趙雪鵬 (西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 215028)

2021年新高考數(shù)學(xué)I卷第20題是一道立體幾何題，難度適中，屬于常規(guī)題.最近筆者所帶的兩個(gè)班級(高二年級比較好的兩個(gè)理科班，學(xué)生的理解能力和運(yùn)算能力較好)已經(jīng)學(xué)完了空間向量這一章節(jié)，在復(fù)習(xí)課上，限時(shí)15分鐘在這兩個(gè)班級做了本道試題.但是學(xué)生普遍做得不理想，不少學(xué)生得分低，出現(xiàn)了很多出乎意料的錯(cuò)誤.通過對學(xué)生答題情況進(jìn)行細(xì)致的分析，筆者對學(xué)生的常見錯(cuò)誤進(jìn)行了歸納總結(jié)，并提出了若干想法.

1 試題賞析

(2021年全國新高考I卷第20題)如圖1，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).

圖1

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

本題是一道立體幾何題，以常見的三棱錐為模型，主要考查了面面垂直的性質(zhì)定理、二面角及三棱錐的體積運(yùn)算，試題背景常見，而且問題呈現(xiàn)的形式也比較常規(guī)，主要指向?qū)臻g幾何的立體感及數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 學(xué)生答題情況

2.1 第(1)題答題情況

第(1)題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理，指向?qū)W生的空間立體感及邏輯推理能力.該題的常規(guī)做法是通過面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，然后再通過線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直.具體做法如下：因?yàn)锳B=AD，O為BD中點(diǎn)，所以AO⊥BD.因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，AO?平面ABD，因此AO⊥平面BCD.因?yàn)镃D?平面BCD，所以AO⊥CD.

第(1)題屬于容易題，學(xué)生應(yīng)該能做出來，但從批改的情況來看，該小題還是出現(xiàn)了以下一些典型的錯(cuò)誤：

(1)在用面面垂直和線面垂直的性質(zhì)定理時(shí)漏條件.在用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，很多學(xué)生漏掉了平面ABD∩平面BCD=BD和AO?平面ABD這兩個(gè)條件；在用線面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，很多學(xué)生漏掉了CD?平面BCD這一條件.更有甚者，沒有出現(xiàn)AO⊥BD和平面ABD⊥平面BCD這一關(guān)鍵條件，導(dǎo)致不必要的丟分.

(2)審題不清.學(xué)生審題不細(xì)心，答題不細(xì)致，丟了一些冤枉分.例如，第(1)題證明OA⊥CD，但有些學(xué)生看成了OA⊥OC；同樣，由面面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)該得到OA⊥面BCD，但有些學(xué)生誤寫成OA⊥面ABD.諸如此類的低級錯(cuò)誤比比皆是，因此而丟分，實(shí)在可惜.

(3)還有的學(xué)生由于不理解面面垂直這一條件，亂寫一通.首先得到AO⊥BD，然后默認(rèn)為AO⊥OC，緊接著由線面垂直的判定定理得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，這樣的學(xué)生還不占少數(shù).這類情況凸顯出學(xué)生對試題的不理解，沒有領(lǐng)會(huì)命題意圖，對已學(xué)知識(shí)的掌握還不夠熟練.

從以上這幾種典型的錯(cuò)誤可以看出，學(xué)生對所學(xué)知識(shí)掌握得不扎實(shí)，沒有做到理解性地學(xué)習(xí).例如，犯第(1)種類型的錯(cuò)誤的學(xué)生，不理解面面垂直的含義，只是機(jī)械性地去背面面垂直的性質(zhì)定理的條件，根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線的規(guī)律，很快會(huì)忘記，所以在答題時(shí)漏這漏那.同樣，對于第(3)種錯(cuò)誤，受所給圖形的誤導(dǎo)，默認(rèn)為OA⊥OC，這是典型的條理不清晰.

2.2 第(2)題答題情況

第(2)題主要考查二面角及三棱錐的體積，指向?qū)W生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.學(xué)生主要有兩種解法，一種是綜合演繹法，一種是向量坐標(biāo)法.具體解法如下：

圖2

方法2 (向量坐標(biāo)法)第(2)題大部分學(xué)生使用向量坐標(biāo)法，也是高中數(shù)學(xué)解決立體幾何線面角和二面角等問題的常見方法.由于題中沒有給出坐標(biāo)系，要求學(xué)生自己先建系，每個(gè)人的建系有所不同，因此第(2)題的向量法解析不再陳述了，主要列舉第(2)題解答中出現(xiàn)的一些問題.一些學(xué)生沒有在解答過程中交代建系的過程，也沒有在圖中畫出坐標(biāo)系，作答過程極其隨意；部分學(xué)生作答時(shí)缺乏邏輯性，例如，在求面EBC的法向量時(shí)，寫出點(diǎn)E,B,C的坐標(biāo)后，并沒有接著寫出向量EB,EC或BC的坐標(biāo)形式，直接得到等式并求出法向量，導(dǎo)致解答過程不嚴(yán)謹(jǐn)；計(jì)算錯(cuò)誤也是該方法中的一個(gè)常見問題，例如，部分學(xué)生寫的方程組是對的，但法向量求錯(cuò)了，更有甚者，點(diǎn)C的坐標(biāo)就求錯(cuò)了，導(dǎo)致本小題幾乎不得分.諸如此類的錯(cuò)誤讓筆者感到觸目驚心，本題本應(yīng)是一道簡單的送分題，硬被某些學(xué)生變成了“送命題”.因此，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式急需調(diào)整.

3 教學(xué)建議

數(shù)學(xué)學(xué)科考試以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)為思維材料和操作對象，考查學(xué)生各方面已經(jīng)得到發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師要以數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向進(jìn)行有效的復(fù)習(xí).

3.1 強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法

在平時(shí)的教學(xué)過程中，一定要以教材為依托，對照數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)習(xí)要求，教學(xué)過程中穩(wěn)扎穩(wěn)打，講透每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，切忌囫圇吞棗，不能讓學(xué)生有云里霧里的感覺.對于一些重要的知識(shí)點(diǎn)，要反復(fù)強(qiáng)調(diào)，從最基礎(chǔ)的題目抓起，通過題目強(qiáng)化學(xué)生對知識(shí)的理解.對于一些難度較大的題目，要引導(dǎo)學(xué)生從一些關(guān)鍵點(diǎn)上去打開缺口，引導(dǎo)優(yōu)秀的學(xué)生自己去鉆研，切不可過分提高要求.

對于數(shù)學(xué)中的一些基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，記憶是一方面，更重要的是理解.俗話說“好記性不如爛筆頭”，這句話稍微改編一下，變?yōu)椤昂糜浶圆蝗缰R(shí)理解”，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)效果將更好.例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，通過實(shí)物演示去理解這個(gè)過程，那么會(huì)更容易地記住這四個(gè)條件，無論過多長時(shí)間都能記住.因此，理解基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法顯得尤為重要，也暗示著在平時(shí)的教學(xué)復(fù)習(xí)過程中不能一味地刷題，更要重視知識(shí)的形成過程.

同時(shí)，對于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的訓(xùn)練不應(yīng)該只是簡單的重復(fù)和片面的記憶，而要通過整理、歸納和總結(jié)，多方面地去認(rèn)識(shí)每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)及它們之間的聯(lián)系.通過分類、整理，逐步形成一個(gè)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，以便在解題時(shí)，準(zhǔn)確依據(jù)給定的信息，快速尋求解題途徑，優(yōu)化答題過程，最終在考試過程中對基礎(chǔ)知識(shí)的理解和基本方法的運(yùn)用胸有成竹[1].

3.2 注意解題的規(guī)范性與完整性

數(shù)學(xué)解題應(yīng)包含審題、語言表達(dá)、作答規(guī)范三個(gè)方面.

·審題規(guī)范

認(rèn)真審題對正確解題而言至關(guān)重要，審題是對試題進(jìn)行分析、尋找有用信息以及探求正確的解題思路的過程.審題過程包括弄清楚題干條件及問題、分析題干條件和問題之間的關(guān)系、找出正確的解題方法等三部分.

(1)分析題干中的條件和問題

(2)分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系

正確地解決一道試題，只分析條件或問題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，常常需要將條件和問題聯(lián)系在一起，尋找二者之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而去聯(lián)想與其相關(guān)的必備知識(shí)，逐一嘗試，即可順利解決本題.例如，2021年新高考I卷第19題，如果學(xué)生將題干的三等分點(diǎn)和問題結(jié)合在一起分析，就能想到互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的余弦值互為相反數(shù)，那么就會(huì)想到在兩個(gè)三角形中對這兩個(gè)角分別用余弦定理，可以得到三角形邊的等式關(guān)系，進(jìn)而解決本題.

(3)確定解題思路

一道試題的條件與問題之間必然存在著一系列的關(guān)聯(lián)，這些聯(lián)系是順利解題的關(guān)鍵.然而用哪些關(guān)聯(lián)去解題，需要根據(jù)這些聯(lián)系背后的數(shù)學(xué)知識(shí)和其所遵循的數(shù)學(xué)原理來確定.對某些題目而言，這種聯(lián)系比較隱蔽，只有通過認(rèn)真的分析才能發(fā)現(xiàn)；而有些試題的條件和問題之間的聯(lián)系有多種，這也是一題多解的原因所在[1].

·語言敘述規(guī)范

數(shù)學(xué)作為一門理科學(xué)科，有其嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性.因此，教師在平時(shí)的教學(xué)(特別是新授課的教學(xué))和學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要板書清晰和答題規(guī)范，不可隨意漏步驟和答題混亂.平時(shí)的閱卷過程中要看語言敘述是否到位.因此，學(xué)生的答題步驟應(yīng)清楚、正確、完整，詳略得當(dāng)，言必有據(jù).

·作答規(guī)范

進(jìn)入高中，考試對于學(xué)生而言是再正常不過的事情，但是一到考試，學(xué)生多少會(huì)有點(diǎn)緊張，這時(shí)很容易犯一些低級的錯(cuò)誤，而自己還不自知.例如，在本道試題第(1)題證明中學(xué)生所犯的錯(cuò)誤.學(xué)生的作答要準(zhǔn)確、簡潔、全面，既要注意結(jié)果的驗(yàn)證、取舍，又要注意答案的完整，要做到審清題目的目標(biāo)，按目標(biāo)作答.

3.3 提高學(xué)生的計(jì)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，滲透在數(shù)學(xué)考卷的各個(gè)方面.現(xiàn)在的數(shù)學(xué)考試主要考學(xué)生的“想”和“算”，而“算”的準(zhǔn)確性是學(xué)生能拿到基本分的關(guān)鍵，顯得尤為重要.本道試題的第(2)題，用向量法做題時(shí)，有的學(xué)生一開始就把點(diǎn)C的坐標(biāo)求錯(cuò)，往下的過程雖然全對，但一分不得，這樣的錯(cuò)誤非?？上?因此，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力顯得尤為重要.要想提高運(yùn)算能力，一方面需要通過限時(shí)的練習(xí)來提高做基礎(chǔ)題的速度，另一方面要提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率.提高運(yùn)算能力不僅要細(xì)心，更需要思考，且“思”要在“算”的前面.通過思考，明確運(yùn)算的方向，能對運(yùn)算的結(jié)果有一定的預(yù)見性.平時(shí)的教學(xué)過程中一定要重視學(xué)生的計(jì)算，涉及到計(jì)算問題，例如概率統(tǒng)計(jì)、空間向量求二面角和解析幾何等計(jì)算量大的題目，務(wù)必讓學(xué)生去算，甚至課堂上專門拿出時(shí)間讓學(xué)生去做，這是劃得來的.通過比較不同的算法，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確率.

3.4 注意答題細(xì)節(jié)，養(yǎng)成好的答題習(xí)慣

平常數(shù)學(xué)考試的閱卷過程中經(jīng)常反饋出來的信息是：難題大家?guī)缀醵寄貌坏椒?，而簡單題、送分題也有很多人得不到分.究其原因，主要是答題習(xí)慣差、書寫不注意細(xì)節(jié).

對于學(xué)生做題過程中的主要問題，筆者作了如下的梳理，以備今后教學(xué)中注意.

(1)字不必要漂亮，但必須清晰有條理

平時(shí)教學(xué)中，有教師強(qiáng)調(diào)卷面整潔、字體漂亮可以贏得閱卷老師好感，多得分.于是有的學(xué)生便刻意而為，字體力求漂亮.其實(shí)，在考試緊張的狀態(tài)下，過分關(guān)注字體漂亮，勢必會(huì)影響答題的速度.因此，遵循“慢思考、快答卷、字跡清”才是更可行的準(zhǔn)則.所以，字不必要漂亮，但要一目了然，答題過程要清晰有條理.

(2)答題過程不必要詳細(xì)，但要突出重點(diǎn)步驟，盡可能覆蓋“得分點(diǎn)”

任何考試的閱卷基本原則之一是“看點(diǎn)給分”，這就要求考生能盡量清晰有條理地把必要的知識(shí)點(diǎn)、關(guān)鍵步驟寫出來.在閱卷過程中，不少學(xué)生不著邊際地亂寫一通，但沒有得分點(diǎn)，因此勞而無功，白白浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間.

在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，教師和學(xué)生要經(jīng)常性地反思自己的教學(xué)和學(xué)習(xí)方式，在反思過程中，不斷地對自己不合理的教學(xué)和學(xué)習(xí)行為進(jìn)行批判，督促自己不斷地學(xué)習(xí)進(jìn)步，成就最好的自己.