概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的線上線下混合式教學(xué)模式探討和實(shí)踐
——以蘇州大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院為例

孫唯唯

（蘇州大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215325）

1 教改的背景與意義

以蘇州大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院為例，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門通識(shí)課程，面向商學(xué)院和工學(xué)院所有專業(yè)，選用同一本教材，并采用相同的教學(xué)大綱、教學(xué)進(jìn)度表和考核方式。課程一般開設(shè)在大學(xué)一年級(jí)，工科專業(yè)是在大學(xué)二年級(jí)開設(shè)。

1.1 不同專業(yè)大類的課程教學(xué)成績(jī)差距較大

通過近幾年的教學(xué)成績(jī)分析，發(fā)現(xiàn)商科和工科在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的學(xué)習(xí)效果上的差距越來越大[1]。從學(xué)院教務(wù)處2018―2021 該課程的考試成績(jī)數(shù)據(jù)分析（剔除對(duì)口單招和專升本專業(yè)），近四年工學(xué)院學(xué)生的平均及格率比商學(xué)院學(xué)生高出近21.3%。

通過課后章節(jié)習(xí)題的練習(xí)情況分析，從第二章第三節(jié)《連續(xù)型隨機(jī)變量》開始，商科學(xué)生的整體情況較工科學(xué)生的差距開始凸顯。并且在概率論后續(xù)章節(jié)中，但凡涉及連續(xù)型隨機(jī)變量的知識(shí)章節(jié)，比如第二章第四節(jié)中的《一維連續(xù)性隨機(jī)變量的函數(shù)的分布》、第三章《多維隨機(jī)變量中有關(guān)多維連續(xù)性隨機(jī)變量》的練習(xí)中，兩個(gè)專業(yè)學(xué)生的差距逐漸增大。

雖然一門課程的學(xué)習(xí)效果不能僅從考試成績(jī)或習(xí)題練習(xí)情況來唯一判定，但是上述四年的考試成績(jī)數(shù)據(jù)從另一個(gè)側(cè)面反映了一個(gè)不可忽略的事實(shí)：商科和工科學(xué)生在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的整體學(xué)習(xí)效果上有較大差距。

1.2 不同專業(yè)大類在教學(xué)過程中學(xué)習(xí)興趣差別較大

雖然老師在教學(xué)設(shè)計(jì)中，根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)的不同選取了具有針對(duì)性的教學(xué)案例，但是不同專業(yè)大類學(xué)生的整體學(xué)習(xí)興趣在第二章《連續(xù)性隨機(jī)變量》的教學(xué)活動(dòng)后差距較明顯。主要體現(xiàn)在課后作業(yè)是否能及時(shí)完成、課后布置的預(yù)習(xí)任務(wù)是否完成。

2 教學(xué)反思和教學(xué)研究

2.1 “概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程的特點(diǎn)分析

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是一門課程，卻又是兩門學(xué)科的結(jié)合體。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是概率論的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容安排是先完成概率論部分的學(xué)習(xí)，再進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分的學(xué)習(xí)。所以如果學(xué)生在概率論階段的學(xué)習(xí)效果不扎實(shí)，就會(huì)嚴(yán)重影響數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分中概率論原理的應(yīng)用。

概率論的學(xué)習(xí)雖然是以研究隨機(jī)現(xiàn)象為主，有其公理化體系，但其發(fā)展和延伸離不開高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的微積分工具，在具體計(jì)算和處理方法上仍然以微積分工具為主。特別體現(xiàn)在連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，這是微積分思想的體現(xiàn)和應(yīng)用，也是學(xué)生們學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，更是不同專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一個(gè)分水嶺。

2.2 “概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程所需的數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”雖然與“高等數(shù)學(xué)”是兩門課，但是要能正確理解概率論中的連續(xù)性隨機(jī)變量的概念，學(xué)生必須深刻理解高等數(shù)學(xué)中的微積分思想并能靈活應(yīng)用。

例如，在學(xué)習(xí)第二章《連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)》之前，要求學(xué)生對(duì)定積分的概念、數(shù)學(xué)計(jì)算方法（牛頓萊布尼茨公式）、幾何計(jì)算方法（不規(guī)則圖形的面積）、變限積分求導(dǎo)等知識(shí)非常熟悉。如果學(xué)生只會(huì)定積分的簡(jiǎn)單計(jì)算，對(duì)定積分的概念和幾何意義不熟悉，則無法深刻理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系。再例如，在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的期望時(shí)，直接引用了高等數(shù)學(xué)里的無窮限積分。這要求學(xué)生靈活調(diào)用微積分的知識(shí)來解決概率計(jì)算問題，從學(xué)生的角度而言這是一個(gè)不小的難題。

2.3 工學(xué)院和商學(xué)院的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差異

在學(xué)習(xí)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”之前，商學(xué)院學(xué)生先修了“高等數(shù)學(xué)”課程。此課程大綱僅要求學(xué)生了解定積分的概念、了解定積分的幾何意義，了解定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用。在二重積分中只要求會(huì)簡(jiǎn)單計(jì)算，并不要求掌握二重積分的概念和應(yīng)用。

工學(xué)院學(xué)生先修了“高等數(shù)學(xué)（一）（上）”“高等數(shù)學(xué)（一）（下）”兩門課程?！案叩葦?shù)學(xué)（一）（上）”的大綱要求學(xué)生理解并掌握定積分的概念、幾何意義，熟練運(yùn)用定積分的元素法來解決相關(guān)幾何問題?！案叩葦?shù)學(xué)（一）（下）”從二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分等多維度多角度地延伸和拓展“高等數(shù)學(xué)（一）（上）”中的微積分思想、應(yīng)用和計(jì)算。

從教學(xué)大綱的對(duì)比分析可知，工學(xué)院學(xué)生的微積分基礎(chǔ)從整體來講較商學(xué)院學(xué)生扎實(shí)，不僅體現(xiàn)在微積分計(jì)算，更體現(xiàn)在對(duì)積分思想的理解和應(yīng)用。所以在概率論中涉及微積分思想和計(jì)算的相關(guān)章節(jié)時(shí)，工學(xué)院學(xué)生較商學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)效果的差距就體現(xiàn)出來了[2]。

3 教學(xué)改革探討和實(shí)踐

3.1 教學(xué)改革措施

針對(duì)上述情況，采取了實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容、方法和手段的改革，將“線上線下”教學(xué)模式和精品課程資源結(jié)合起來。教學(xué)團(tuán)隊(duì)主持的校級(jí)教改項(xiàng)目“‘概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)’課程線上線下混合式教學(xué)探討和實(shí)踐”，依托學(xué)習(xí)通教學(xué)平臺(tái)，完成了線上視頻制作、練習(xí)題錄入等工作，為網(wǎng)絡(luò)資源建設(shè)做好充分準(zhǔn)備[3-4]。

3.1.1 線上資源建設(shè)

本課程總學(xué)時(shí)為48 學(xué)時(shí)，根據(jù)教學(xué)大綱將內(nèi)容分成50 個(gè)知識(shí)單元，并分別錄制了視頻。在錄制線上視頻時(shí)，采用雙屏錄制，既有課件PPT 的展示，又有實(shí)時(shí)的手寫板書，這樣更方便學(xué)生在觀看視頻時(shí)清楚理解計(jì)算步驟。

①每個(gè)章節(jié)都設(shè)置了“本章要點(diǎn)、典型例題及自測(cè)題”，讓學(xué)生從整體上把握整個(gè)章節(jié)的知識(shí)脈絡(luò)，并進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練。線上作業(yè)題設(shè)置緊貼教學(xué)大綱中的知識(shí)點(diǎn)，但有難度區(qū)分，可供不同程度的學(xué)生進(jìn)行選擇性練習(xí)。

②每個(gè)章節(jié)還設(shè)置了“課程知識(shí)案例”，比如第一章《隨機(jī)事件與概率》的應(yīng)用案例“彩票問題-七樂彩”，這是與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)度較大，比較能夠吸引學(xué)生的問題。雖然學(xué)生的直觀感覺是中獎(jiǎng)概率較低，但對(duì)“有多低”的定量表述是沒有概念的。在應(yīng)用案例中，運(yùn)用學(xué)到的概率論知識(shí)分析得到中獎(jiǎng)概率的準(zhǔn)確數(shù)值，用數(shù)學(xué)的方法來再次驗(yàn)證日常經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體會(huì)到所學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的用處，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

又比如第四章《大數(shù)定律與中心極限定理》，在線下課程中由于課時(shí)有限，教學(xué)內(nèi)容只能覆蓋理論知識(shí)，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)后難免覺得枯燥無聊。線上課程提供的應(yīng)用案例“保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)問題”，可以很好地體現(xiàn)此理論知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。案例提出的問題也是學(xué)生比較感興趣的：保險(xiǎn)已經(jīng)深入我們的日常生活，隨處可見保險(xiǎn)推銷，保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)究竟是否可觀？在案例中，通過中心極限定理計(jì)算出保險(xiǎn)公司幾乎不會(huì)虧本，在案例中的盈利概率為71.9%。

3.1.2 混合式教學(xué)實(shí)施

第一，混合式教學(xué)實(shí)施的背景。

比如第二章第三節(jié)《一維連續(xù)性隨機(jī)變量的概念》是建立在定積分概念的幾何背景上的，其概率密度函數(shù)也是用微積分的符號(hào)來定義的。對(duì)于工科學(xué)生，微積分基礎(chǔ)整體相對(duì)扎實(shí)，對(duì)于定積分思想的理解和應(yīng)用不論從廣度還是深度都比商科學(xué)生有優(yōu)勢(shì)，所以教學(xué)內(nèi)容的安排可以從第二節(jié)《離散型隨機(jī)變量》直接過渡到第三節(jié)《連續(xù)性隨機(jī)變量》。但商科的學(xué)生由于微積分基礎(chǔ)薄弱，面對(duì)相同的教學(xué)進(jìn)度則出現(xiàn)了嚴(yán)重的學(xué)習(xí)困難，所以這樣的教學(xué)安排對(duì)于商學(xué)院的學(xué)生很不合適。但由于課時(shí)是有限的，不可能單獨(dú)拆分出額外的課時(shí)為商科學(xué)生進(jìn)行定積分復(fù)習(xí)。

第二，混合式教學(xué)實(shí)施的過程。

以第二章一維隨機(jī)變量為例。針對(duì)商科學(xué)生，在完成《一維離散型隨機(jī)變量》的學(xué)習(xí)后，要求學(xué)生課后完成線上教學(xué)平臺(tái)的“定積分復(fù)習(xí)”模塊。

復(fù)習(xí)模塊共有5 個(gè)視頻，分別是模塊1 定積分的幾何概念、模塊2 牛頓萊布尼茨公式、模塊3 定積分的計(jì)算、模塊4 無窮限積分的概念、模塊5 無窮限積分的計(jì)算。這5 個(gè)模塊將一維連續(xù)性隨機(jī)變量小節(jié)中所有與定積分相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)都單列出來進(jìn)行強(qiáng)化復(fù)習(xí)，商科學(xué)生可以利用較短的時(shí)間快速且有針對(duì)性地復(fù)習(xí)定積分相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于基礎(chǔ)較好的工科學(xué)生，可以作為一個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)回顧。

在與計(jì)算能力相關(guān)的模塊中，還精心設(shè)計(jì)了將概率論等知識(shí)融合在內(nèi)的習(xí)題訓(xùn)練。其中模塊1 定積分的幾何概念中，配套基礎(chǔ)練習(xí)1“已知F x 求其斜率函數(shù)f x ，并畫圖”；模塊2 定積分的計(jì)算中，配套基礎(chǔ)練習(xí)2“積分計(jì)算(湊微分)”、基礎(chǔ)練習(xí)3“積分計(jì)算(定積分的性質(zhì))”；模塊5 無窮限積分的計(jì)算中，配套基礎(chǔ)練習(xí)4“積分計(jì)算(無窮限積分)”、基礎(chǔ)練習(xí)5“已知F x 的斜率函數(shù)f x ，求F x”。這些題型是特別針對(duì)概率論中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，學(xué)生在完成這些習(xí)題的同時(shí)既能復(fù)習(xí)定積分的知識(shí)，又可以提前熟悉一些概率論特有的表達(dá)形式。

線上學(xué)習(xí)平臺(tái)開通了討論區(qū)不定期回答學(xué)生的疑問。針對(duì)完成情況較差的模塊，會(huì)進(jìn)行線上直播講解例題。所有這些教學(xué)活動(dòng)，都是在線上完成，每個(gè)同學(xué)都可以根據(jù)自己的情況來靈活調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)和學(xué)習(xí)時(shí)間。根據(jù)線上視頻的學(xué)習(xí)和習(xí)題的訓(xùn)練效果，評(píng)估學(xué)生定積分知識(shí)復(fù)習(xí)的情況，當(dāng)線上學(xué)習(xí)效果評(píng)估過關(guān)后，在按照教學(xué)進(jìn)度表在線下課程講授《一維連續(xù)型隨機(jī)變量》。

這樣線上線下混合式教學(xué)很好地彌補(bǔ)了因?yàn)椴煌瑢I(yè)定積分基礎(chǔ)程度不同而帶來的學(xué)習(xí)效果的差異性[5]。

3.1.3 考評(píng)模式創(chuàng)新

增加線上學(xué)習(xí)的過程考核，作業(yè)點(diǎn)評(píng)等環(huán)節(jié)，以線下課程的筆試考核及平時(shí)作業(yè)評(píng)測(cè)為輔的方式進(jìn)行，全方面考核學(xué)生的綜合素質(zhì)。

3.2 教學(xué)效果分析

在重修班的試點(diǎn)教學(xué)中，在學(xué)習(xí)通平臺(tái)線上開課2 輪次，累計(jì)學(xué)習(xí)人數(shù)近500 人。采用線上線下混合式教學(xué)方式，取得了非常好的教學(xué)效果。從章節(jié)小結(jié)測(cè)試的情況分析，第二章的章節(jié)測(cè)驗(yàn)中商科和工科的均分差距在逐漸縮小。從考試成績(jī)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)上看，重修班中商科學(xué)生的及格率較之前明顯上升，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性也比較高。

4 綜述

教學(xué)團(tuán)隊(duì)從概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，進(jìn)行教學(xué)改革。從線上視頻資源、作業(yè)題等方面進(jìn)行了全面的建設(shè)，利用上述教學(xué)資源，采用線上線下混合式教學(xué)方式，對(duì)比重修班的成績(jī)，發(fā)現(xiàn)混合式教學(xué)方式對(duì)不同專業(yè)大類的學(xué)習(xí)效果差距起到了很好的彌補(bǔ)作用。

在教學(xué)過程中，對(duì)教學(xué)對(duì)象的研究始終是教師進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)最重要的前提，特別是應(yīng)用型本科院校中的通識(shí)類數(shù)學(xué)課程[6-7]。在教學(xué)大綱、教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)內(nèi)容、考核內(nèi)容均一致的情況下，任課教師更要根據(jù)實(shí)際課程教學(xué)情況來研究不同專業(yè)大類的教學(xué)對(duì)象，分析教學(xué)效果差異的原因，進(jìn)行教學(xué)反思，調(diào)整教學(xué)方向和方法，更新教學(xué)手段，提高通識(shí)類數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量。