王洪慶 王亞男 蘇莉
摘要:在數(shù)學分析中,當我們要證明一個問題時,有了正確的思路后,還常常要根據(jù)不同的對象和題設(shè)中的條件采取不同的處理方法,以實現(xiàn)證明的目標,本文對截斷的處理方法和技巧進行了總結(jié)和提煉。
關(guān)鍵詞:數(shù)學分析;截斷;極限;一致收斂
中圖分類號:TB文獻標識碼:Adoi:10.19311/j.cnki.1672-3198.2022.22.108
1截斷方法的概念
我們常常要在某些條件下,證明無窮區(qū)間上的函數(shù)或無窮多個函數(shù)的和函數(shù)具有某些性質(zhì)。例如,一個實數(shù)軸上處處連續(xù)的函數(shù),如果當自變量趨于無窮大是有有限的極限,那么它一定有界;如果函數(shù)項級數(shù)的每一項當自變量x→x0時有極限,并且這個極限在包含x0的某個區(qū)間上一致收斂,那么這個函數(shù)項級數(shù)的和的極限等于各項極限的和等。在證明這類問題時,我們的基本依據(jù)是有限區(qū)間上的函數(shù)或有限多個函數(shù)的和所具有的相關(guān)性質(zhì),同時還要根據(jù)給定的條件對無窮區(qū)間或無窮級數(shù)進行截斷處理(如何進行具體的截斷則要根據(jù)不同的問題做具體的分析)。我們把這種處理方法稱為截斷。
2截斷技巧的案例研究
例1設(shè)函數(shù)f(x)∈C(-∞,+∞),且limx→∞f(x)=l(其中l(wèi)為有限數(shù))。求證:f(x)在(-∞,+∞)上有界。
分析由于limx→∞f(x)=l,根據(jù)局部有界性可知,存A>0使f(x)在(-∞,-A)和(A,+∞)上有界。而在-A,A上可以從f(x)是連續(xù)函數(shù)這一條件獲得其有界性。
證明對ε=1,A>0,當x>A時,有f(x)-l<1,從而
f(x)<1+lx>A。
又因為f(x)在(-A,A)上連續(xù),所以M1>0,使得
f(x)≤M1x>A。
取M=maxM1,1+l,則對一切x∈(-∞,+∞),有f(x)≤M,證明完畢。
例2設(shè)un(x)(n=1,2,…)在(x0-δ,x0+δ)內(nèi)有定義(在點x0也可以沒有定義),limx→x0un(x)=ln,ln是有限數(shù),且∑∞n=1un(x)在(x0-δ,x0+δ)上一致收斂,求證:limx→x0∑∞n=1un(x)=∑∞n=1ln。
分析現(xiàn)在面臨兩個問題需要解決:
(1)證明∑∞n=1ln收斂。
(2)證明等式limx→x0∑∞n=1un(x)=∑∞n=1ln成立。
第(1)個問題由Cauchy收斂原理不難解決。解決第(2)的問題的困難在于項數(shù)的無限多,因為極限運算法則只能保證有限多個函數(shù)和的極限等于它們極限的和。這就需要對無窮和進行截斷處理,把它截成項數(shù)足夠多的有窮多項和其余的去窮多項(即級數(shù)的“尾巴”),然后分別進行考慮,即
∑∞n=1un(x)-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un(x)-∑Nn=1ln+∑∞n=N+1un(x)-∑∞n=N+1ln
我們的目的是證明當x充分靠近x0時,上面的不等式的左邊能夠任意小。這就要分析右邊的情況,而右邊的第一項根據(jù)“有限和的極限等于期各項極限的和”這一法則,要它當x→x0時能任意小時容易辦到的;第二項是兩個收斂級數(shù)的“尾巴”,其中∑∞n=N+1ln是收斂技術(shù)的“尾巴”,只要N選的足夠大,它就能任意小,而且與x無關(guān);另一項∑∞n=N+1un(x)是一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的“尾巴”,只要N足夠大,它也能任意小,并同樣與x無關(guān)。于是問題就不難解決了。至于N如何選取,這就要依賴于正數(shù)ε。
證明對ε>0,由于∑∞n=1un(x)在(x0-δ,x0+δ)上一致收斂,根據(jù)Cauchy收斂原理,N∈z+,當n>N時,對p∈z+,有
un+1(x)+un+2(x)+…un+p(x)<ε,
令x→x0,就得到
ln+1(x)+ln+2(x)+…ln+p(x)≤ε。
再由Cauchy收斂原理可知∑∞n=1ln收斂。
接下來,取定一個充分大的N∈z+,使得
∑∞n=N+1ln<ε3,∑∞n=N+1un(x)<ε3 x∈(x0-δ,x0+δ)。
由limx→x0un(x)=ln (n=1,2,…)可知,對上述的ε>0,δ1>0(δ1<δ),當0 un(x)-ln<ε3N,(n=1,2,…,N) 從而 ∑∞n=1un(x)-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un(x)-ln+∑∞n=N+1un(x)+∑∞n=N+1ln<ε3N+ε3+ε3=ε,證明完畢。 以上兩個例子說明,在進行截斷的時候,主要是處理好那個“無窮部分”(即截斷后剩下的無窮區(qū)間或無窮級數(shù)的“尾巴”),因為只要把這部分處理好之后,我們就可以放心處理有窮部分了,至于從什么部位上進行截斷,則要根據(jù)特設(shè)條件和證明的需要而定。 例3設(shè)f(x)∈(-∞,+∞),limx→∞f(x)存在且有限,求證f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。 分析我們需要證明的是:對(-∞,+∞)中的任意兩點x′和x″,只要x′-x″足夠小,fx′-fx″就能夠任意小。對于任何有限區(qū)間-A,A來說,這是比較容易做到的,因為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的。但是對于兩個無窮區(qū)間(-∞,-A)和(A,+∞)就不能按同樣的想法來對待,因此需要分段考慮。如何選取上述的正數(shù)A呢?就是利用題目中的limx→∞ f(x)存在且有限這個條件了。 證明對ε>0,由于limx→∞f(x)存在且有限,根據(jù)Cauchy收斂原理,A>0,當x′和x″∈(-∞,-A]∪[A,+∞)時,有 fx′-fx″<ε2。 在-A,A上,由于f(x)一致連續(xù),自然存在δ>0,使得對于任意的x′,x″∈-A,A,只要x′-x″<δ,就有 fx′-fx″<ε2<ε。 于是對(-∞,+∞)上滿足x′-x″<δ的任意兩點x′和x″來說,不論它們屬于-A,A,還是屬于(-∞,-A)或(A,+∞),都有 fx′-fx″<ε2<ε。 若x′∈-A,A而x″∈(A,+∞),則由x′-x″<δ可知,必有 x′-A<δ且x″-A<δ, 從而有 fx′-fx″≤fx′-fA+fx″-fA<ε2+ε2=ε。 對于x′∈-A,A而x″∈(-∞,-A)的情形同理可證。 綜上所述,只要x′-x″<δ,就有fx′-fx″<ε,證明完畢。 例4設(shè)limn→∞xn=l,求證:limn→∞x1+x2+…+xnn=l。 分析記σn=x1+x2+…+xnn (n=1,2,…),則 σn-l=x1-l+x2-l+…+xn-ln ≤x1-l+x2-l+…+xn-ln。 現(xiàn)在來分析一下不等式右端分子的變化情況。很明顯,雖然項數(shù)在不斷增多,但靠右邊的一些項會隨著n的增大而變小,可以任意??;而前面的哪些項則是固定不變的,根本不能變小。因此我們可以考慮將它們分段處理。 對ε>0,因為limn→∞xn=l,N∈z+,當n>N時,xn-l<ε。因此,對于這樣取定的N,不論n怎樣大(也就是不論項數(shù)怎樣多),從第N+1項開始,以后每一項都小于ε,而這些項加起來小于n-Nε,所以n-Nεn=1-Nnε<ε,所以可以不用去管他,另一方面,既然N已經(jīng)取定,從第一項到第N項加起來就是一個固定的數(shù),它被n除過之后就會隨著n的增大也變小。 證明ε>0,因為limn→∞xn=l,N∈z+,當n>N時,xn-l<ε,對于取定的N,記M=maxx1-l,x2-l,…xN-l,再取N1N,使NMN1<ε,于是,當n>N1時,有 σn-l≤x1-l+x2-l+…+xn-ln =x1-l+…+xN-ln+xN+1-l+…+xn-ln 所以limn→∞x1+x2+…+xnn=l,證明完畢。 3結(jié)束語 截斷處理是數(shù)學分析長得一種比較基本的處理方法,通過它可以把很多有限范圍內(nèi)成立的性質(zhì)和結(jié)論擴展的無線范圍,因此我們在處理與無線范圍有關(guān)的問題時,應當有截斷的意識。 參考文獻 [1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析( 第五版)上冊[M].北京:高等教育出版社,2019. [2]馬金玲.淺談數(shù)學分析中極限的求法[J].數(shù)學學習與研究,2021,(36). [3]張建華.數(shù)學分析中證明函數(shù)極限存在性的若干方法[J].景德鎮(zhèn)學院學報,2021,36(03). [4]祁偉,郭仲凱.數(shù)學分析中歸結(jié)原則的應用[J].數(shù)學學習與研究,2017,(03). 基金項目:中國消防救援學院科研項目(XFKYB202211);中國消防救援學院教改項目(YJYB2022009)。 作者簡介:王洪慶(1977-),男,理學碩士,中國消防救援學院基礎(chǔ)部副教授,研究方向為可靠性理論、數(shù)學教學;王亞男(1986-),女,經(jīng)濟學博士,中國消防救援學院基礎(chǔ)部講師,研究方向為應用統(tǒng)計;蘇莉(1984-),女,中理學碩士,國消防救援學院基礎(chǔ)部講師,研究方向為代數(shù)幾何。