安徽省合肥市五十五中學(xué) 趙 瑞 吳玉情

1 引言

2021年12月，“基于‘seewo白板5’輔助初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)實(shí)踐研究”已進(jìn)入中期評(píng)估階段，課題組成員結(jié)合課題實(shí)施研究及當(dāng)前單元整體教學(xué)的雙重背景，設(shè)計(jì)了一節(jié)八年級(jí)“角平分線復(fù)習(xí)課”.本節(jié)課由筆者所在校區(qū)一位年輕老師執(zhí)教，課程結(jié)束后，得到了聽課教師的一致好評(píng).現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)過程予以呈現(xiàn)，以饗廣大讀者.

2 學(xué)情分析

滬科版八年級(jí)上冊(cè)代數(shù)部分已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容，幾何部分學(xué)習(xí)了認(rèn)識(shí)三角形及全等三角形、軸對(duì)稱圖形、等腰三角形等內(nèi)容.通過檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，所執(zhí)教班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、水平齊整，屬于學(xué)校重點(diǎn)班優(yōu)秀學(xué)生.

3 教學(xué)過程

師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，什么叫做三角形的角平分線？

學(xué)生1：三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.

圖1

問題1如圖1，在△ABC中∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)骄俊螧OC與∠A的數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生2：如圖2，設(shè)∠OBC=α,∠OCB=β.

∵∠A=180°-2(α+β)，α+β=180°-∠BOC，

∴∠A=180°-2(180°-∠BOC).

圖2

圖3

問題2在問題1的條件下，如圖3，若連接AO，AO平分∠BAC嗎？

圖4

學(xué)生3：如圖4，過點(diǎn)O分別作OE⊥BC,OF⊥AC,OG⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，G.

∵OB平分∠ABC，

∴OG=OE.

同理，OE=OF.

∴OG=OE.

又∵OG⊥AB,OF⊥AC，

∴AO平分∠BAC.

師：由此可見，三角形內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)(三角形的內(nèi)心)，且這個(gè)點(diǎn)到三角形的三邊距離相等.在圖3中我們同樣可以得到：

圖5

問題3如圖5，已知點(diǎn)O為三角形ABC的內(nèi)心，且AB=7，AC=6，BC=8.若△AOB,△AOC,△BOC的面積分別與S1，S2,S3,則S1∶S2∶S3=.

學(xué)生4：如圖4,過點(diǎn)O作OE⊥BC,OF⊥AC,OG⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，G.

∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，

∴OE=OF=OG.

∵AB=7,AC=6,BC=8,

∴S1∶S2∶S3=7∶6∶8.

變式如圖5，若O為△ABC的內(nèi)心，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，△AOB,△AOC，△BOC的面積分別為S1，S2,S3,則S1+S2S3(比較大小).

學(xué)生5:設(shè)點(diǎn)O到△ABC的邊的距離為h.

又∵c+b>a，

∴S1+S2>S3.

圖6

問題4如圖6，設(shè)D，E分別為△ABC的邊AB，AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BP平分∠CBD，CP平分∠BCE，試探究∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生6:設(shè)∠PBC=α,∠PCB=β，

則∠BPC=180°-(α+β)，

2(α+β)=2∠A+(∠ACB+∠ABC)，

∠ACB+∠ABC=180°-∠A.

學(xué)生7：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，結(jié)合問題1的結(jié)果，可以直接得到

師：你怎么知道四邊形的內(nèi)角和等于360°呢？

學(xué)生7：四邊形OBPC被BC分成了兩個(gè)三角形，而三角形的內(nèi)角和等于180°，所以它的內(nèi)角和是360°.

(此時(shí)班級(jí)同學(xué)自發(fā)鼓掌.)

問題5在問題4條件下，求證：點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.

圖7

學(xué)生8：如圖7，過點(diǎn)P分別作PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，G.

∵點(diǎn)P分別在∠CBE和∠BCG的平分線上，

∴PE=PF,PG=PF，

即PE=PG.

又∵PE⊥AB,PG⊥AC，

∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.

師：這樣我們可以得到，三角形的兩個(gè)外角平分線與另外一個(gè)角的內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)(三角形的旁心)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三邊所在直線的距離相等.

4 拓展應(yīng)用

如圖8，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD=100°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且∠AEF=50°，連接DE.

(1)求∠CAD的度數(shù)；

(2)求證：DE平分∠ADC；

(3)若AB=7,AD=4,CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面積.

圖8

5 亮點(diǎn)與特色

5.1 明暗交織，彰顯思維

本節(jié)復(fù)習(xí)課遵照研究幾何圖形的一般套路展開，即“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”.這是本節(jié)課一直要追求的一條教學(xué)明線，而這條教學(xué)線同時(shí)也隱藏在拓展應(yīng)用這道題中.本道題的設(shè)計(jì)也是遵照研究幾何的一般套路設(shè)置3個(gè)小問，層層遞進(jìn)，步步為營(yíng)，智攻難關(guān)[1]！這是本節(jié)課一條教學(xué)暗線，正可謂是明暗交織，相得益彰.

5.2 一圖一課，體現(xiàn)本質(zhì)

本節(jié)復(fù)習(xí)課選擇了一個(gè)既具有生長(zhǎng)能力，又能承載三角形內(nèi)角平分線交點(diǎn)(內(nèi)心)、外角平分線交點(diǎn)(旁心)等知識(shí)點(diǎn)的基本圖形展開，特別是通過教師對(duì)基本圖形不斷深挖、變形，衍生出新問題，步步向上，為學(xué)生高階思維的培養(yǎng)打下良好基礎(chǔ).

5.3 組織結(jié)構(gòu)，注重連貫

在單元整體教學(xué)日趨凸顯的今天，如何避免知識(shí)碎片化是每位教師每節(jié)課都應(yīng)思考的問題[2].本節(jié)復(fù)習(xí)課正是在這種教學(xué)理念下展開實(shí)施，5個(gè)問題設(shè)計(jì)以學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)為起點(diǎn)，以學(xué)生數(shù)學(xué)思維為銜接點(diǎn)，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，在現(xiàn)代信息技術(shù)的促進(jìn)下，從而形成以學(xué)生認(rèn)知邏輯鏈為路徑的動(dòng)態(tài)且高效的教學(xué).