徐邦賢，劉曉波，韓祥民，邱 知，唐 輝，范津瑋

(1.貴州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025； 2.國(guó)網(wǎng)舟山供電公司，浙江 舟山 316000)

非耦合電感型Zeta變換器的工作效率較高，具有升降壓的特性，能適應(yīng)輸入電壓寬范圍的變化，因而在新能源光伏發(fā)電領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1]。耦合電感型Zeta變換器輸出電壓紋波較非耦合電感Zeta變換器小，應(yīng)用更加廣泛。但耦合電感式Zeta變換器的頻率特性復(fù)雜導(dǎo)致閉環(huán)控制器設(shè)計(jì)較為困難。文獻(xiàn)[2～4]構(gòu)建的Zeta變換器小信號(hào)模型，忽略了中間電容電壓的動(dòng)態(tài)特性，將中間電容電壓建模為恒定值。但該電容的電壓變化是導(dǎo)致右半平面零點(diǎn)形成的原因，因此忽略該電容電壓變化將無(wú)法全面掌握系統(tǒng)的頻率特性，也無(wú)法分析電路參數(shù)對(duì)變換器頻域穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[5～8]建立了詳細(xì)的Zeta變換器數(shù)學(xué)模型，但因沒(méi)有分析電路參數(shù)與系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系以及與系統(tǒng)特征方程根的關(guān)系，故無(wú)法對(duì)電路參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[9～10]建立了電壓反饋型傳統(tǒng)Zeta變換器電路狀態(tài)空間平均模型，采用混沌理論分析了反饋系數(shù)對(duì)閉環(huán)穩(wěn)定性的影響，但該方法沒(méi)有體現(xiàn)變換器電路參數(shù)與系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系，因此無(wú)法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。文獻(xiàn)[11]采用切換建模的方法對(duì)傳統(tǒng)Zeta變換器不同導(dǎo)通模式進(jìn)行了統(tǒng)一建模，并且模型精確且有效，但該文獻(xiàn)缺乏對(duì)電路參數(shù)與系統(tǒng)零極點(diǎn)位置的關(guān)系的分析，也沒(méi)有各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。文獻(xiàn)[12]在高增益耦合Zeta轉(zhuǎn)換器的小信號(hào)動(dòng)態(tài)特性分析方面缺乏分析電路參數(shù)對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響，一旦電路參數(shù)設(shè)計(jì)不恰當(dāng)將會(huì)使得相頻特性上產(chǎn)生較大的相位滯后，使得控制器設(shè)計(jì)困難，無(wú)法獲得良好的動(dòng)態(tài)特性。此外，該傳遞函數(shù)給出的是數(shù)值形式，無(wú)法體現(xiàn)電路參數(shù)與系統(tǒng)頻率特性、零極點(diǎn)位置的關(guān)系。

文中建立了變換器從控制變量到輸出電壓的小信號(hào)傳遞函數(shù)，并提取了頻率特性相關(guān)的參數(shù)。本文分析了電路參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性的影響，以及頻率特性與零極點(diǎn)位置的關(guān)系，并據(jù)此提出了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。最后，在變換器開(kāi)、閉環(huán)狀態(tài)下進(jìn)行分析，并對(duì)比了優(yōu)化前后系統(tǒng)的時(shí)域特性與頻域特性，證明了所提設(shè)計(jì)方法的有效性與可行性。

1 變換器建模分析

耦合電感型Zeta轉(zhuǎn)換器的電路圖如圖1所示。圖中，L1、L2、C1、C2、M分別為輸入電感、輸出電感、隔直電容、輸出電容、L1與L2之間的互感，rL1、rL2分別為輸入電感與輸出電感的等效串聯(lián)電阻，rC1、rC2分別為隔直電容與輸出電容的等效串聯(lián)電阻，Uin、Uo分別為輸入電壓、輸出電壓，Io為輸出電流，靜態(tài)占空比D可由式(1)求得。

(1)

采用狀態(tài)空間平均法[13]對(duì)圖1電路進(jìn)行建模，得控制變量c到輸出電壓uo的傳遞函數(shù)Gvd(s)，如式(2)所示。根據(jù)經(jīng)典控制理論[14]，系統(tǒng)可劃分為1個(gè)一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)，以及兩個(gè)二階諧振環(huán)節(jié)，其中fL為低頻諧振的自然頻率，fH為高頻諧振自然頻率，QL為低頻品質(zhì)因數(shù)，QH為高頻品質(zhì)因數(shù)，fn為微分環(huán)節(jié)諧振自然頻率，Qz為微分環(huán)節(jié)品質(zhì)因數(shù)。式(3)中的頻率特性參數(shù)fL、fH、QL、QH、fn、Qz均是電路參數(shù)的函數(shù)，與電路參數(shù)的相關(guān)性較強(qiáng)，主導(dǎo)著變換器的頻率響應(yīng)特性。GPWM為調(diào)制器的增益，G0為功率級(jí)直流增益。

圖1 耦合電感型Zeta轉(zhuǎn)換器的電路圖Figure 1. Circuit diagram of coupled inductor Zeta converter

(2)

式中

Δs)=

fL≈

fH≈

2 變換器的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 耦合電感參數(shù)設(shè)計(jì)

如圖1所示，耦合電感可以看做是1個(gè)耦合系數(shù)kc的單繞組變壓器，kc與參數(shù)L1、L2、M的關(guān)系如下

(3)

優(yōu)化該單繞組變壓器的參數(shù)時(shí)，設(shè)初始電感L1、L2之間的比值為k1，電感L1與互感M的比值為k2，則電感L1、L2、互感M有如下關(guān)系。

L2=k1L1

(4)

M=k2L1=kck1L1

(5)

2.2 輸出電容C2的參數(shù)設(shè)計(jì)

假定變換器需要5個(gè)開(kāi)關(guān)周期才能開(kāi)始調(diào)整輸出電壓，設(shè)電壓下跌值為ΔV，輸出電流突變值為ΔI，變換器的開(kāi)關(guān)周期為Tsw，則C2的值為

(6)

變換器的控制器存在計(jì)算延遲[15]，在控制律計(jì)算的過(guò)程中，輸出電流突增時(shí)，容易出現(xiàn)輸出電壓下跌的情況。由式(6)可知增大輸出電容C2能夠緩解因計(jì)算延遲引起輸出電壓下跌的程度。

2.3 系數(shù)k1對(duì)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

當(dāng)Qz<0時(shí)，復(fù)零點(diǎn)從s平面的左半面移動(dòng)到右半面，使得系統(tǒng)存在閉環(huán)不穩(wěn)定的風(fēng)險(xiǎn)。為了將復(fù)零點(diǎn)限制在左半面，需使Qz>0，由式(4)、式(5)、Qz的表達(dá)式及由式(8)可知，電容C1的值應(yīng)大于零，則k1的取值范圍如下。

1≤k1

(7)

(8)

設(shè)輸入電壓Uin為150 V，輸出電流為Io=2 A，靜態(tài)占空比D為0.6，寄生參數(shù)rL1、rL2、rC1、rC2分別為0.1、0.1、0.05、0.05。由式(1)可知輸出電壓Uo為169.3 V。取電感L1= 84 μH，耦合系數(shù)kc= 0.95，由式(7)、式(8)得1

圖2 k1 取不同值的零極點(diǎn)圖Figure 2. Zero-pole graphs with different values of k1

2.4 隔直電容C1的設(shè)計(jì)

傳遞函數(shù)存在兩對(duì)復(fù)極點(diǎn)，一個(gè)復(fù)零點(diǎn)和一個(gè)單零點(diǎn)。復(fù)極點(diǎn)能夠在Gvd(s)的波特圖的幅頻特性曲線上產(chǎn)生峰值，在相頻特性上產(chǎn)生180°的相位滯后，當(dāng)控制器存在滯后環(huán)節(jié)(例如積分環(huán)節(jié)、一階濾波環(huán)節(jié))時(shí)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)總的相位滯后將更嚴(yán)重。

此時(shí)，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的途徑是降低控制器的直流增益，降低閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬，但該方法無(wú)法保證系統(tǒng)的快速性。此外，也可選擇對(duì)控制器加入更多超前補(bǔ)償環(huán)節(jié)來(lái)增大控制器的響應(yīng)延遲。

若滿足條件fn=fH，則能夠使系統(tǒng)的復(fù)零點(diǎn)靠近復(fù)極點(diǎn)，最大程度抵消一部分復(fù)極點(diǎn)給系統(tǒng)帶來(lái)的高頻峰值響應(yīng)及過(guò)度的相位滯后，使系統(tǒng)的頻率特性接近二階系統(tǒng)的頻率特性，降低了控制器設(shè)計(jì)的難度。令fn=fH，則C1如下所示。

(9)

2.5 參數(shù)設(shè)計(jì)方法的步驟

綜上所述，所提方法的設(shè)計(jì)步驟如下文所述，其中待優(yōu)化的電路參數(shù)有L2、M、C1、C2，具體步驟為：

步驟1采用原始輸入電感L1、輸出電感L2、耦合系數(shù)kc的值，根據(jù)式(4)、式(5)計(jì)算初始比值k1_init、互感M；

步驟2根據(jù)變換器斬波周期Tsw、期望的ΔV、ΔI，由式(6)計(jì)算輸出電容C2的值；

步驟3根據(jù)給定的輸入電壓Uin、輸出最大電流Io以及寄生參數(shù)rL1、rL2、rC1、rC2，由式(1)計(jì)算靜態(tài)占空比D。此時(shí)，輸入電感L1、輸出電感L2、互感M、靜態(tài)占空比D、輸出電容C2的值已知，由式(9)計(jì)算C1的值。

步驟4由式(8)計(jì)算k1_max，判定初始比值k1_init是否滿足式(7)的約束關(guān)系，若滿足約束關(guān)系，則設(shè)計(jì)結(jié)束，無(wú)需對(duì)輸出電感L2、互感M進(jìn)行優(yōu)化；若k1_init超出下限，k1_new取下限值；若k1_init超出下限，k1_new取上限值。根據(jù)式(4)、式(5)、原輸入電感L1、k1_new重新計(jì)算輸出電感L2、互感M的值。

此時(shí)，參數(shù)L2、M、C1、C2優(yōu)化結(jié)束，具體設(shè)計(jì)流程見(jiàn)圖3。

圖3 電路參數(shù)優(yōu)化流程圖Figure 3. Flow chart of circuit parameter optimization

3 算例驗(yàn)證

3.1 變換器參數(shù)未優(yōu)化之前的頻率特性驗(yàn)證

本文采用表1變換器電路參數(shù)，代入傳遞函數(shù)Gvd(s)，采用MATLAB繪制未校正前開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的波特圖。

表1 耦合電感型Zeta變換器的電路參數(shù)Table 1. Circuit parameters of coupled inductor Zeta converter

從圖4中未校正的系統(tǒng)相頻特性曲線可以看出，在截止頻率fc處存在300°的相位滯后。

采用帶二階濾波的PID控制器驗(yàn)證所設(shè)計(jì)方法的可行性，PID參數(shù)采用MATLAB的Sisotools工具箱進(jìn)行設(shè)計(jì)[16-17]。如圖5實(shí)線所示，因開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的相位滯后較大，最高截止頻率只能設(shè)計(jì)到fc_old處，約為1 kHz，可知沒(méi)有足夠的開(kāi)環(huán)增益抑制控制環(huán)路內(nèi)含頻率成分為fH的擾動(dòng)干擾，當(dāng)控制環(huán)路存在含頻率為fH的擾動(dòng)信號(hào)時(shí)，如圖6所示的輸出階躍響應(yīng)曲線含有高頻振蕩成分，并且設(shè)定時(shí)間較長(zhǎng)，過(guò)沖的幅度較大。由于實(shí)際情況中，負(fù)載的內(nèi)阻是不斷跳變的，導(dǎo)致輸出電流也在不斷跳變，振蕩次數(shù)較多，因此輸出電壓將產(chǎn)生高頻振蕩群，對(duì)負(fù)載的壽命產(chǎn)生不利的影響，可見(jiàn)控制器的性能較差。

3.2 變換器參數(shù)優(yōu)化后的頻率特性驗(yàn)證

將表1的原始電路參數(shù)采用文中提出的方法進(jìn)行優(yōu)化，各參數(shù)如表2所示，并代入傳遞函數(shù)Gvd(s)，繪制Gvd(s)的伯德圖。如圖4虛線所示，截止頻率fc基本不變，在fc處的相位滯后已減小至180°以內(nèi)且高頻處的諧振峰的作用被減弱，此時(shí)主要由低頻復(fù)極點(diǎn)產(chǎn)生相位滯后。給功率級(jí)設(shè)計(jì)控制器時(shí)，可以將功率級(jí)看做是一個(gè)二階系統(tǒng)，只需要對(duì)低頻復(fù)極點(diǎn)處產(chǎn)生的相位滯后進(jìn)行補(bǔ)償，令fc處的增益大于20 dB即可衰減頻率為fH的高頻成分。

圖4 變換器功率級(jí)開(kāi)環(huán)波特圖Figure 4. Bode diagram of open-loop of converter power stage

表2 耦合電感型Zeta變換器經(jīng)優(yōu)化的電路參數(shù)Table 2. Optimized circuit parameters of coupled inductor Zeta converter

如圖5虛線所示，可見(jiàn)優(yōu)化后的截止頻率可提高至fc_new約為30 kHz，在頻率fH處有足夠的開(kāi)環(huán)增益抑制控制環(huán)路內(nèi)含頻率為fH的擾動(dòng)信號(hào)，使控制系統(tǒng)能快速跟蹤參考信號(hào)。如圖6虛線所示，系統(tǒng)的輸出階躍響應(yīng)中的高頻振蕩成分完全消失，超調(diào)量大幅減小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的設(shè)定時(shí)間縮短4倍，系統(tǒng)的響應(yīng)速度較快，提升了控制器的性能。在負(fù)載頻繁跳變的情況下，控制器能夠及時(shí)減小輸出電壓下跌的幅度，保持輸出電壓恒定，避免高頻振蕩群對(duì)負(fù)載的壽命產(chǎn)生不利影響。

圖5 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)波特圖Figure 5. Bode diagram of open-loop of corrected system

圖6 校正后系統(tǒng)輸出階躍響應(yīng)Figure 6. Output step response of the system after correction

3.3 優(yōu)化后輸出電流對(duì)閉環(huán)穩(wěn)定性的影響

假定優(yōu)化后的電路參數(shù)不變，當(dāng)輸出電流Io從額定的10 A增加到24 A時(shí)，如表3所示，kmax的值由正變負(fù)。如圖7所示，系統(tǒng)的相頻曲線上重現(xiàn)嚴(yán)重的相位滯后。如圖8所示，由系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖上可以看出復(fù)零點(diǎn)從左半平面移動(dòng)到了右半平面。如圖9所示，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)相比輸出電流Io增加前，過(guò)沖幅度增大和振蕩次數(shù)變多，控制系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

圖7 系統(tǒng)輸出過(guò)流前后的系統(tǒng)頻率特性Figure 7. System frequency characteristics before and after system output overcurrent

圖8 系統(tǒng)輸出過(guò)流前后的零極點(diǎn)的位置Figure 8.Position of zero-pole before and after system output over current

圖9 系統(tǒng)輸出過(guò)流前后的階躍響應(yīng)Figure 9. Step response of the system before and after output over current

表3 kmax的值與輸出電流Io的變化關(guān)系Table 3. The relationship between the value of kmax and the change of output current Io

當(dāng)輸出電流Io從24 A減小至10 A的過(guò)程中，如表3所示，kmax的值逐漸由負(fù)變正，位于右半平面的零點(diǎn)移動(dòng)到了左半平面，環(huán)路增益的相位滯后減小到了180°以內(nèi)，輸出階躍響應(yīng)振蕩次數(shù)、超調(diào)量減小，閉環(huán)不穩(wěn)定現(xiàn)象消失。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，要使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，必須限制輸出電流的大小，使變換器在運(yùn)行過(guò)程中kmax的值始終為正。

此外，表3的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明文中提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法能夠使輸出電流的大小與系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定所允許的最大輸出電流之間留有足夠的設(shè)計(jì)余量，即使在運(yùn)行過(guò)程中輸出電流偏離額定值的2倍時(shí)，仍然能夠維持閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。只有負(fù)載在極端情況下(例如輸出端發(fā)生嚴(yán)重的過(guò)流或者短路故障)，才會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。如果系統(tǒng)設(shè)計(jì)有負(fù)載過(guò)流保護(hù)模塊，將保護(hù)閾值設(shè)定為kmax的臨界值所對(duì)應(yīng)的電流值，則可避免該情況發(fā)生。

4 結(jié)束語(yǔ)

相比于基于智能算法的參數(shù)優(yōu)化方法[18]，本文的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)是操作流程較為簡(jiǎn)單，在設(shè)計(jì)過(guò)程中較容易把握系統(tǒng)的頻率特性以及零極點(diǎn)位置變化的趨勢(shì)，可避免零極點(diǎn)落入右半平面，改善了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及頻率域相對(duì)穩(wěn)定性指標(biāo)，使設(shè)計(jì)者采用簡(jiǎn)單的控制策略即可實(shí)現(xiàn)對(duì)四階變換器的控制，并且在負(fù)載電流超過(guò)額定值的情況下也能夠發(fā)揮其最大的優(yōu)化作用，確保系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

本文的方法缺點(diǎn)在于對(duì)系統(tǒng)環(huán)節(jié)的劃分時(shí)，頻率特性參數(shù)的求解采用了近似計(jì)算，無(wú)法達(dá)到精確的解析解。使用本文方法在某些情況下對(duì)幅頻特性曲線的優(yōu)化并不能達(dá)到最佳效果，致使輸出電壓的階躍響應(yīng)存在一定量的高頻峰值響應(yīng)，但仍然能夠保證在給系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器時(shí)，把開(kāi)環(huán)相頻特性的最大相位滯后減小到180°以內(nèi)，消除系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定的風(fēng)險(xiǎn)。