奶牛數(shù)中的純位數(shù)

喻陳波，楊 鵬

（遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

1356年，印度數(shù)學(xué)家Narayana在他的名著《Ganita Kaumudi》中提出牛群問題：“小牛在其出生后的第4年每年生產(chǎn)一只小牛，問20年后總計有多少只牛？”［1］這是一個類似Fibonacci兔子的問題，容易算出前幾年牛群中的牛數(shù)為：1，1，1，2，3，4，6，9，13，19，…。人們常稱這個數(shù)列為奶牛數(shù)或Narayana奶牛數(shù)，而Narayana數(shù)則是另一個數(shù)列。和Fibonacci數(shù)列不同的是，奶牛數(shù)是一個三階遞歸數(shù)列，滿足遞歸關(guān)系

其初始項為N0=0，N1=N2=1。

純位數(shù)是十進(jìn)制展開中的每一位都是同一個數(shù)的正整數(shù)。因此，小于10的正整數(shù)都是純位數(shù)。除此之外，11、22、33、44、…等也都是純位數(shù)。對于大于10的純位數(shù)，Luca［2］于2000年首次證明Fibonacci數(shù)和Lucas數(shù)中僅有11和55是純位數(shù)。之后，與數(shù)列中的純位數(shù)相關(guān)的研究大量涌現(xiàn)。Faye等［3］證明Pell數(shù)均不是純位數(shù)。2018年，Rayaguru等［4］證明除數(shù)位中出現(xiàn)6的情形，Balancing數(shù)均不是純位數(shù)。2020年，Bravo等［5］證明奶牛數(shù)中僅55是純位數(shù)，并得到更一般的結(jié)果：沒有位數(shù)超過6的純位數(shù)是兩個奶牛數(shù)的和。2022年，Ji等［6］證明最大的可表為多個連續(xù)奶牛數(shù)乘積的純位數(shù)為88。

本文主要尋找所有可表為兩個奶牛數(shù)之差的純位數(shù)。由于純位數(shù)可表示為的形式，當(dāng)n＞max{10,m}時，有

因此，問題等價于求解丟番圖方程

其中n≥m，l≥2。不同于Fibonacci數(shù)，作為三階遞歸數(shù)列，奶牛數(shù)沒有二階遞歸數(shù)列那樣較好的性質(zhì)。本文主要通過代數(shù)數(shù)的對數(shù)線性型的下界及Baker-Davenport縮減方法，結(jié)合Mathematica計算丟番圖方程（1）的所有解。

1 奶牛數(shù)的基本性質(zhì)

奶牛數(shù){Nn}n≥0的特征方程是

該方程有一個實根和兩個共軛復(fù)根，它們分別是

引理1［5］設(shè){Nn}n≥0為奶牛數(shù)，則有：

（1）對任意的n≥1，αn-2≤Nn≤αn-1；

（2）對任意的n≥0，奶牛數(shù)滿足Binet公式

其中

（3）若記en=cβ βn+2+cγγn+2，則對任意的n≥1有

為了求解丟番圖方程（1），需要引入一些超越方法。設(shè)γ是數(shù)域Q上的d次代數(shù)數(shù)，其在Z上的最小多項式為的絕對對數(shù)高

引理2對數(shù)高h(yuǎn)的性質(zhì)：

（1）h(η±γ)≤h(η)+h(γ)+log 2；

（2）h(ηγ±1)≤h(η)+h(γ)；

（3）h(ηs)=|s|h(η),s∈Z。

Matveev定理［7］可以給出丟番圖方程（1）一個較大的上界。

引理3［7］設(shè)K為有理數(shù)域Q上的D次擴域，γ1,…,γt為K上的正實數(shù)，b1,…,bt為有理整數(shù)。令

及

若Λ≠0，則有

采用Bravo等［8］給出的上界縮減方法，給出一個實際可計算的上界。這個方法是Dujella等［9］給出的Baker-Davenport定理推廣的變形。

引理4［8］設(shè)A,B,γ?,μ?為正實數(shù)，M為正整數(shù)，p/q為無理數(shù)γ?的收斂子，且滿足q＞6M。記若?＞0，則在

及

的條件下，不等式

對(u,v,w)無整數(shù)解。

引理5［10］設(shè)整數(shù)m≥1，實數(shù)x,T滿足T＞(2m)2m，x＜Tlogmx，則x＜2mTlogmT。

2 丟番圖方程（1）的一個較大上界

引理6若n≥11時丟番圖方程（1）有解，則

證明若n=m，則方程（1）有解l=0。但這不滿足方程（1）對l的要求。因此不妨設(shè)n＞m且n≥11。若方程（1）有解，則

及

由式（2）和式（3）得

又

所以由式（4）可得

定理1若丟番圖方程（1）有解，則n＜5.2×1031。

證明若方程（1）有解，則由引理1得

等式（5）兩邊同除以cααn+2并取絕對值，得到

由于γ1,γ2,γ3∈K=Q(α)，因此取D=［K：Q］=3。由對數(shù)高的定義式得

及

故取A1=logα，A2=3 log 10。又cα在Z上的最小多項式為31x3-31x2+10x-1，由引理2得

于是取A3=12 log 3。由引理6可知max{n+2,l,1}=n+2，故取B=n+2。

為了利用引理3給出方程（1）的一個較大的上界，還需驗證Λ1≠0。假設(shè)Λ1=0，則有

設(shè)G為α的最小多項式在Q上的分裂域的Galois群，σ∈G為滿足σ(α)=β的自同構(gòu)，將σ作用在式（7）上，得到

若取n≥5，則有1+log(n+2)≤2 logn。由不等式（6）和式（8）得到

為了給出n的獨立于m的上界，還需再應(yīng)用一次引理3。方程（1）還可以寫成

因為n＞m，所以αn+2-αm+2≠0。式（10）兩邊同除以cααn+2(1+αm-n)，取絕對值得

若Λ2=0，則有

類似的，將σ作用在式（13）上，得到

但

而當(dāng)l≥2時，a10l/9＞10，矛盾。故有Λ1≠0。又由引理2得

因此，由式（9）得

故可取A3=7.7×1013logn。于是，由引理3得到的第2個界

結(jié)合式(12)得

因此

從而由引理5得到n＜5.2×1031。

3 丟番圖方程（1）的一個可計算上界

定理1已經(jīng)給出丟番圖方程的解的上界，但用這個界來尋找方程（1）的解所需要搜索數(shù)組(n,m,a,l)的個數(shù)超過了可觀測宇宙中的所有原子總數(shù)1082。因此，還需要將這個界大幅地縮小。幸運的是，方程（1）可以利用無理數(shù)的逼近性質(zhì)，即引理4來處理這個問題。

定理2若丟番圖方程（1）有解，則n-m≤222。

證明取

因為eΓ1-1=Λ1≠0，所以Γ1≠0。若Γ1＞0，則有

若Γ1＜0，則當(dāng)n-m≥2時，由式（2）和式（5）及引理1有

于是e-Γ1＜2。從而

總之，在任何情況下，都有

兩邊同除以logα得到

滿足q65＞6M且?a＞0.034 212＞0，a=1,2,…,9。這時，對每個a有

因此由引理4得n-m≤222。證畢。

為了給出獨立于m的上界，還需要再應(yīng)用一次引理4。

定理3若丟番圖方程（1）有解，則n≤244。

證明類似定理2的證明過程。取

因為eΓ2-1=Λ2≠0，所以Γ2≠0。若Γ2＞0，則有

若Γ2＜0，則當(dāng)n≥15時，由式（2）和式（10）及引理1有

于是e-Γ2＜2。從而

總之，在任何情況下，都有

兩邊同除以logα得到

滿 足q70＞6M且 對n-m≤222有?a,n-m＞0.000 195 552＞0，a=1,2,…,9。這時，對每個a有

因此由引理4得n≤244。證畢。

4 丟番圖方程（1）的所有解

由定理3可知，若方程（1）有解，則m＜n≤244。再由引理6得l≤41。利用Mathematica軟件經(jīng)簡單的搜索得到方程（1）的所有解，計算耗時僅0.171 875 s。

定理4丟番圖方程

的所有解為

5 結(jié)論

利用對數(shù)線性型及縮減方法，研究可表為兩個奶牛數(shù)之差的純位數(shù)。在可計算的解的上界中搜索，給出所有可表為兩個奶牛數(shù)之差的純位數(shù)，其中最大的形如兩個奶牛數(shù)之差的純位數(shù)是88。文中所使用的方法可以進(jìn)一步應(yīng)用在尋找可表為給定遞歸數(shù)列的線性組合的純位數(shù)等與遞歸數(shù)列及純位數(shù)有關(guān)的問題中。