挖掘教材資源 拓展數(shù)學(xué)思維

?北京中學(xué) 申海東

1 引言

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中過于強(qiáng)調(diào)“練”的作用，使整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程都與題為伴，試圖利用“刷題”來提升解題能力，那么這樣做是否真的有效呢？過多的練習(xí)勢必會(huì)固化學(xué)生的思維，消耗學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)作任務(wù)，缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)，影響學(xué)生探究的熱情.另外，因?yàn)檫^多的“練”使學(xué)生忽視了對教材的關(guān)注.殊不知，中考為了體現(xiàn)教學(xué)的公平性和基礎(chǔ)性，其考核的內(nèi)容源于教材，而學(xué)生因?yàn)閷滩牡你@研不夠，導(dǎo)致基礎(chǔ)題頻頻失分.可見，若教學(xué)偏離教材，學(xué)生不僅消耗了精力而且成績沒有得到實(shí)質(zhì)性的提高，得不償失.因此，在教學(xué)中，教師必須將目光和精力放置于教材的鉆研上，關(guān)注例習(xí)題的拓展和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究來挖掘例習(xí)題的典型性功能，使學(xué)生練就成火眼金睛，可以透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，提升解決問題的能力[1].筆者通過例題，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的挖掘和拓展，以期優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知，鍛煉學(xué)生的思維.

2 研讀教材，深挖內(nèi)涵與外延

教材是知識(shí)點(diǎn)的濃縮和升華，是教學(xué)實(shí)施的依據(jù)，是設(shè)置教學(xué)活動(dòng)的方向標(biāo).教師對教材的掌握程度決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的高度.新課標(biāo)實(shí)施后，教材內(nèi)容更加豐富化，生活化，開放化，為教學(xué)帶來了新的機(jī)遇和新的挑戰(zhàn).教材是濃縮的精華，其語言言簡意賅，其內(nèi)容簡潔精煉，從而使學(xué)生感覺數(shù)學(xué)知識(shí)抽象、乏味.另外，部分教師因?qū)滩难凶x不足，上課內(nèi)容空洞；對概念和公式的探究主要依賴?yán)?xí)題進(jìn)行鞏固，缺乏概念、公式、定理的分析和講解.這樣勢必會(huì)影響學(xué)生對知識(shí)的建構(gòu)和遷移.因此，為了讓學(xué)生更好地體驗(yàn)教材并與教材順暢地溝通，教師要充分發(fā)揮其協(xié)調(diào)者的作用.教師要精心研讀教材，領(lǐng)會(huì)其豐富的知識(shí)內(nèi)涵，充分挖掘例習(xí)題中所隱藏的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)內(nèi)涵，通過對教材的再開發(fā)實(shí)現(xiàn)夯實(shí)基礎(chǔ)、有效拓展的目的.

圖1

例1如圖1，AD是△ABC中∠BAC的平分線，它與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D，求證：DB=DC.

為了發(fā)揮例題的示范作用，教師板演解題過程.因?qū)W生對本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容已經(jīng)精準(zhǔn)把握，因此在講解時(shí)非常順暢，為了發(fā)揮學(xué)生的主體作用并調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，教師講解后提出問題：若將“AD是△ABC中∠BAC的平分線”改為“AD是△ABC的外角∠EAC的平分線”，該如何證明呢？

圖2

例2如圖2，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D，求證：DB=DC.

(學(xué)生板演證明過程.)

證明：∵AD是∠EAC的平分線，

∴∠DAC=∠DAE.

∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，

∴∠BAD+∠DCB=180°.

∴∠DCB=∠DAE.

又∠DAC=∠DBC,

∴∠DBC=∠DCB,

∴DB=DC.

通過新的問題引出例題，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，又將學(xué)生的眼光由三角形內(nèi)引導(dǎo)至三角形外.對比的教學(xué)手法讓學(xué)生深入思考，形成完善的知識(shí)體系.另外，本題主要考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，題目簡單，學(xué)生合作探究后，由學(xué)生板演解題過程，進(jìn)而通過暴露學(xué)生的思維過程來培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力.

教學(xué)反思：通過研讀教材，教師才能提出有效的問題，從而用問題將新舊知識(shí)串聯(lián)，讓學(xué)生通過猜想、分析、對比逐漸形成完善的知識(shí)體系，有利于學(xué)生從特殊中總結(jié)出一般規(guī)律，有利于學(xué)生的發(fā)展.

3 變式引申，關(guān)注知識(shí)遷移

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，變式教學(xué)是常用的教學(xué)方法之一，其以基礎(chǔ)知識(shí)為源，通過改變條件引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，有利于拓展學(xué)生的知識(shí)面.同時(shí)，因變式后題目更加新穎別致，更能反映問題的本質(zhì)特征，有助于學(xué)生加深對知識(shí)點(diǎn)的理解，進(jìn)而通過變化培養(yǎng)思維的多樣性和創(chuàng)新性.

為了讓學(xué)生深化理解，關(guān)注知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，筆又結(jié)合圖2將題目做了這樣的拓展：

例3如圖2，△ADB和△ADC是圓O的內(nèi)接三角形，AD邊公共，BD=CD，∠ABD=∠ACD，那么△ADB與△ADC是否全等呢？

通過對圖形的直觀觀察并結(jié)合三角形全等條件可以判斷兩三角形不全等.在之前的學(xué)習(xí)過程中學(xué)生主要關(guān)注性質(zhì)的應(yīng)用，對“為什么”的探究很少，在對“邊邊角”和“角角角”不全等的探究過程僅局限于舉出反例.研讀教材后發(fā)現(xiàn)，本題就是一個(gè)很好的反例.筆者通過結(jié)合圖形特點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥BE，DM⊥AC，垂足分別為F，M，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，去發(fā)現(xiàn)隱藏在已知中的奧秘.

圖3

探究過程：如圖3，根據(jù)已知很容易證明△DFA≌△DMA，△DFB≌△DMC.通過探究驚奇地發(fā)現(xiàn)，△ADB與△ADC作垂線后即將△ADC多出的三角形△ADM補(bǔ)給△ADB，得到了兩個(gè)全等三角形.若AD與DM重合，且兩個(gè)三角形為直角三角形時(shí)，可以直接用HL定理來判斷其是否全等.另外，通過觀察還可以發(fā)現(xiàn)BA+AM=MC，即M是折線BAC的中點(diǎn).

經(jīng)過探究學(xué)生收獲了意外的驚喜，尤其BA+AM=MC為常見的幾何證明題結(jié)論，之前解題時(shí)常會(huì)感覺過于抽象無從下手，這樣從新知聯(lián)想到了舊知，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手實(shí)踐的過程加深了對舊知的理解，有利于學(xué)生將新知內(nèi)化至已有認(rèn)知中，進(jìn)而形成完整的知識(shí)體系.

教學(xué)反思：數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，更換一個(gè)已知條件或一個(gè)數(shù)字就變成了一個(gè)新的題目.若僅靠機(jī)械練習(xí)而不注重總結(jié)、歸納和拓展，不但增加了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且無法形成解題能力，不利于學(xué)生的持續(xù)發(fā)展.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分發(fā)揮變式的功能，借助“變”讓學(xué)生厘清問題的來龍去脈，找到問題的本質(zhì)，總結(jié)出解決問題的通性通法，這樣才能具備以不變應(yīng)萬變的能力，從而真正地提升解題效率.為了更好地設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)淖兪?，教師必須認(rèn)真鉆研教材，結(jié)合學(xué)生學(xué)情和已有認(rèn)知，借助教材中的“言外之意”來開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.

4 尋根求源，提升解題能力

經(jīng)過實(shí)踐驗(yàn)證，提升學(xué)生解題能力的法寶不是“題海戰(zhàn)術(shù)”，而且“尋根求源”的能力.雖然中考題目千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，只有抓住了問題的本質(zhì)，解決問題才能游刃有余.在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行剖析，尋找已知與結(jié)論的聯(lián)系，挖掘已知和結(jié)論的隱藏條件，借助已有認(rèn)知進(jìn)行重新建構(gòu)，最終形成解題思路.

將例2的探究過程進(jìn)行簡化和重建，得出了以下兩個(gè)證明題：

圖4

例3如圖4，點(diǎn)D是弧BAC的中點(diǎn)，點(diǎn)A是弧上任意一點(diǎn)，若DM⊥AC于點(diǎn)M，求證：M是折線ABC的中點(diǎn).

例4如圖4，AB>BC,點(diǎn)D是弧BAC的中點(diǎn)，點(diǎn)A是弧上任意一點(diǎn)，若DM⊥AC，M為垂足，求證：BA+AM=MC.

例3和例4是由例2的探究而來，經(jīng)過仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)其是阿基米德折弦定理.至此學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到定理的證明和應(yīng)用，尤其補(bǔ)短法、截長法和垂線法這三個(gè)方法的應(yīng)用在幾何證明中發(fā)揮著不可估量的作用.

教學(xué)反思：在實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)習(xí)題都是由典型題目演變而來的.因此要提升解題能力，“尋根求源”才是關(guān)鍵，找到問題的原型，解題思路自然豁然開朗.在教學(xué)中不要盲目追求“多”“新”“難”，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“變”，要對典型題目進(jìn)行仔細(xì)推敲，找到問題的“前世”，這無疑會(huì)大大提升學(xué)生的解題能力.

5 追問與聯(lián)想，建構(gòu)新的知識(shí)體系

由對圓內(nèi)接四邊形的探究延伸至對“邊邊角”的思考，借助“邊邊角”的反例又延伸至對“阿基米德折弦定理”的思考，這樣一點(diǎn)點(diǎn)拓展，一點(diǎn)點(diǎn)編織，形成了一個(gè)巨大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，方便學(xué)生記憶、運(yùn)用.

為了讓學(xué)生進(jìn)一步拓展，教師又提出問題：通過“邊邊角”你還能聯(lián)想到哪些相關(guān)的內(nèi)容呢？

在問題的指引下，學(xué)生想到了HL定理、平行四邊形的判定，以及解直角三角形，這樣由點(diǎn)及面的構(gòu)造，使學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)不斷豐富、完善.

數(shù)學(xué)教學(xué)要改變傳統(tǒng)“以練代思”的機(jī)械模仿模式，要給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行教材的挖掘，通過對典型題目的挖掘而深入了解知識(shí)的內(nèi)涵和外延[2].同時(shí)，也要給學(xué)生足夠的空間去聯(lián)想和交流，教師可以通過問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生在聯(lián)想、反思、總結(jié)中不斷完善認(rèn)知，提升自我.