復(fù)雜應(yīng)力場(chǎng)中非圓形隧道應(yīng)力解析解研究

董 鵬，安 學(xué) 旭，王 智 陽，胡 志 平，辛 國 慶

(1.陜西省引漢濟(jì)渭工程建設(shè)有限公司，陜西 西安 710024； 2.長安大學(xué) 建筑工程學(xué)院，陜西 西安 710061；3.中鐵十八局集團(tuán)隧道工程有限公司，重慶 400707)

0 引 言

在中國“西部大開發(fā)”及“一帶一路”背景下，地下隧道工程不斷地向地球深部發(fā)展，所面臨的應(yīng)力場(chǎng)環(huán)境越來越復(fù)雜[1-2]。對(duì)于深埋隧道，圍巖初始主應(yīng)力場(chǎng)分布多類似于圖1(a)情況，但當(dāng)初始主應(yīng)力場(chǎng)與隧道斷面主軸非平行時(shí)，關(guān)于圍巖應(yīng)力分布規(guī)律方面的解析研究較少，亟需開展研究。

關(guān)于主應(yīng)力場(chǎng)對(duì)隧道斷面應(yīng)力分布影響的解析研究，諸多學(xué)者進(jìn)行了探索，并取得了大量成果。對(duì)于隧道斷面形狀簡單的圓形隧道，Wang[3]、陳登國[4]、Gao等[5]分別采用彈塑性理論與復(fù)變函數(shù)理論，對(duì)靜水應(yīng)力場(chǎng)或非靜水應(yīng)力場(chǎng)中隧道圍巖應(yīng)力分布規(guī)律進(jìn)行了研究。對(duì)于斷面形狀復(fù)雜的非圓形隧道，目前相關(guān)研究多基于復(fù)變函數(shù)理論。如呂愛鐘與張路青[6]、陳子萌等[7]研究了雙向應(yīng)力場(chǎng)中馬蹄形、倒U形、方形、六邊形、梯形等復(fù)雜隧道斷面圍巖應(yīng)力分布規(guī)律。Muskhelishvili等[8]力學(xué)著作中也給了相關(guān)研究成果。此外，Kargar[9]、Zhao[10]、姜學(xué)焱等[11]還通過復(fù)變函數(shù)理論中柯西積分方法及冪級(jí)數(shù)解法對(duì)水平和豎向主應(yīng)力場(chǎng)下隧道圍巖應(yīng)力變化規(guī)律進(jìn)行了研究。但上述研究中，沒有考慮隧道支護(hù)對(duì)圍巖應(yīng)力的影響，對(duì)此，王子豪[12]、李巖松等[13]推導(dǎo)了帶支護(hù)隧道圍巖應(yīng)力解析解，并分析了支護(hù)對(duì)圍巖應(yīng)力的影響。Lyu[14-15]考慮了支護(hù)延遲對(duì)隧道圍巖應(yīng)力的影響。施有志[16]、Ma等[17]還通過復(fù)變函數(shù)理論對(duì)平行雙孔隧道圍巖應(yīng)力變化規(guī)律進(jìn)行了研究。Lyu[18]、Cai等[19]將隧道應(yīng)力分布規(guī)律用于隧道斷面優(yōu)化及穩(wěn)定性分析。在此研究基礎(chǔ)上，呂愛鐘[20-21]、Wang等[22]又研究了正交異性材料中考慮支護(hù)與不考慮支護(hù)情況下任意隧道斷面圍巖應(yīng)力變化規(guī)律。

上述研究豐富了復(fù)雜隧道斷面圍巖應(yīng)力分布解析解方面的理論成果，但現(xiàn)有研究主要集中在隧道斷面主軸與初始主應(yīng)力場(chǎng)平行的情況(圖1(b))，對(duì)于與初始主應(yīng)力場(chǎng)成一定角度的隧道斷面圍巖應(yīng)力分布規(guī)律方面研究還存在空白，而實(shí)際地下隧道初始主應(yīng)力場(chǎng)多類似于這種情況(圖1(a))。對(duì)此，本文推導(dǎo)了一種考慮初始主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角的隧道圍巖應(yīng)力解析解，結(jié)合實(shí)際工程案例，研究了不同應(yīng)力場(chǎng)工況下，主應(yīng)力場(chǎng)剪切應(yīng)力分量以及主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角改變對(duì)隧道圍巖環(huán)向應(yīng)力分布規(guī)律的影響。

圖1 非圓形隧道初始應(yīng)力場(chǎng)示意

1 非圓形隧道應(yīng)力基本方程

1.1 復(fù)應(yīng)力函數(shù)求解

對(duì)于如圖1所示隧道初始主應(yīng)力場(chǎng)，可通過公式(1)分解為如圖2所示的力學(xué)計(jì)算模型。

圖2 非圓形隧道力學(xué)計(jì)算模型

(1)

式中：α為主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角；σy為主應(yīng)力場(chǎng)水平分量；σx為主應(yīng)力場(chǎng)豎向分量；τxy為主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量。

對(duì)于單連通域內(nèi)任意斷面形式L1，可通過保角映射轉(zhuǎn)換為單位圓L2外域(圖3)，其映射函數(shù)可用公式(2)表示。由于實(shí)際地下隧道斷面形狀的確定過程需要考慮施工難易程度及實(shí)用性等要求，斷面多為幾何形狀相對(duì)規(guī)則的形狀，且基本都關(guān)于豎軸對(duì)稱。為了便于求解斷面映射函數(shù)，通常選擇豎軸為實(shí)軸，水平軸為虛軸，在此坐標(biāo)系下斷面映射函數(shù)系數(shù)ck是常實(shí)數(shù)。

圖3 實(shí)際隧道斷面與映射隧道斷面

(2)

式中：ω(ζ)為z平面上隧道斷面形狀的外部區(qū)域轉(zhuǎn)換到ζ平面單位圓外部區(qū)域的映射函數(shù)；R為反映隧道斷面大小的實(shí)數(shù)；ck為反映隧道形狀的系數(shù)。

由隧道力學(xué)計(jì)算模型可知，求圍巖應(yīng)力解所需的兩個(gè)解析函數(shù)可寫成：

φ1(ζ)=Γω(ζ)+φo(ζ)

(3)

ψ1(ζ)=(Γ′+iτxy)ω(ζ)+ψo(hù)(ζ)

(4)

式中：φo(ζ)，ψo(hù)(ζ)可表示為

(5)

(6)

(7)

式中：Г1=σx(1+λ)/4，Г2=σx(λ-1)/2，λ=σx/σy。

(8)

當(dāng)n≥3時(shí)式(8)右邊第一項(xiàng)系數(shù)Lk為

(9)

由于φo(ζ)是圓外解析函數(shù)，因此可以表示為

(10)

模型邊界條件中存在非對(duì)稱剪應(yīng)力分量，因此，式(10)解析函數(shù)φo(ζ)中系數(shù)ɑk一定是復(fù)數(shù)。

ak=ak1+i×ak2

(11)

應(yīng)用式(8)和式(10)的左邊項(xiàng)可構(gòu)造式(12)：

(12)

當(dāng)n≥3時(shí)，式(12)右邊第一項(xiàng)sk系數(shù)為

(13)

將公式(12)和公式(7)代入公式(5)右邊項(xiàng)，并分別進(jìn)行柯西積分可得：

(14)

(15)

將公式(14)、(15)、(10)代入公式(5)，通過比較兩邊關(guān)于ζ-k各同冪次項(xiàng)系數(shù)，然后整理可得如下矩陣方程：

Xijaj=Ei(i，j=1，2，…，n-2)

(16)

當(dāng)i=j時(shí)，公式(16)中系數(shù)Xij=jLi+j+1，若i+j+1>n時(shí)，Xij=0；當(dāng)i≠j時(shí)，公式(16)中系數(shù)Xij=jL2i+1-1，若i+j+1>n時(shí)Xij=-1；公式(16)中右邊項(xiàng)Ei可表示為

(17)

將公式(17)及各系數(shù)Xij代入公式(16)，可求出復(fù)系數(shù)ak(k=1，…，n-2)的實(shí)部與虛部值，其中an=-2Г1cn，an-1=-2Г1cn-1。然后將ak(k=1，2，…，n)值分別代入公式(10)和公式(13)即可獲得圓外解析函數(shù)φo(ζ)及sk(k=1，2，…，n-2)值。

對(duì)公式(12)共軛，然后進(jìn)行柯西積分可得：

(18)

對(duì)公式(7)共軛，然后進(jìn)行柯西積分可得：

(19)

將公式(18)、(19)代入公式(6)可求出解析函數(shù)ψo(hù)(ζ)為

(20)

將公式(20)、(10)分別再代入公式(3)和(4)，可得兩個(gè)復(fù)應(yīng)力解析函數(shù)為：

(21)

(22)

1.2 圍巖應(yīng)力解

極坐標(biāo)下隧道圍巖任意點(diǎn)處的應(yīng)力分量可通過式(23)、(24)獲得：

(23)

(24)

由公式(23)、(24)可知圍巖中應(yīng)力解為

(25)

(26)

(27)

式中：Im()和Re()是對(duì)某復(fù)數(shù)取虛部和實(shí)部，σθ、σρ、τρθ分別隧道圍巖環(huán)向、徑向及剪切應(yīng)力。

上述理論解在Matlab中通過編程即可求解，程序代碼見附錄。

2 主應(yīng)力場(chǎng)對(duì)隧道應(yīng)力的影響

2.1 工程概況及斷面映射函數(shù)

引漢濟(jì)渭工程是陜西省境內(nèi)解決渭河流域缺水問題的重大引調(diào)水基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目。秦嶺輸水隧道全長98.3 km，其中秦嶺嶺北TBM段隧道圍巖具有大埋深(最大埋深可達(dá)2 012 m)、高地應(yīng)力、高強(qiáng)度(平均單軸抗壓強(qiáng)度為170 MPa)等特點(diǎn)，隧道開挖過程中引發(fā)了諸如巖爆、大變形、巖體剝落、掉塊等工程災(zāi)變問題。為了進(jìn)行隧道斷面支護(hù)設(shè)計(jì)，在嶺北6號(hào)實(shí)驗(yàn)洞附近采用三維水壓致裂法進(jìn)行了地應(yīng)力測(cè)試，測(cè)試結(jié)果見表1[23]。隧道斷面采用圓拱直墻和圓形兩種形式，本文以圓拱直墻為例(見圖4)，通過采用復(fù)合形優(yōu)化算法，目標(biāo)函數(shù)誤差為0.043 9 mm，所求的隧道斷面映射函數(shù)見公式(28)。為了便于分析，文中應(yīng)力符號(hào)做如下規(guī)定，壓為正，拉為負(fù)，后續(xù)圍巖應(yīng)力中正號(hào)表示壓應(yīng)力，負(fù)號(hào)表示拉應(yīng)力。

圖4 引漢濟(jì)渭工程非圓形隧道斷面形狀

表1 6號(hào)試驗(yàn)洞地應(yīng)力測(cè)試結(jié)果[23]

z=ω(ζ)=3.98377(ζ-0.0519+0.0017ζ-1+

0.0391ζ-2-0.0422ζ-3+0.0229ζ-4-

0.0011ζ-5-0.0071ζ-6) (28)

2.2 主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量的影響

為了探究初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量對(duì)隧道開挖斷面圍巖應(yīng)力分布規(guī)律的影響，根據(jù)2.1節(jié)圍巖應(yīng)力場(chǎng)參數(shù)及隧道斷面映射函數(shù)，采用第一節(jié)中非圓形隧道解析理論，通過Matlab編程可分別獲得考慮初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量(τyz=4.6 MPa)與不考慮初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量(τyz=0)時(shí)隧道環(huán)向應(yīng)力σθ變化曲線(見圖5)。

注：極坐標(biāo)角度是從Z正軸逆時(shí)針開始。

由圖5可知，考慮圍巖初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量與不考慮圍巖初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量時(shí)隧道環(huán)向應(yīng)力曲線變化較大。在隧道0°～90°、180°～270°范圍內(nèi)，考慮初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量比不考慮時(shí)隧道環(huán)向應(yīng)力小，二者最大差值處的比值為0.61；在隧道90°～180°、270°～360°范圍內(nèi)，考慮初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量比不考慮時(shí)隧道環(huán)向應(yīng)力大，二者最大差值處的比值為1.39。由此可見，隧道初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量對(duì)隧道環(huán)向應(yīng)力大小影響較大，實(shí)際工程中宜考慮主應(yīng)力剪切分量對(duì)隧道斷面圍巖應(yīng)力的影響。

從圖5分析可知初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量對(duì)隧道環(huán)向應(yīng)力影響較大，為了進(jìn)一步探究主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量大小對(duì)隧道環(huán)向應(yīng)力的影響，不考慮初始主應(yīng)力場(chǎng)豎向及水平分量，通過分別改變主應(yīng)力場(chǎng)剪切力分量大小(τyz=1.0，2.0，3.0，4.0 MPa)，采用解析理論，通過Matlab編程可求得隨初始主應(yīng)力場(chǎng)剪應(yīng)力分量變化的圍巖環(huán)向應(yīng)力變化曲線(見圖6)。

圖6 不同τyz時(shí)隧道邊緣σθ變化曲線

由圖6可知，初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量對(duì)隧道開挖斷面處環(huán)向應(yīng)力大小影響顯著。隨著初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量的增大，隧道環(huán)向應(yīng)力曲線的變化幅度整體在增大；不同工況下，剪切應(yīng)力分量引起的隧道環(huán)向應(yīng)力集中主要分布在30°～60°(左拱肩)、120°～150°(左拱腳)、210°～240°(右拱腳)、300°～330°(右拱肩)方位，且最大環(huán)向應(yīng)力為相應(yīng)剪切應(yīng)力分量的6倍，并且在30°～60°與210°～240°方位，隧道圍巖中會(huì)產(chǎn)生環(huán)向拉應(yīng)力集中現(xiàn)象，尤其210°～240°方位環(huán)向拉應(yīng)力較顯著。由于圍巖是抗拉強(qiáng)度較低的材料，因此在隧道施工過程需要格外的關(guān)注環(huán)向拉應(yīng)力集中的位置，以免造成圍巖受拉失穩(wěn)破壞。

2.3 主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角的影響

為了探究隧道初始主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角對(duì)其圍巖應(yīng)力分布規(guī)律的影響，結(jié)合2.1節(jié)應(yīng)力參數(shù)，設(shè)置了如表2所列的模型3種應(yīng)力邊界工況。

采用2.1節(jié)隧道斷面映射函數(shù)，將表2中不同應(yīng)力邊界工況代入第一節(jié)隧道解析理論，求得隨主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角α變化的隧道圍巖環(huán)向應(yīng)力變化曲線圖(見圖7)與環(huán)向應(yīng)力場(chǎng)集中程度σθ/σ1變化曲線(見圖8)。

圖8 不同α?xí)r隧道邊緣σθ/σ1變化曲線

表2 力學(xué)計(jì)算模型不同應(yīng)力邊界參數(shù)

由圖7可知，初始主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角對(duì)隧道環(huán)向應(yīng)力分布規(guī)律的影響呈現(xiàn)以下變化特征：

(1)隨著主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角逐漸增大，隧道環(huán)向應(yīng)力曲線除270°～330°范圍外整體發(fā)生向左移動(dòng)現(xiàn)象，說明主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角的變化會(huì)引起隧道圍巖應(yīng)力繞隧道邊緣發(fā)生旋轉(zhuǎn)。

(2)隨著主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角逐漸增大，隧道120°～150°、270°～330°范圍內(nèi)的環(huán)向應(yīng)力在升高，而隧道0°～60°、180°～240°范圍內(nèi)的環(huán)向應(yīng)力卻在降低，說明主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角變化會(huì)改變隧道圍巖應(yīng)力集中程度。

由圖8可知，相對(duì)最大主應(yīng)力場(chǎng)σ1而言，隧道120°～150°、210°～240°范圍環(huán)向應(yīng)力集中較大，最大可達(dá)3.7倍的最大主應(yīng)力場(chǎng)。隨著主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角的增大，隧道120°～150°、270°～330°范圍的環(huán)向應(yīng)力集中程度在逐漸增大，而隧道0°～60°、180°～240°范圍環(huán)向應(yīng)力集中在逐漸減小，由此可見，主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角的變化對(duì)隧道圍巖應(yīng)力集中程度具有顯著影響。

3 結(jié) 論

(1)隧道主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量對(duì)馬蹄形隧道環(huán)向應(yīng)力影響顯著。相同隧道斷面考慮初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量與不考慮相比，二者隧道環(huán)向應(yīng)力在左右拱腳處最大比值分別為1.39和0.61。

(2)初始主應(yīng)力場(chǎng)剪切分量越大，隧道拱腳及拱肩處環(huán)向拉壓應(yīng)力越大，且最大值為相應(yīng)剪切應(yīng)力分量的6倍。

(3)主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角變化會(huì)引起隧道圍巖環(huán)向應(yīng)力繞隧道邊緣發(fā)生旋轉(zhuǎn)，從而造成隧道圍巖環(huán)向應(yīng)力集中分布區(qū)域的轉(zhuǎn)移。

(4)隨著主應(yīng)力場(chǎng)水平傾角增大，隧道左拱腳及右拱肩處環(huán)向應(yīng)力集中程度在增大，尤其左拱腳，最大可達(dá)3.7倍最大初始主應(yīng)力，而隧道右拱腳及左拱肩處環(huán)向應(yīng)力集中程度在逐漸降低。