思路有序變化 變式自然生成

?湖北省武漢市吳家山第三中學(xué) 萬(wàn)建光

1 引言

拋物線中的定值問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)，這類試題注重初高中知識(shí)的銜接,考查學(xué)生解題的綜合能力，備受命題者的青睞.如何根據(jù)此類問(wèn)題編制變式題組？變式又是怎樣產(chǎn)生的？還能編出哪些定值問(wèn)題？這些都是數(shù)學(xué)教師和學(xué)生一直思考的問(wèn)題.本文以2020年武漢市中考數(shù)學(xué)第24題第(3)小題為例，運(yùn)用多種策略和方法對(duì)題目進(jìn)行變式研究，并探究同一背景下的其他定值問(wèn)題，以期和大家共研變式教學(xué)之道.

2 試題呈現(xiàn)

題目將拋物線C：y=(x-2)2向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2.

(1)略；(2)略；

圖1

3 變式研究

第(3)問(wèn)的問(wèn)題是自然的，對(duì)學(xué)生的智力有適度的挑戰(zhàn)性，題意明確、不糾纏于細(xì)枝末節(jié)，表述形式簡(jiǎn)潔、流暢、好懂[1].多維度、多層面對(duì)這個(gè)“好題”進(jìn)行變式研究，有利于夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，有利于擴(kuò)大學(xué)生的認(rèn)知廣度和深度.原題的核心條件有：(1)兩條直線EF，GH相交于點(diǎn)O；(2)點(diǎn)M，N分別是線段EF，GH的中點(diǎn)；(3)兩條直線的斜率之積為-4.保持原題拋物線的解析式及部分核心條件不變，編制母題，在母題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式研究.

3.1 交點(diǎn)變化，定點(diǎn)依然

思路1：原題中兩條弦的交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，可以改變核心條件中兩弦交點(diǎn)的位置來(lái)探究直線是否過(guò)定點(diǎn).

圖2

變式1如圖2，直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2交于點(diǎn)P(1，3)，直線y=k1x+b1與拋物線y=x2-6交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線y=k2x+b2與此拋物線交于點(diǎn)G，H, 且M，N分別為線段EF，GH的中點(diǎn)，若k1k2=-4，求證：直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(參考答案：定點(diǎn)為(0，5).)

圖3

變式2如圖3，點(diǎn)P(-3，3)在拋物線y=x2-6上，直線PF:y=k1x+b1與此拋物線交于另一點(diǎn)F，直線PH:y=k2x+b2與此拋物線交于另一點(diǎn)H，且M，N分別為線段PF，PH的中點(diǎn)，若k1k2=-4，求證：直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(參考答案：定點(diǎn)為(0，5).)

圖4

變式3如圖4，直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2交于點(diǎn)P(-4，3)，直線y=k1x+b1與拋物線y=x2-6交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線y=k2x+b2與拋物線交于點(diǎn)G，H, 且M，N分別為線段EF，GH的中點(diǎn)，若k1k2=-4，求證：直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(參考答案：定點(diǎn)為(0，5).)

剖析：點(diǎn)P與拋物線的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部、點(diǎn)在拋物線上和點(diǎn)在拋物線的外部.由①式可知：只要已知k1k2的值，直線MN必經(jīng)過(guò)定點(diǎn).變式中動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不變，定點(diǎn)的坐標(biāo)沒(méi)有變化，目的是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化中的不變，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3.2 由點(diǎn)到線，體系初現(xiàn)

思路2：循著從點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系到直線與拋物線的位置關(guān)系的研究路徑，改變兩條直線與拋物線的位置關(guān)系探究直線MN是否過(guò)定點(diǎn).同時(shí)交換題目中的題設(shè)和結(jié)論的位置，可以得出新的定值問(wèn)題，豐富定值結(jié)論.

圖5

變式4如圖5，直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2交于點(diǎn)P(t，3)(t<-3)，直線y=k1x+b1與拋物線y=x2-6交于點(diǎn)E，F(xiàn)，M為線段EF的中點(diǎn)，直線y=k2x+b2與此拋物線有唯一公共點(diǎn)N，且k1k2=-4，求證：直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(參考答案：定點(diǎn)為(0，5).)

圖6

變式5如圖6，過(guò)點(diǎn)P(t，-8)的直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2分別與拋物線y=x2-6有唯一公共點(diǎn)M，N，求證：直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(參考答案：定點(diǎn)為(0，-4).)

變式6如圖6，過(guò)點(diǎn)(0，-5)的直線與拋物線y=x2-6交于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M，N分別作直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2與此拋物線均有唯一公共點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)P，求證：(1)k1k2為定值；(2)點(diǎn)P在定直線上運(yùn)動(dòng).(參考答案：(1)k1k2=-4；(2)點(diǎn)P在直線y=-7上運(yùn)動(dòng).)

剖析：變式4和變式5分別得到了拋物線的切割線和雙切線的圖形，探究發(fā)現(xiàn)都存在著類似的定值問(wèn)題.將變式5的條件和結(jié)論互換后得出變式6.類比圓冪定理，沿拋物線的相交弦→雙割線→切割線→雙切線這一主線進(jìn)行變式探究，將整個(gè)定值問(wèn)題串成一條線，進(jìn)而形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，一個(gè)體系，讓學(xué)生感悟知識(shí)和結(jié)論的統(tǒng)一美.

3.3 位似變換，奇異再現(xiàn)

思路3：將核心條件中M,N的位置由中點(diǎn)變?yōu)榫€段對(duì)應(yīng)的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)、五等分點(diǎn)……直至平移到分別與點(diǎn)F，H重合，探究直線MN是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

圖7

圖8

變式8如圖8，點(diǎn)P(-3，3)在拋物線y=x2-6上，直線PF:y=k1x+b1交此拋物線于另一點(diǎn)F，直線PH:y=k2x+b2交此拋物線于另一點(diǎn)H，若k1k2=-4，求證：直線FH經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(參考答案：定點(diǎn)為(3,7).)

剖析：將直線MN平移，MN都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，更為奇異的是，這些定點(diǎn)的坐標(biāo)是有規(guī)律的，都在經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條射線上.通過(guò)推理和演示，讓學(xué)生領(lǐng)略位似變換帶來(lái)的數(shù)學(xué)的奇異美.

3.4 斜率關(guān)聯(lián)，有律可尋

思路4：原題中兩條直線的斜率相互關(guān)聯(lián)，改變核心條件中兩條直線的斜率之間的數(shù)量關(guān)系，又有怎樣的定值問(wèn)題？

變式9如圖9，點(diǎn)P(-3，3)在拋物線y=x2-6上，直線PF:y=k1x+b1交此拋物線于另一點(diǎn)F，直線PH:y=k2x+b2交此拋物線于另一點(diǎn)H，且M，N分別為線段PF，PH的中點(diǎn)，若k1+k2=-4，求證：直線MN與經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條定直線平行.(參考答案：直線MN與直線y=2x平行.)

圖9

圖10

剖析：由①式可知直線MN的表達(dá)式與k1+k2和k1k2有關(guān)，那么當(dāng)已知點(diǎn)P(a，b)時(shí)，改變k1和k2的數(shù)量關(guān)系就會(huì)出現(xiàn)三種定值問(wèn)題：(1)若已知k1k2，則直線MN過(guò)y軸上一定點(diǎn)；(2)若已知k1+k2，則直線MN與定直線平行；(3)若k1k2和k1+k2滿足一次函數(shù)關(guān)系，即k1k2=p(k1+k2)+q(p，q為常數(shù)，且p≠0)，則直線MN過(guò)非y軸上的一定點(diǎn).

3.5 條件“隱形”，以形代數(shù)

思路5：引入垂直、等腰等幾何“元素”,將斜率k1和k2之間的數(shù)量關(guān)系“隱形”，讓學(xué)生借助幾何直觀來(lái)解決問(wèn)題，借此體驗(yàn)由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過(guò)程.

圖11

圖12

變式12如圖12，點(diǎn)P(-3，3)在拋物線y=x2-6上，過(guò)點(diǎn)P的直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2分別與x軸交于點(diǎn)S，T，與此拋物線分別交于另一點(diǎn)F，H，且PS=PT，M，N分別為線段PF，PH的中點(diǎn)，求證：直線MN與經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條定直線平行.(參考答案：直線MN與直線y=6x平行.)

剖析：通過(guò)構(gòu)造相似，將幾何條件轉(zhuǎn)化為線段之比，再將線段之比轉(zhuǎn)化為k1和k2的關(guān)系，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)變式11中的PH⊥PF可以轉(zhuǎn)化為k1k2=-1，變式12中的PS=PT轉(zhuǎn)化為k1+k2=0.這些知識(shí)的獲得不是靠超前學(xué)習(xí)和死記硬背得到的,而是借助形的特殊位置及性質(zhì)通過(guò)推理和計(jì)算得到的，這可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

4 教學(xué)反思

4.1 有序變式，貴在自然

變式教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生的思維螺旋式上升.以母題為基礎(chǔ)，從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，有序改變問(wèn)題中的核心條件和背景，由點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系變到直線與拋物線的位置關(guān)系，由相交弦→雙割線→切割線→雙切線，由特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由單一到多樣，由顯性到隱性，目的是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)變式的思路是有律可循的，明白變式的生成也是有源可尋的.學(xué)生在母題的演變過(guò)程中不僅體會(huì)到了變式的自然生成，而且對(duì)問(wèn)題的解決和方法的領(lǐng)悟也不斷深入.在潛移默化中,學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，提升了審美意識(shí)，形成有序思維、發(fā)散思維等良好思維品質(zhì).

4.2 變式之道，成于自主

蘇霍姆林斯基認(rèn)為，在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.教學(xué)中不能只讓學(xué)生被動(dòng)地解答變式問(wèn)題，更要讓學(xué)生主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題變式.變式教學(xué)的最終目標(biāo)是讓學(xué)生做變式的主人.第一，通過(guò)變式教學(xué)，要厘清變式思路及其生成途徑，要讓學(xué)生知曉：(1)常見(jiàn)的變式策略和方法；(2)題目中有哪些核心條件，可以變什么，怎么變；(3)還能往哪變.第二，教學(xué)中要敢于放手，從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)變式問(wèn)題解決的自我探索與合作探究,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)變式提出和解決思維過(guò)程、思維策略與方法的感悟，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)變式活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括、提煉與內(nèi)化[2].第三，要用欣賞和鼓勵(lì)的眼光去看待學(xué)生的變式成果，增強(qiáng)其自信心，激發(fā)其內(nèi)驅(qū)力，最大限度地挖掘其潛能.

5 結(jié)束語(yǔ)

在變式中思考，在變式中提高，是變式的魅力之所在.教學(xué)中，要精選具有良好的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”的例題，通過(guò)變式教學(xué)促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成自主變式、深度學(xué)習(xí)的習(xí)慣，不斷提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng).