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    精心組織教學(xué)活動(dòng) 促進(jìn)核心素養(yǎng)提升
    ——以“函數(shù)與方程(一)”為例

    2023-01-11 01:39:12江蘇省海門中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年17期
    關(guān)鍵詞:一元二次方程交點(diǎn)零點(diǎn)

    江蘇省海門中學(xué)

    姜璐璐

    數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持以生為本,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)掌握基本知識(shí)和基本技能,在解決問(wèn)題的過(guò)程中形成經(jīng)驗(yàn),從而在知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的共同作用下形成學(xué)習(xí)能力.筆者在“函數(shù)與方程(一)”教學(xué)時(shí),借助情境和問(wèn)題設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),在培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、概括能力、抽象能力等方面取得了較大突破,與大家分享,以期共鑒.

    1 教學(xué)分析

    “函數(shù)與方程(一)”是一節(jié)抽象的概念課,重點(diǎn)是理解和掌握函數(shù)零點(diǎn)定義及零點(diǎn)存在性定理.概念課看似簡(jiǎn)單,但受傳統(tǒng)教學(xué)模式影響,在教學(xué)中常出現(xiàn)“重結(jié)論,輕過(guò)程”的現(xiàn)象,從而將“概念課”變成了“習(xí)題課”,學(xué)生知道個(gè)一知半解就忙著去應(yīng)用,結(jié)果后期解決綜合性問(wèn)題時(shí)漏洞百出.要讓學(xué)生真正將概念學(xué)懂吃透,既清楚內(nèi)涵又了解外延,需要教師精心預(yù)設(shè).本節(jié)課在問(wèn)題情境的引領(lǐng)下,旨在培養(yǎng)學(xué)生的觀察、抽象概括能力,體驗(yàn)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用,從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    2 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

    2.1 回顧舊知,引出新知

    教學(xué)片段1:

    師:利用對(duì)數(shù)知識(shí)求方程0.84x=0.5的近似解,該如何求呢?

    師:很好!如果利用圖象,你能求嗎?

    生2:可以求.將方程0.84x=0.5左右兩邊看作兩個(gè)函數(shù),y=0.84x和y=0.5,兩函數(shù)y=0.84x和y=0.5圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求.

    師:很好.生2通過(guò)構(gòu)造法構(gòu)造了兩個(gè)較為熟悉的函數(shù)y=0.84x和y=0.5,這樣在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象,借助圖象可求方程近似解.

    設(shè)計(jì)意圖:函數(shù)與方程都是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容,在數(shù)學(xué)中占有重要的位置,同時(shí)兩者又有著緊密的聯(lián)系.如果教學(xué)之初就直接指出兩者的聯(lián)系似乎有些生硬,為此,先用舊知“對(duì)數(shù)相關(guān)知識(shí)”來(lái)引入,引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的思路直接求解.接下來(lái),運(yùn)用問(wèn)題“如何利用圖象求解”,引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想函數(shù),由此將方程轉(zhuǎn)化為了函數(shù),這樣引入新課題也就水到渠成了.

    2.2 借助特例,歸納提煉

    教學(xué)片段2:

    師:觀察以下幾個(gè)特殊函數(shù)的圖象,試寫出函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo),并求出對(duì)應(yīng)方程的根,看看你有哪些發(fā)現(xiàn).

    ①一元二次方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3(圖象如圖1);

    圖1 圖2 圖3

    ②一元二次方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1(圖象如圖2);

    ③一元二次方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3(圖象如圖3).

    問(wèn)題給出后,教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行觀察,并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行總結(jié)和歸納,很快,很多學(xué)生迫不急待的想發(fā)表自己的見(jiàn)解了.

    生3:分析第①組,該一元二次方程有兩個(gè)根,分別為-1和3,與之相應(yīng)的函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0).由此可知,方程x2-2x-3=0的根即為函數(shù)y=x2-2x-3與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

    生4:在第②組中,方程的根為x1=x2=1,相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),故與生3得出的結(jié)論類似.

    生5:在第③組中,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,圖象與x軸無(wú)交點(diǎn).

    師:大家說(shuō)得非常好!剛剛我們觀察的是特殊方程,如果對(duì)于一般方程會(huì)有怎樣的結(jié)果呢?請(qǐng)各小組分工協(xié)作,完成下面表格(如表1).(學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一般規(guī)律,很快完成了表格的填寫.)

    表1 一元二次方程與對(duì)應(yīng)函數(shù)的關(guān)系

    注:a>0.

    師:各小組表格都已經(jīng)填寫好了,現(xiàn)在請(qǐng)結(jié)合表格內(nèi)容歸納總結(jié),一般一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關(guān)系.

    生6:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值y=0時(shí)自變量x的值,也就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

    師:很好!一般地,把使函數(shù)y=f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),即方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

    設(shè)計(jì)意圖:為了便于觀察、計(jì)算,教師設(shè)計(jì)了幾個(gè)簡(jiǎn)單的一元二次方程,通過(guò)方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)比,得出了一元二次方程的根即為相應(yīng)的一元二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).結(jié)論得出后,為了將其轉(zhuǎn)化為一般規(guī)律,教師讓學(xué)生聯(lián)想一般方程,完成了從特殊到一般的轉(zhuǎn)化.在此基礎(chǔ)上給出函數(shù)零點(diǎn)定義也就使定義更加具體形象了,學(xué)生也更容易總結(jié)歸納三者的關(guān)系:方程f(x)=0有解?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).這樣讓學(xué)生經(jīng)歷由根到交點(diǎn)再到零點(diǎn)的過(guò)程,有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

    2.3 借助轉(zhuǎn)化,檢驗(yàn)應(yīng)用

    教學(xué)片段3:

    例1求證:二次函數(shù)y=2x2+3x-7有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

    證法1:(代數(shù)法)考察二次方程2x2+3x-7=0,因?yàn)棣?32-4×2×(-7)=65>0,所以方程2x2+3x-7=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.因此,二次函數(shù)y=2x2+3x-7有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

    證法2:(幾何法)由f(x)=2x2+3x-7的二次項(xiàng)系數(shù)是2,可知拋物線的開(kāi)口向上,且f(1)=2+3-7=-2<0,所以二次函數(shù)y=2x2+3x-7與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).因此,二次函數(shù)y=2x2+3x-7有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

    例2判斷函數(shù)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間(2,3)內(nèi)是否存在零點(diǎn).

    設(shè)計(jì)意圖:在教學(xué)中,為了實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化,了例題環(huán)節(jié).設(shè)置例1引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考零點(diǎn)問(wèn)題,即代數(shù)法和幾何法.對(duì)于例2,根據(jù)學(xué)情可知,在解決此類問(wèn)題時(shí)多數(shù)學(xué)生習(xí)慣運(yùn)用代數(shù)法來(lái)求解,教師可以順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)尋找“另外方法”為下面的教學(xué)內(nèi)容作鋪墊,讓學(xué)生的思維在問(wèn)題的引導(dǎo)下螺旋上升.

    2.4 完善猜想,形成定理

    教學(xué)片段4:

    師:觀察例2中函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象,我們猜想出“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),則必有f(a)f(b)<0”.如果這樣說(shuō)你們認(rèn)為成立嗎?“若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)”呢?

    設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生對(duì)定理成立條件的關(guān)注,從而為定理的引入及內(nèi)化作好鋪墊.在教學(xué)中,可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想特例來(lái)驗(yàn)證,這樣學(xué)生更容易理解“不間斷的曲線”這一限定條件.接下來(lái)還可以提出問(wèn)題①在什么條件下,可以使函數(shù)y=f(x)有唯一零點(diǎn)?②為什么題設(shè)中是閉區(qū)間[a,b],而結(jié)論中是開(kāi)區(qū)間(a,b)?這樣,通過(guò)仔細(xì)推敲和挖掘,讓學(xué)生對(duì)定理的理解更加細(xì)致、全面,為后面的應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

    3 教學(xué)反思

    本節(jié)課通過(guò)前期的鋪墊,利用“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”等重要數(shù)學(xué)思想方法引發(fā)了學(xué)生對(duì)“函數(shù)零點(diǎn)”的思考,從而將方程的根、圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)緊密相連,實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間的轉(zhuǎn)化.接下來(lái)又圍繞“函數(shù)零點(diǎn)定理”經(jīng)歷了一次探究之旅,從觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、推理、驗(yàn)證、應(yīng)用等環(huán)節(jié)突破了重難點(diǎn),發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的本質(zhì),最終形成了定理.數(shù)學(xué)定理本是抽象的,為了提升教學(xué)的有效性,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,在教學(xué)中需要多從學(xué)生的認(rèn)識(shí)角度去思考問(wèn)題,通過(guò)創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的梳理、歸納、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立完整的知識(shí)體系,進(jìn)而提升解決問(wèn)題的能力.

    總之,要發(fā)揮課堂教學(xué)價(jià)值,離不開(kāi)教師精心的預(yù)設(shè).只有精心預(yù)設(shè)才能使知識(shí)向正方向遷移,從而揭示問(wèn)題的本質(zhì),提煉出有價(jià)值的數(shù)學(xué)方法,最終形成解題能力和學(xué)習(xí)能力,提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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