的背景中，形成良好的思維品質與世界觀，在充滿文化底蘊的數學史中，獲得良好的數學思想.Z