劉 娟，潘玉榮，張子振

（1.蚌埠學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

在新冠疫情持續(xù)蔓延的背景下， 關(guān)于傳染病的研究已受到世界各國的重視， 醫(yī)學(xué)科學(xué)的最新研究成果已幫助人們更好地控制了疫情的傳播。

在研究生物數(shù)學(xué)過程中， 人們常常利用數(shù)學(xué)模型研究一些生物現(xiàn)象， 利用動力學(xué)思想研究傳染病的傳播規(guī)律， 數(shù)學(xué)模型已成為分析疾病傳播的有效工具［1-2］。

最近， 一些學(xué)者利用數(shù)學(xué)模型分析了傳染病的傳播狀況， 從數(shù)學(xué)的角度提出控制傳染病傳播的建議。 朱晶［3］研究了基于Logistic 增長和心理作用的SIR 傳染病模型，討論了模型解的漸近行為。 在SIR傳染病模型中， 要求恢復(fù)者對疾病具有永久的免疫力，這顯然不符合實際情況，原因是感染者康復(fù)后仍有可能再次被感染。 王俊榮等［4］、李小妮等［5］和李文軒等［6］提出了更符合實際的SIRS 傳染病模型。 考慮到傳染病具有潛伏期，一些學(xué)者在SIR 和SIRS 傳染病模型的基礎(chǔ)上，通過引入潛伏者狀態(tài)研究了SEIR傳 染 病 模 型［7-8］和SEIRS 傳 染 病 模 型［9-10］。 但 以 上 研究涉及的傳染病模型均忽略了潛伏者和感染者的移民特征。 例如，艾滋病和新冠肺炎都具有移民特征，盡管各國對出入境人員采取了疫情防控措施， 但仍有少量感染者會進入這些國家。 為此，Khan 等［11］提出并研究了易感者、 潛伏者和感染者均具有常數(shù)移民特征的SEI 傳染病模型

1 Hopf 分岔的存在性

2 分岔周期解的性質(zhì)

3 數(shù)值仿真

選取參考文獻［11］中的參數(shù)BS= 0.6,BE=0.1,BI= 0.3,μ= 0.026,γ= 0.1,β=0.001,可得模型（2）的特例

圖1 τ=16.586 8時模型（30）的局部漸近穩(wěn)定性

當(dāng)τ＞τ0= 18.509 7時，模型（30）在P*(12.186 7,3.040 8,23.234 0)是非局部漸近穩(wěn)定的，且產(chǎn)生Hopf分岔。 仿真效果如圖2 所示。 通過計算可得λ′(τ0) = 0.004 39 ? 0.000 26i,C1(0)= ? 0.000 69+0.029 46i。根 據(jù)式（29）可以得到μ2= 0.157 17 ＞0,β2=?0 .001 38＜ 0,T2=? 0.00176 ＜0。因此由定理2可知，模型（30）在τ0=18.509 7處產(chǎn)生的Hopf 分岔是超臨界的，分岔周期解是穩(wěn)定遞減的。

圖2 τ =21.495 3時模型（30）的非穩(wěn)定性

4 結(jié)論

在本文中，我們研究了一類易感者、潛伏者和感染者都具有移民特征的時滯SEI 傳染病模型， 將疾病的潛伏期時滯作為分岔參數(shù)， 導(dǎo)出了模型局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf 分岔的充分條件，還研究了分岔周期解的方向、穩(wěn)定性及周期大小，通過仿真示例驗證了所得結(jié)果的正確性。

本文的研究結(jié)果表明， 當(dāng)疾病的潛伏期時滯較?。ǖ陀谂R界值τ0）時，模型處于理想的穩(wěn)定狀態(tài)，這有利于疾病傳播的控制。 當(dāng)潛伏期時滯超過臨界值τ0，模型將處于非穩(wěn)定狀態(tài)，并產(chǎn)生Hopf 分岔，模型中的易感者、潛伏者和感染者將進入周期震蕩狀態(tài)，這不利于疾病傳播的控制。