數(shù)學分析證明中的截斷技巧

王洪慶 王亞男 蘇莉

摘要：在數(shù)學分析中，當我們要證明一個問題時，有了正確的思路后，還常常要根據(jù)不同的對象和題設(shè)中的條件采取不同的處理方法，以實現(xiàn)證明的目標，本文對截斷的處理方法和技巧進行了總結(jié)和提煉。

關(guān)鍵詞：數(shù)學分析；截斷；極限；一致收斂

中圖分類號：TB文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2022.22.108

1截斷方法的概念

我們常常要在某些條件下，證明無窮區(qū)間上的函數(shù)或無窮多個函數(shù)的和函數(shù)具有某些性質(zhì)。例如，一個實數(shù)軸上處處連續(xù)的函數(shù)，如果當自變量趨于無窮大是有有限的極限，那么它一定有界；如果函數(shù)項級數(shù)的每一項當自變量x→x0時有極限，并且這個極限在包含x0的某個區(qū)間上一致收斂，那么這個函數(shù)項級數(shù)的和的極限等于各項極限的和等。在證明這類問題時，我們的基本依據(jù)是有限區(qū)間上的函數(shù)或有限多個函數(shù)的和所具有的相關(guān)性質(zhì)，同時還要根據(jù)給定的條件對無窮區(qū)間或無窮級數(shù)進行截斷處理（如何進行具體的截斷則要根據(jù)不同的問題做具體的分析）。我們把這種處理方法稱為截斷。

2截斷技巧的案例研究

例1設(shè)函數(shù)f（x）∈C（-∞，+∞），且limx→∞f（x）=l（其中l(wèi)為有限數(shù)）。求證：f（x）在（-∞，+∞）上有界。

分析由于limx→∞f（x）=l，根據(jù)局部有界性可知，存A>0使f（x）在（-∞，-A）和（A，+∞）上有界。而在-A，A上可以從f（x）是連續(xù)函數(shù)這一條件獲得其有界性。

證明對ε=1，A>0，當x>A時，有f（x）-l<1，從而

f（x）<1+lx>A。

又因為f（x）在（-A，A）上連續(xù)，所以M1>0，使得

f（x）≤M1x>A。

取M=maxM1，1+l，則對一切x∈（-∞，+∞），有f（x）≤M，證明完畢。

例2設(shè)un（x）（n=1，2，…）在（x0-δ，x0+δ）內(nèi)有定義（在點x0也可以沒有定義），limx→x0un（x）=ln，ln是有限數(shù)，且∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收斂，求證：limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln。

分析現(xiàn)在面臨兩個問題需要解決：

（1）證明∑∞n=1ln收斂。

（2）證明等式limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln成立。

第（1）個問題由Cauchy收斂原理不難解決。解決第（2）的問題的困難在于項數(shù)的無限多，因為極限運算法則只能保證有限多個函數(shù)和的極限等于它們極限的和。這就需要對無窮和進行截斷處理，把它截成項數(shù)足夠多的有窮多項和其余的去窮多項（即級數(shù)的“尾巴”），然后分別進行考慮，即

∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-∑Nn=1ln+∑∞n=N+1un（x）-∑∞n=N+1ln

我們的目的是證明當x充分靠近x0時，上面的不等式的左邊能夠任意小。這就要分析右邊的情況，而右邊的第一項根據(jù)“有限和的極限等于期各項極限的和”這一法則，要它當x→x0時能任意小時容易辦到的；第二項是兩個收斂級數(shù)的“尾巴”，其中∑∞n=N+1ln是收斂技術(shù)的“尾巴”，只要N選的足夠大，它就能任意小，而且與x無關(guān)；另一項∑∞n=N+1un（x）是一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的“尾巴”，只要N足夠大，它也能任意小，并同樣與x無關(guān)。于是問題就不難解決了。至于N如何選取，這就要依賴于正數(shù)ε。

證明對ε>0，由于∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收斂，根據(jù)Cauchy收斂原理，N∈z+，當n>N時，對p∈z+，有

un+1（x）+un+2（x）+…un+p（x）<ε，

令x→x0，就得到

ln+1（x）+ln+2（x）+…ln+p（x）≤ε。

再由Cauchy收斂原理可知∑∞n=1ln收斂。

接下來，取定一個充分大的N∈z+，使得

∑∞n=N+1ln<ε3，∑∞n=N+1un（x）<ε3 x∈（x0-δ，x0+δ）。

由limx→x0un（x）=ln （n=1，2，…）可知，對上述的ε>0，δ1>0（δ1<δ），當0

un（x）-ln<ε3N，（n=1，2，…，N）

從而

∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-ln+∑∞n=N+1un（x）+∑∞n=N+1ln<ε3N+ε3+ε3=ε，證明完畢。

以上兩個例子說明，在進行截斷的時候，主要是處理好那個“無窮部分”（即截斷后剩下的無窮區(qū)間或無窮級數(shù)的“尾巴”），因為只要把這部分處理好之后，我們就可以放心處理有窮部分了，至于從什么部位上進行截斷，則要根據(jù)特設(shè)條件和證明的需要而定。

例3設(shè)f（x）∈（-∞，+∞），limx→∞f（x）存在且有限，求證f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

分析我們需要證明的是：對（-∞，+∞）中的任意兩點x′和x″，只要x′-x″足夠小，fx′-fx″就能夠任意小。對于任何有限區(qū)間-A，A來說，這是比較容易做到的，因為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的。但是對于兩個無窮區(qū)間（-∞，-A）和（A，+∞）就不能按同樣的想法來對待，因此需要分段考慮。如何選取上述的正數(shù)A呢？就是利用題目中的limx→∞ f（x）存在且有限這個條件了。

證明對ε>0，由于limx→∞f（x）存在且有限，根據(jù)Cauchy收斂原理，A>0，當x′和x″∈（-∞，-A］∪［A，+∞）時，有

fx′-fx″<ε2。

在-A，A上，由于f（x）一致連續(xù)，自然存在δ>0，使得對于任意的x′，x″∈-A，A，只要x′-x″<δ，就有

fx′-fx″<ε2<ε。

于是對（-∞，+∞）上滿足x′-x″<δ的任意兩點x′和x″來說，不論它們屬于-A，A，還是屬于（-∞，-A）或（A，+∞），都有

fx′-fx″<ε2<ε。

若x′∈-A，A而x″∈（A，+∞），則由x′-x″<δ可知，必有

x′-A<δ且x″-A<δ，

從而有

fx′-fx″≤fx′-fA+fx″-fA<ε2+ε2=ε。

對于x′∈-A，A而x″∈（-∞，-A）的情形同理可證。

綜上所述，只要x′-x″<δ，就有fx′-fx″<ε，證明完畢。

例4設(shè)limn→∞xn=l，求證：limn→∞x1+x2+…+xnn=l。

分析記σn=x1+x2+…+xnn （n=1，2，…），則

σn-l=x1-l+x2-l+…+xn-ln

≤x1-l+x2-l+…+xn-ln。

現(xiàn)在來分析一下不等式右端分子的變化情況。很明顯，雖然項數(shù)在不斷增多，但靠右邊的一些項會隨著n的增大而變小，可以任意??；而前面的哪些項則是固定不變的，根本不能變小。因此我們可以考慮將它們分段處理。

對ε>0，因為limn→∞xn=l，N∈z+，當n>N時，xn-l<ε。因此，對于這樣取定的N，不論n怎樣大（也就是不論項數(shù)怎樣多），從第N+1項開始，以后每一項都小于ε，而這些項加起來小于n-Nε，所以n-Nεn=1-Nnε<ε，所以可以不用去管他，另一方面，既然N已經(jīng)取定，從第一項到第N項加起來就是一個固定的數(shù)，它被n除過之后就會隨著n的增大也變小。

證明ε>0，因為limn→∞xn=l，N∈z+，當n>N時，xn-l<ε，對于取定的N，記M=maxx1-l，x2-l，…xN-l，再取N1N，使NMN1<ε，于是，當n>N1時，有

σn-l≤x1-l+x2-l+…+xn-ln

=x1-l+…+xN-ln+xN+1-l+…+xn-ln

所以limn→∞x1+x2+…+xnn=l，證明完畢。

3結(jié)束語

截斷處理是數(shù)學分析長得一種比較基本的處理方法，通過它可以把很多有限范圍內(nèi)成立的性質(zhì)和結(jié)論擴展的無線范圍，因此我們在處理與無線范圍有關(guān)的問題時，應當有截斷的意識。

參考文獻

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基金項目：中國消防救援學院科研項目（XFKYB202211）；中國消防救援學院教改項目（YJYB2022009）。

作者簡介：王洪慶（1977-），男，理學碩士，中國消防救援學院基礎(chǔ)部副教授，研究方向為可靠性理論、數(shù)學教學；王亞男（1986-），女，經(jīng)濟學博士，中國消防救援學院基礎(chǔ)部講師，研究方向為應用統(tǒng)計；蘇莉（1984-），女，中理學碩士，國消防救援學院基礎(chǔ)部講師，研究方向為代數(shù)幾何。